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2022年辽宁省本溪市实验中学中考数学模拟试卷（一）（word版含答案）
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这是一份2022年辽宁省本溪市实验中学中考数学模拟试卷（一）（word版含答案），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．−12022 B．12022 C．﹣2022 D．2022
2．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣3ab2）2＝9a2b4 D．3a2﹣a2＝3
4．（3分）如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
6．（3分）有下列命题：某中正确的有（ ）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x=12 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE=12∠B，则∠A等于（ ）
A．36° B．40° C．48° D．54°
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．92 D．5
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在y=x2x+6中，x的取值范围为 ．
13．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
14．（3分）已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在⊙O中，AB=BC，直径CD⊥AB于点N，P是AC上一点，则∠BPD的度数是 ．
16．（3分）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为32，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①OD=2OG；②tan∠CDE=12；③∠ODF＝∠OCF＝90°；④点D到CF的距离为852，其中正确的结论是 ．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：(1−5a+2)÷(5a+2−a+2)，其中a＝2sin60°﹣3tan45°
20．（12分）自深圳经济特区建立至今40年以来，深圳本土诞生了许多优秀的科技企业．华为、腾讯、中兴、大疆就是其中的四个杰出代表．某数学兴趣小组在校内对这四个企业进行“你最认可的特区科技企业”调查活动．兴趣小组随机调查了m人（每人必选一个且只能选一个），并将调查结果绘制成了如下尚不完整的统计图，请根据图中信息回答以下问题：
（1）请将以上两个统计图补充完整；
（2）m＝ ，“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）该校共有2000名同学，估计最认可“华为”的同学大约有 名；
（4）已知A，B两名同学都最认可“华为”，C同学最认可“腾讯”，D同学最认可“中兴”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最认可的特区科技企业不一样概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）党中央决定从2021年起全面实施乡村振兴，某企业帮扶火红村发展林果产业，先后两次购进同种果树苗，第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第一次树苗的单价是第二次树苗单价的1.5倍，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．
（1）求第二次购进树苗的单价．
（2）第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，问平均每棵树至少要产果多少千克？
22．（12分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．
（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为 ；
（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，3≈1.732，2≈1.414）．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，日销售利润为900元；
（3）直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？
七、解答题（满分12分）
25．（12分）等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝42，E为AC中点，以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED．
（1）观察猜想：如图1所示，过D作DF⊥AE于F，交AB于G，线段CD与BG的关系为 ；
（2）探究证明：如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3所示，当E、D、G共线时，直接写出DG的长度．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．
2022年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷（一）
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．−12022 B．12022 C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是−12022．
故选：A．
2．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣3ab2）2＝9a2b4 D．3a2﹣a2＝3
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则逐项分析即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，错误，不符合题意；
B、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，错误，不符合题意；
C、（﹣3ab2）2＝9a2b4，正确，符合题意；
D、3a2﹣a2＝2a2，错误，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据物体的左视图就是找到从左面看所得到的图形即可得出答案．
【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线．
故选：D．
5．（3分）若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
【分析】根据平均数的公式求出数据4，3，2，4，2的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，再根据中位数的定义求解．
【解答】解：（4+3+2+4+2）÷5
＝15÷5
＝3．
∵它们的平均数不变，
∴添加的数据为3．
∴这组新数据为：2，2，3，3，4，4，
这组新数据的中位数为：12×（3+3）＝3，
故选：A．
6．（3分）有下列命题：某中正确的有（ ）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等腰三角形的性质可对①进行判断；利用三角形内角和可对②进行判断；根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定可对③进行判断；根据三角形外角性质可对④进行判断．
【解答】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；
②直角三角形两锐角互余，所以②正确；
③有一个外角等于120°的等腰三角形，则这个等腰三角形有一个60°的内角，所以它是等边三角形，所以③正确；
④三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以④错误．
故选：B．
7．（3分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x=12 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE=12∠B，则∠A等于（ ）
A．36° B．40° C．48° D．54°
【分析】利用基本作图得到AD＝BD，DE⊥AB，设∠CDE＝α，则∠B＝2α，利用CD为斜边AB上的中线得到CD＝BD，则∠DCB＝∠B＝2α，利用三角形外角性质得到∠DEB＝3α，则利用∠B+∠DEB＝90°可求出α＝18°，从而得到∠B的度数，然后利用互余求出∠A的度数．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
设∠CDE＝α，则∠B＝2α，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝2α，
∴∠DEB＝∠DCE+∠CDE＝2α+α＝3α，
∵∠B+∠DEB＝90°，
∴2α+3α＝90°，
解得α＝18°，
∴∠B＝2α＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°．
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．92 D．5
【分析】连接BD，延长BF、CD交于N，根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质推出∠N＝∠ABF，根据已知条件求出DF＝AF，AE＝BE=12AB=12CD，根据全等三角形的判定得出△DNF≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DN＝AB，求出BE=12AB=14CN，根据相似三角形的判定得出△BEM∽△NCM，根据相似三角形的性质求出EMCM=BECN=14，求出S△BEMS△BCM=EMCM=14，求出△BCM的面积即可．
【解答】解：连接BD，延长BF、CD交于N，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴AB＝2BE，DF＝AF，
∴S△ABF＝S△DFB=12S△ABD=14S平行四边形ABCD，
同理S△BCE=14S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，
∴S四边形AEMF＝S△BCM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠N＝∠ABF，
在△DNF和△ABF中
∠DFN=∠AFB∠N=∠ABFDF=AF，
∴△DNF≌△ABF（AAS），
∴DN＝AB＝DC，
∴BE=12AB=14CN，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△NCM，
∴EMCM=BECN=14，
∴S△BEMS△BCM=EMCM=14，
∵△BEM的面积为1，
∴△BCM的面积是4，
即四边形AEMF的面积是4，
故选：B．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x=(−1)+32=1，即−b2a=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x=(−1)+32=1，即−b2a=1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a=12．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 1.56×10﹣4 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000156＝1.56×10﹣4．
故答案为：1.56×10﹣4．
12．（3分）在y=x2x+6中，x的取值范围为 x＞﹣3 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数，故2x+6＞0，解不等式即可求得x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x+6＞0，
解得：x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
13．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 12 ．
【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4cm2，黑色部分的总面积为2cm2，
∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为24=12，
故答案为：12．
14．（3分）已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 m＞−94且m≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝9+4m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴9+4m＞0且m≠0，
∴m＞−94且m≠0，
故答案为：m＞−94且m≠0．
15．（3分）如图，在⊙O中，AB=BC，直径CD⊥AB于点N，P是AC上一点，则∠BPD的度数是 30° ．
【分析】连接OA、OB，如图，先根据垂径定理得到AC=BC，所以AB=BC=AC，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，所以∠BOD＝60°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵CD⊥AB，
∴AC=BC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB=13×360°＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BPD=12∠BOD＝30°．
故答案为：30°．
16．（3分）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为32，则k的值为 2 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则△OAD∽△CBE，所以OA：CB＝OD：CE＝AD：BE＝2：1，设CD＝a，BE＝b，则OD＝2a，AD＝2b，利用S△OAB＝S梯形ADBE建立方程可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
则△OAD∽△CBE，
∴OA：CB＝OD：CE＝AD：BE＝2：1，
设CD＝a，BE＝b，则OD＝2a，AD＝2b，
∵反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)经过点A、点B，
∴k＝2a•2b＝4ab，
∴B（4a，b），
∴DE＝2a，
∴S△OAB＝S梯形ADBE=12（AD+BE）•DE=12•（2b+b）•2a=32，
解得ab=12，
∴k＝4ab＝2．
故答案为：2．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 4或43． ．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1，易得S△EFP=12S△BEP=12S△A′EP，即可得到EF=12BE＝BF，PF=12A′P＝A′F．从而可得四边形A′EPB是平行四边形，即可得到BP＝A′E，从而可求出BP；②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2，同理可得GP＝BG，EG=12EA′＝2，根据三角形中位线定理可得AP＝4＝AC，此时点P与点C重合（BP＝BC），从而可求出BP．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，
∴AB＝8，AE=12AB＝4，BC＝43．
①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1．
由折叠可得S△A′EP＝S△AEP，A′E＝AE＝4，
∵点E是AB的中点，
∴S△BEP＝S△AEP=12S△ABP．
由题可得S△EFP=14S△ABP，
∴S△EFP=12S△BEP=12S△AEP=12S△A′EP，
∴EF=12BE＝BF，PF=12A′P＝A′F．
∴四边形A′EPB是平行四边形，
∴BP＝A′E＝4；
②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2．
．
同理可得GP=12BP＝BG，EG=12EA′=12×4＝2．
∵BE＝AE，
∴EG=12AP＝2，
∴AP＝4＝AC，
∴点P与点C重合，
∴BP＝BC＝43．
故答案为4或43．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①OD=2OG；②tan∠CDE=12；③∠ODF＝∠OCF＝90°；④点D到CF的距离为852，其中正确的结论是 ①②④ ．
【分析】由正方形ABCD，得△DBC是等腰直角三角形，△DOG是等腰直角三角形，可得OD=2OG，故①正确；Rt△DCE中，tan∠CDE=12，故②正确，根据∠CDF＝∠FDC≠45°，∠ACD＝∠BDC＝45°，得∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故③不正确；求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则12x•CF＝8，可得点D到CF的距离为852，故④正确．
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是BD中点，
∵点F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，OF=12BE，
∵CE＝4，OF＝6，
∴GF=12CE＝2，BE＝2OF＝12，
∵正方形ABCD中，
∴△DBC是等腰直角三角形，
而OF∥BE，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故①正确；
∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，
∴DC＝8，∠DCE＝90°，
Rt△DCE中，
tan∠CDE=CEDC=48=12，故②正确，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴CF＝DF=12DE，
∴∠CDF＝∠FDC≠45°，
∵∠ACD＝∠BDC＝45°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故不正确；
Rt△DCE中，DE=DC2+CE2=45，
∴CF=12DE＝25，
∵△CDE的面积为12CE•DC=12×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积为8，
设点D到CF的距离为x，则12x•CF＝8，
∴12•x×25=8，解得x=855，
∴点D到CF的距离为855，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：(1−5a+2)÷(5a+2−a+2)，其中a＝2sin60°﹣3tan45°
【分析】根据特殊角锐角三角函数以及分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a＝2sin60°﹣3tan45°时，
＝2×32−3
=3−3
∴原式=a−3a+2÷9−a2a+2
=−1a+3=−13=−33
20．（12分）自深圳经济特区建立至今40年以来，深圳本土诞生了许多优秀的科技企业．华为、腾讯、中兴、大疆就是其中的四个杰出代表．某数学兴趣小组在校内对这四个企业进行“你最认可的特区科技企业”调查活动．兴趣小组随机调查了m人（每人必选一个且只能选一个），并将调查结果绘制成了如下尚不完整的统计图，请根据图中信息回答以下问题：
（1）请将以上两个统计图补充完整；
（2）m＝ 200 ，“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为 108° ；
（3）该校共有2000名同学，估计最认可“华为”的同学大约有 800 名；
（4）已知A，B两名同学都最认可“华为”，C同学最认可“腾讯”，D同学最认可“中兴”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最认可的特区科技企业不一样概率．
【分析】（1）根据华为的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以喜欢中兴的人数所占的百分比求出喜欢中兴的人数，然后用腾讯的人数除以总人数求出喜欢腾讯的人数所占的百分比，从而补全统计图；
（2）根据（1）直接得出m的值，再用360°乘以“腾讯”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以“华为”的同学所占的百分比即可；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两名同学最认可的特区科技企业不一样的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）随机调查的总人数有：80÷40%＝200（人），
喜欢中兴的人数：200×20%＝40（人），
喜欢腾讯所占的百分比是：60200×100%＝30；
补全统计图如下：
（2）根据（1）可得：m＝200；
“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为：360°×30%＝108°；
故答案为：200，108°；
（3）最认可“华为”的同学大约有：2000×40%＝800（人）；
故答案为：800；
（4）根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中这两名同学最认可的特区科技企业不一样的有10种，
则这两名同学最认可的特区科技企业不一样的概率是1012=56．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）党中央决定从2021年起全面实施乡村振兴，某企业帮扶火红村发展林果产业，先后两次购进同种果树苗，第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第一次树苗的单价是第二次树苗单价的1.5倍，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．
（1）求第二次购进树苗的单价．
（2）第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，问平均每棵树至少要产果多少千克？
【分析】（1）设第二次购进树苗的单价为x元，则第一次购进树苗的单价为1.5x元，由题意：第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．列出分式方程，解方程即可；
（2）设平均每棵树要产果y千克，由题意：第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第二次购进树苗的单价为x元，则第一次购进树苗的单价为1.5x元，
根据题意得：120001.5x+100=10000x，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
∴第二次购进树苗的单价为20元；
（2）第二次购进树苗的棵数为：1000020=500（棵），第一次购进树苗的棵数为：500﹣100＝400（棵），
则第一次树苗的成活棵数为：400×75%＝300（棵），第二次树苗的成活棵数为：500×80%＝400（棵），
设平均每棵树要产果y千克，
由题意得：（300+400）y≥56000，
解得：y≥80，
答：平均每棵树至少要产果80千克．
22．（12分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．
（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为 60° ；
（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，3≈1.732，2≈1.414）．
【分析】（1）在Rt△HFE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，先在Rt△AFG中求出FG，从而求出GM，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△HFE中，cos∠FHE=HEHF=0.751.5=12，
∴∠FHE＝60°，
故答案为：60°；
（2）延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，
∴AG∥HE，
∴∠FHE＝∠FAG＝60°，
∵AH＝0.5，HF＝1.5，
∴AF＝AH+HF＝2（米），
∴FG＝AFsin60°＝2×32=3≈1.73（米），
∵FM＝4.4，
∴GM＝FM﹣FG＝4.4﹣1.73＝2.67（米），
∴AB＝GM＝2.67（米），
在Rt△ABC中，∠BAC＝15°，
∴BC＝ABtan15°＝2.67×0.27≈0.7（米），
∴底座BC的长为0.7米．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．
【分析】（1）先证明∠EAB+∠ABE＝90°，然后再证明∠CBE＝∠EAB，从而可证明∠CBA＝90°；
（2）连接OD．先证明OD∥BE，从而得到△GOD∽△GBE，依据相似三角形的性质可得到GDGE=OGGB=23，即DGDG+5=23，然后解得DG的长即可．
【解答】解：（1）证明：∵AB是半⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°．
∵∠EAB＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE＝90°，即∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OD．
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠EBD＝∠ABD，
∴∠EBD＝∠BDO．
∴OD∥BE．
∴△GOD∽△GBE．
∴GDGE=OGGB．
∵GA＝AO，
∴GA＝AO＝BO，
∴GDCE=GOGB=23即DGGD+5=23．
∴GD＝10．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，日销售利润为900元；
（3）直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？
【分析】（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求得y关于x的函数关系式，再根据利润W等于销售数量y千克乘以每千克水果的利润（m﹣10）元，可得答案；
（2）令W＝900，得到关于x的一元二次方程，解方程取在1≤x≤30，x为整数内的值即可；
（3）根据（1）中所得的W关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
10k+b=5526k+b=39，
解得：k=−1b=65，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）当W＝900时，则﹣x2+55x+650＝900，
解得：x1＝5，x2＝50，
∵1≤x≤30，x为整数，
∴x＝5，
答：当x＝5时，日销售利润为900元；
（3）∵W＝﹣x2+55x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝22.5，
∵a＝﹣1＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：﹣222+55×22+650＝1376或﹣232+55×23+650＝1376，
答：第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为1376元．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝42，E为AC中点，以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED．
（1）观察猜想：如图1所示，过D作DF⊥AE于F，交AB于G，线段CD与BG的关系为 CD＝BG，CD⊥BG ；
（2）探究证明：如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3所示，当E、D、G共线时，直接写出DG的长度．
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一得：PC⊥AB，证明△PCB和△PDG是等腰直角三角形，可得PC＝PB，PD＝PG，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌BCH（SAS），得AE＝BH，∠EAC＝∠HBC，根据三角形的内角和定理可得：∠AKB＝∠ACB＝90°，所以可以证明四边形BHDG为平行四边形，从而得结论；
（3）存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：（1）CD⊥BG，CD＝BG，
理由是：如图1，延长CD交AB于P，
∵△EDC是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∵AC＝BC，
∴PC⊥AB，即CD⊥BG，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴PC＝PB，
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴FG∥BC，
∴∠DGP＝∠B＝45°，
∴△PDG是等腰直角三角形，
∴PD＝PG，
∴PC﹣PD＝PB﹣PG，即CD＝BG；
故答案为：CD＝BG，CD⊥BG；
（2）如图2，延长ED至H，使得DH＝DE，连接CH、BH，延长BH交AE于K，设AC与BK交于点O，
∵△CDE是等腰直角三角形
∴CD⊥DE
∴CE＝CH，∠ECD＝∠HCD＝45°
∴∠ECH＝90°
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴∠ECH＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCH，
又∵AC＝BC，EC＝HC
∴△ACE≌BCH（SAS），
∴AE＝BH，∠EAC＝∠HBC，
又∵∠AOK＝∠BOC，
∴∠AKB＝∠ACB＝90°，
又∵DF⊥AE，
∴BH∥GE，
又∵BG∥EH，
∴四边形BHDG为平行四边形，
∴DH＝BG，
又∵CD＝DE＝DH，CD⊥DH，
∴CD⊥BG，CD＝BG；
（3）存在两种情况：
①如图4，由（2）知：CD＝DE＝BG＝2，
当E、D、G三点共线时，Rt△BCD中，∠CDB＝90°，
∵CD＝2，BC＝42，
∴BD=BC2−CD2=(42)2−22=27，
∴DG＝BD﹣BG＝27−2；
②如图5，E、D、G三点共线，
同理可得：BD＝27，
∴DG＝BD+BG＝27+2，
综上，DG的长为27−2或27+2．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）先由直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点求得A（﹣2，0），B（0，4），再由抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点用待定系数法求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
（2）作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，先求出直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，设M（m，−12m2+m+4），则F（m，﹣m+4），用含m的代数式表示线段MF的长及△MBC的面积，再根据二次函数的性质求出当△MBC面积最大时点M的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是射线BP在直线BP的下方，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，可证明∠PBC+∠OBA＝45°，求出直线BP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点P的坐标；二是射线BP′在直线BC的上方，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，先证明∠P′BC+∠OAB＝45°，再求出直线BP′的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点P′的坐标即可．
【解答】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），
∴c＝4，
把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，
解得a=−12，
∴抛物线的解析式的解析式为y=−12x2+x+4．
（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，
抛物线y=−12x2+x+4，当y＝0时，则−12x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（4，0），OC＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
把C（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，−12m2+m+4），则F（m，﹣m+4），
∴MF＝（−12m2+m+4）﹣（﹣m+4）=−12m2+2m，
∵S△MBC=12OG•MF+12CG•MF=12OC•MF，
∴S△MBC=12×4（−12m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，
∴点M标为（2，4）．
（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，
∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，
∴∠OBA＝∠OBP，
∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，
设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，
解得n＝﹣2，
∴y＝﹣2x+4，
由y=−12x2+x+4y=−2x+4得x1=0y1=4，x2=6y2=−8，
∴P（6，﹣8）；
如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），
∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，
∴∠BCE＝∠BCD＝45°，
∵BC＝BC，
∴△BCE≌△BCD（SAS），
∴∠P′BC＝∠PBC，
∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，
设直线BP′的解析式为y＝rx+4，
则4r+4＝2，
解得r=−12，
∴y=−12x+4，
由y=−12x2+x+4y=−12x+4得x1=0y1=4，x2=3y2=52，
∴P′（3，52），
综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，52）．
2022年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．−12022 B．12022 C．﹣2022 D．2022
2．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣3ab2）2＝9a2b4 D．3a2﹣a2＝3
4．（3分）如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
6．（3分）有下列命题：某中正确的有（ ）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x=12 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE=12∠B，则∠A等于（ ）
A．36° B．40° C．48° D．54°
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．92 D．5
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在y=x2x+6中，x的取值范围为 ．
13．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
14．（3分）已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在⊙O中，AB=BC，直径CD⊥AB于点N，P是AC上一点，则∠BPD的度数是 ．
16．（3分）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为32，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①OD=2OG；②tan∠CDE=12；③∠ODF＝∠OCF＝90°；④点D到CF的距离为852，其中正确的结论是 ．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：(1−5a+2)÷(5a+2−a+2)，其中a＝2sin60°﹣3tan45°
20．（12分）自深圳经济特区建立至今40年以来，深圳本土诞生了许多优秀的科技企业．华为、腾讯、中兴、大疆就是其中的四个杰出代表．某数学兴趣小组在校内对这四个企业进行“你最认可的特区科技企业”调查活动．兴趣小组随机调查了m人（每人必选一个且只能选一个），并将调查结果绘制成了如下尚不完整的统计图，请根据图中信息回答以下问题：
（1）请将以上两个统计图补充完整；
（2）m＝ ，“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）该校共有2000名同学，估计最认可“华为”的同学大约有 名；
（4）已知A，B两名同学都最认可“华为”，C同学最认可“腾讯”，D同学最认可“中兴”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最认可的特区科技企业不一样概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）党中央决定从2021年起全面实施乡村振兴，某企业帮扶火红村发展林果产业，先后两次购进同种果树苗，第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第一次树苗的单价是第二次树苗单价的1.5倍，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．
（1）求第二次购进树苗的单价．
（2）第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，问平均每棵树至少要产果多少千克？
22．（12分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．
（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为 ；
（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，3≈1.732，2≈1.414）．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，日销售利润为900元；
（3）直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？
七、解答题（满分12分）
25．（12分）等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝42，E为AC中点，以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED．
（1）观察猜想：如图1所示，过D作DF⊥AE于F，交AB于G，线段CD与BG的关系为 ；
（2）探究证明：如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3所示，当E、D、G共线时，直接写出DG的长度．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．
2022年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷（一）
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．−12022 B．12022 C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是−12022．
故选：A．
2．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣3ab2）2＝9a2b4 D．3a2﹣a2＝3
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则逐项分析即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，错误，不符合题意；
B、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，错误，不符合题意；
C、（﹣3ab2）2＝9a2b4，正确，符合题意；
D、3a2﹣a2＝2a2，错误，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据物体的左视图就是找到从左面看所得到的图形即可得出答案．
【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线．
故选：D．
5．（3分）若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
【分析】根据平均数的公式求出数据4，3，2，4，2的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，再根据中位数的定义求解．
【解答】解：（4+3+2+4+2）÷5
＝15÷5
＝3．
∵它们的平均数不变，
∴添加的数据为3．
∴这组新数据为：2，2，3，3，4，4，
这组新数据的中位数为：12×（3+3）＝3，
故选：A．
6．（3分）有下列命题：某中正确的有（ ）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等腰三角形的性质可对①进行判断；利用三角形内角和可对②进行判断；根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定可对③进行判断；根据三角形外角性质可对④进行判断．
【解答】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；
②直角三角形两锐角互余，所以②正确；
③有一个外角等于120°的等腰三角形，则这个等腰三角形有一个60°的内角，所以它是等边三角形，所以③正确；
④三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以④错误．
故选：B．
7．（3分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x=12 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE=12∠B，则∠A等于（ ）
A．36° B．40° C．48° D．54°
【分析】利用基本作图得到AD＝BD，DE⊥AB，设∠CDE＝α，则∠B＝2α，利用CD为斜边AB上的中线得到CD＝BD，则∠DCB＝∠B＝2α，利用三角形外角性质得到∠DEB＝3α，则利用∠B+∠DEB＝90°可求出α＝18°，从而得到∠B的度数，然后利用互余求出∠A的度数．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
设∠CDE＝α，则∠B＝2α，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝2α，
∴∠DEB＝∠DCE+∠CDE＝2α+α＝3α，
∵∠B+∠DEB＝90°，
∴2α+3α＝90°，
解得α＝18°，
∴∠B＝2α＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°．
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．92 D．5
【分析】连接BD，延长BF、CD交于N，根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质推出∠N＝∠ABF，根据已知条件求出DF＝AF，AE＝BE=12AB=12CD，根据全等三角形的判定得出△DNF≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DN＝AB，求出BE=12AB=14CN，根据相似三角形的判定得出△BEM∽△NCM，根据相似三角形的性质求出EMCM=BECN=14，求出S△BEMS△BCM=EMCM=14，求出△BCM的面积即可．
【解答】解：连接BD，延长BF、CD交于N，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴AB＝2BE，DF＝AF，
∴S△ABF＝S△DFB=12S△ABD=14S平行四边形ABCD，
同理S△BCE=14S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，
∴S四边形AEMF＝S△BCM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠N＝∠ABF，
在△DNF和△ABF中
∠DFN=∠AFB∠N=∠ABFDF=AF，
∴△DNF≌△ABF（AAS），
∴DN＝AB＝DC，
∴BE=12AB=14CN，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△NCM，
∴EMCM=BECN=14，
∴S△BEMS△BCM=EMCM=14，
∵△BEM的面积为1，
∴△BCM的面积是4，
即四边形AEMF的面积是4，
故选：B．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x=(−1)+32=1，即−b2a=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x=(−1)+32=1，即−b2a=1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a=12．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 1.56×10﹣4 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000156＝1.56×10﹣4．
故答案为：1.56×10﹣4．
12．（3分）在y=x2x+6中，x的取值范围为 x＞﹣3 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数，故2x+6＞0，解不等式即可求得x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x+6＞0，
解得：x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
13．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 12 ．
【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4cm2，黑色部分的总面积为2cm2，
∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为24=12，
故答案为：12．
14．（3分）已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 m＞−94且m≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝9+4m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴9+4m＞0且m≠0，
∴m＞−94且m≠0，
故答案为：m＞−94且m≠0．
15．（3分）如图，在⊙O中，AB=BC，直径CD⊥AB于点N，P是AC上一点，则∠BPD的度数是 30° ．
【分析】连接OA、OB，如图，先根据垂径定理得到AC=BC，所以AB=BC=AC，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，所以∠BOD＝60°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵CD⊥AB，
∴AC=BC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB=13×360°＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BPD=12∠BOD＝30°．
故答案为：30°．
16．（3分）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为32，则k的值为 2 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则△OAD∽△CBE，所以OA：CB＝OD：CE＝AD：BE＝2：1，设CD＝a，BE＝b，则OD＝2a，AD＝2b，利用S△OAB＝S梯形ADBE建立方程可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
则△OAD∽△CBE，
∴OA：CB＝OD：CE＝AD：BE＝2：1，
设CD＝a，BE＝b，则OD＝2a，AD＝2b，
∵反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)经过点A、点B，
∴k＝2a•2b＝4ab，
∴B（4a，b），
∴DE＝2a，
∴S△OAB＝S梯形ADBE=12（AD+BE）•DE=12•（2b+b）•2a=32，
解得ab=12，
∴k＝4ab＝2．
故答案为：2．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 4或43． ．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1，易得S△EFP=12S△BEP=12S△A′EP，即可得到EF=12BE＝BF，PF=12A′P＝A′F．从而可得四边形A′EPB是平行四边形，即可得到BP＝A′E，从而可求出BP；②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2，同理可得GP＝BG，EG=12EA′＝2，根据三角形中位线定理可得AP＝4＝AC，此时点P与点C重合（BP＝BC），从而可求出BP．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，
∴AB＝8，AE=12AB＝4，BC＝43．
①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1．
由折叠可得S△A′EP＝S△AEP，A′E＝AE＝4，
∵点E是AB的中点，
∴S△BEP＝S△AEP=12S△ABP．
由题可得S△EFP=14S△ABP，
∴S△EFP=12S△BEP=12S△AEP=12S△A′EP，
∴EF=12BE＝BF，PF=12A′P＝A′F．
∴四边形A′EPB是平行四边形，
∴BP＝A′E＝4；
②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2．
．
同理可得GP=12BP＝BG，EG=12EA′=12×4＝2．
∵BE＝AE，
∴EG=12AP＝2，
∴AP＝4＝AC，
∴点P与点C重合，
∴BP＝BC＝43．
故答案为4或43．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①OD=2OG；②tan∠CDE=12；③∠ODF＝∠OCF＝90°；④点D到CF的距离为852，其中正确的结论是 ①②④ ．
【分析】由正方形ABCD，得△DBC是等腰直角三角形，△DOG是等腰直角三角形，可得OD=2OG，故①正确；Rt△DCE中，tan∠CDE=12，故②正确，根据∠CDF＝∠FDC≠45°，∠ACD＝∠BDC＝45°，得∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故③不正确；求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则12x•CF＝8，可得点D到CF的距离为852，故④正确．
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是BD中点，
∵点F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，OF=12BE，
∵CE＝4，OF＝6，
∴GF=12CE＝2，BE＝2OF＝12，
∵正方形ABCD中，
∴△DBC是等腰直角三角形，
而OF∥BE，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故①正确；
∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，
∴DC＝8，∠DCE＝90°，
Rt△DCE中，
tan∠CDE=CEDC=48=12，故②正确，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴CF＝DF=12DE，
∴∠CDF＝∠FDC≠45°，
∵∠ACD＝∠BDC＝45°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故不正确；
Rt△DCE中，DE=DC2+CE2=45，
∴CF=12DE＝25，
∵△CDE的面积为12CE•DC=12×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积为8，
设点D到CF的距离为x，则12x•CF＝8，
∴12•x×25=8，解得x=855，
∴点D到CF的距离为855，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：(1−5a+2)÷(5a+2−a+2)，其中a＝2sin60°﹣3tan45°
【分析】根据特殊角锐角三角函数以及分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a＝2sin60°﹣3tan45°时，
＝2×32−3
=3−3
∴原式=a−3a+2÷9−a2a+2
=−1a+3=−13=−33
20．（12分）自深圳经济特区建立至今40年以来，深圳本土诞生了许多优秀的科技企业．华为、腾讯、中兴、大疆就是其中的四个杰出代表．某数学兴趣小组在校内对这四个企业进行“你最认可的特区科技企业”调查活动．兴趣小组随机调查了m人（每人必选一个且只能选一个），并将调查结果绘制成了如下尚不完整的统计图，请根据图中信息回答以下问题：
（1）请将以上两个统计图补充完整；
（2）m＝ 200 ，“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为 108° ；
（3）该校共有2000名同学，估计最认可“华为”的同学大约有 800 名；
（4）已知A，B两名同学都最认可“华为”，C同学最认可“腾讯”，D同学最认可“中兴”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最认可的特区科技企业不一样概率．
【分析】（1）根据华为的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以喜欢中兴的人数所占的百分比求出喜欢中兴的人数，然后用腾讯的人数除以总人数求出喜欢腾讯的人数所占的百分比，从而补全统计图；
（2）根据（1）直接得出m的值，再用360°乘以“腾讯”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以“华为”的同学所占的百分比即可；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两名同学最认可的特区科技企业不一样的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）随机调查的总人数有：80÷40%＝200（人），
喜欢中兴的人数：200×20%＝40（人），
喜欢腾讯所占的百分比是：60200×100%＝30；
补全统计图如下：
（2）根据（1）可得：m＝200；
“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为：360°×30%＝108°；
故答案为：200，108°；
（3）最认可“华为”的同学大约有：2000×40%＝800（人）；
故答案为：800；
（4）根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中这两名同学最认可的特区科技企业不一样的有10种，
则这两名同学最认可的特区科技企业不一样的概率是1012=56．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）党中央决定从2021年起全面实施乡村振兴，某企业帮扶火红村发展林果产业，先后两次购进同种果树苗，第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第一次树苗的单价是第二次树苗单价的1.5倍，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．
（1）求第二次购进树苗的单价．
（2）第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，问平均每棵树至少要产果多少千克？
【分析】（1）设第二次购进树苗的单价为x元，则第一次购进树苗的单价为1.5x元，由题意：第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．列出分式方程，解方程即可；
（2）设平均每棵树要产果y千克，由题意：第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第二次购进树苗的单价为x元，则第一次购进树苗的单价为1.5x元，
根据题意得：120001.5x+100=10000x，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
∴第二次购进树苗的单价为20元；
（2）第二次购进树苗的棵数为：1000020=500（棵），第一次购进树苗的棵数为：500﹣100＝400（棵），
则第一次树苗的成活棵数为：400×75%＝300（棵），第二次树苗的成活棵数为：500×80%＝400（棵），
设平均每棵树要产果y千克，
由题意得：（300+400）y≥56000，
解得：y≥80，
答：平均每棵树至少要产果80千克．
22．（12分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．
（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为 60° ；
（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，3≈1.732，2≈1.414）．
【分析】（1）在Rt△HFE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，先在Rt△AFG中求出FG，从而求出GM，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△HFE中，cos∠FHE=HEHF=0.751.5=12，
∴∠FHE＝60°，
故答案为：60°；
（2）延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，
∴AG∥HE，
∴∠FHE＝∠FAG＝60°，
∵AH＝0.5，HF＝1.5，
∴AF＝AH+HF＝2（米），
∴FG＝AFsin60°＝2×32=3≈1.73（米），
∵FM＝4.4，
∴GM＝FM﹣FG＝4.4﹣1.73＝2.67（米），
∴AB＝GM＝2.67（米），
在Rt△ABC中，∠BAC＝15°，
∴BC＝ABtan15°＝2.67×0.27≈0.7（米），
∴底座BC的长为0.7米．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．
【分析】（1）先证明∠EAB+∠ABE＝90°，然后再证明∠CBE＝∠EAB，从而可证明∠CBA＝90°；
（2）连接OD．先证明OD∥BE，从而得到△GOD∽△GBE，依据相似三角形的性质可得到GDGE=OGGB=23，即DGDG+5=23，然后解得DG的长即可．
【解答】解：（1）证明：∵AB是半⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°．
∵∠EAB＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE＝90°，即∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OD．
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠EBD＝∠ABD，
∴∠EBD＝∠BDO．
∴OD∥BE．
∴△GOD∽△GBE．
∴GDGE=OGGB．
∵GA＝AO，
∴GA＝AO＝BO，
∴GDCE=GOGB=23即DGGD+5=23．
∴GD＝10．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，日销售利润为900元；
（3）直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？
【分析】（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求得y关于x的函数关系式，再根据利润W等于销售数量y千克乘以每千克水果的利润（m﹣10）元，可得答案；
（2）令W＝900，得到关于x的一元二次方程，解方程取在1≤x≤30，x为整数内的值即可；
（3）根据（1）中所得的W关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
10k+b=5526k+b=39，
解得：k=−1b=65，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）当W＝900时，则﹣x2+55x+650＝900，
解得：x1＝5，x2＝50，
∵1≤x≤30，x为整数，
∴x＝5，
答：当x＝5时，日销售利润为900元；
（3）∵W＝﹣x2+55x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝22.5，
∵a＝﹣1＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：﹣222+55×22+650＝1376或﹣232+55×23+650＝1376，
答：第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为1376元．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝42，E为AC中点，以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED．
（1）观察猜想：如图1所示，过D作DF⊥AE于F，交AB于G，线段CD与BG的关系为 CD＝BG，CD⊥BG ；
（2）探究证明：如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3所示，当E、D、G共线时，直接写出DG的长度．
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一得：PC⊥AB，证明△PCB和△PDG是等腰直角三角形，可得PC＝PB，PD＝PG，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌BCH（SAS），得AE＝BH，∠EAC＝∠HBC，根据三角形的内角和定理可得：∠AKB＝∠ACB＝90°，所以可以证明四边形BHDG为平行四边形，从而得结论；
（3）存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：（1）CD⊥BG，CD＝BG，
理由是：如图1，延长CD交AB于P，
∵△EDC是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∵AC＝BC，
∴PC⊥AB，即CD⊥BG，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴PC＝PB，
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴FG∥BC，
∴∠DGP＝∠B＝45°，
∴△PDG是等腰直角三角形，
∴PD＝PG，
∴PC﹣PD＝PB﹣PG，即CD＝BG；
故答案为：CD＝BG，CD⊥BG；
（2）如图2，延长ED至H，使得DH＝DE，连接CH、BH，延长BH交AE于K，设AC与BK交于点O，
∵△CDE是等腰直角三角形
∴CD⊥DE
∴CE＝CH，∠ECD＝∠HCD＝45°
∴∠ECH＝90°
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴∠ECH＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCH，
又∵AC＝BC，EC＝HC
∴△ACE≌BCH（SAS），
∴AE＝BH，∠EAC＝∠HBC，
又∵∠AOK＝∠BOC，
∴∠AKB＝∠ACB＝90°，
又∵DF⊥AE，
∴BH∥GE，
又∵BG∥EH，
∴四边形BHDG为平行四边形，
∴DH＝BG，
又∵CD＝DE＝DH，CD⊥DH，
∴CD⊥BG，CD＝BG；
（3）存在两种情况：
①如图4，由（2）知：CD＝DE＝BG＝2，
当E、D、G三点共线时，Rt△BCD中，∠CDB＝90°，
∵CD＝2，BC＝42，
∴BD=BC2−CD2=(42)2−22=27，
∴DG＝BD﹣BG＝27−2；
②如图5，E、D、G三点共线，
同理可得：BD＝27，
∴DG＝BD+BG＝27+2，
综上，DG的长为27−2或27+2．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）先由直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点求得A（﹣2，0），B（0，4），再由抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点用待定系数法求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
（2）作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，先求出直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，设M（m，−12m2+m+4），则F（m，﹣m+4），用含m的代数式表示线段MF的长及△MBC的面积，再根据二次函数的性质求出当△MBC面积最大时点M的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是射线BP在直线BP的下方，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，可证明∠PBC+∠OBA＝45°，求出直线BP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点P的坐标；二是射线BP′在直线BC的上方，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，先证明∠P′BC+∠OAB＝45°，再求出直线BP′的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点P′的坐标即可．
【解答】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），
∴c＝4，
把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，
解得a=−12，
∴抛物线的解析式的解析式为y=−12x2+x+4．
（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，
抛物线y=−12x2+x+4，当y＝0时，则−12x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（4，0），OC＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
把C（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，−12m2+m+4），则F（m，﹣m+4），
∴MF＝（−12m2+m+4）﹣（﹣m+4）=−12m2+2m，
∵S△MBC=12OG•MF+12CG•MF=12OC•MF，
∴S△MBC=12×4（−12m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，
∴点M标为（2，4）．
（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，
∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，
∴∠OBA＝∠OBP，
∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，
设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，
解得n＝﹣2，
∴y＝﹣2x+4，
由y=−12x2+x+4y=−2x+4得x1=0y1=4，x2=6y2=−8，
∴P（6，﹣8）；
如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），
∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，
∴∠BCE＝∠BCD＝45°，
∵BC＝BC，
∴△BCE≌△BCD（SAS），
∴∠P′BC＝∠PBC，
∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，
设直线BP′的解析式为y＝rx+4，
则4r+4＝2，
解得r=−12，
∴y=−12x+4，
由y=−12x2+x+4y=−12x+4得x1=0y1=4，x2=3y2=52，
∴P′（3，52），
综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，52）．
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