2023年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省本溪市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，比−3小的数是(    )
A. −2 B. 0 C. 1 D. −4
2. 下列四个图案中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的为(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算错误的是(    )
A. −m2⋅m3=−m5 B. −x2+2x2=x2
C. (−a3b)2=a6b2 D. −2x(x−y)=−2x2−2xy
4. 下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是


A. B. C. D.
5. 某班30名学生一周阅读课外书籍时间如表所示：
时间/h
6
7
8
9
人数
7
8
5
10
那么该班30名学生一周阅读课外书籍时间的中位数是(    )
A. 5 B. 7 C. 7.5 D. 8
6. 已知点P(m−1,4)与点Q(2,n+2)关于y轴对称，则nm的值为(    )
A. −2 B. 12 C. −12 D. 1
7. 在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列条件中，不可能事件是(    )
A. 摸出的2个球有一个是白球 B. 摸出的2个球都是黑球
C. 摸出的2个球有一个黑球 D. 摸出的2个球都是白球
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是(    )






A. ∠B=∠F B. DE=EF C. AC=CF D. AD=CF
9. 家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC=90°，则扇形部件的面积为(    )
A. 12π米 2
B. 14π米 2
C. 18π米 2
D. 116π米 2
10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，动点P从A点出发，沿折线A−C−B以每秒5个单位长度的速度运动(运动到B点停止)，过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是(    )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式：2x2y−8y=______．
12. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到1500000次，数字1500000用科学记数法表示为______ ．
13. 关于x的方程kx2−4x−4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为______．
14. 如图，在▱ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于______ ．


15. 如图，三角形纸板ABC，点M，N分别是AB，AC中点，点D，E在BC上，DE=12BC，小明随机向纸板内投掷飞镖一次，飞镖落在阴影部分的概率是______ ．


16. 如图，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，AD平分∠OAB交OC于点D，过点D作DE⊥AD交BC于点E，AD=OD，BE=2CE，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A和点E，若S△ADE=12 3，则k的值是______ ．

17. 如图，矩形ABCD的边AD的长为6，将△ADC沿对角线AC翻折得到△AD′C，CD′与AB交于点E，再以CD′为折痕，将△BCE进行翻折，得到△B′CE，若两次折叠后，点B′恰好落在△ADC的边上，则AB的长为        ．


18. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是平面内动点，AE= 2，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°得FE，连接AF，CF，当AF最大时，CF的长为______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 先化简，再求值：a2−b2a÷(a−2ab−b2a)，其中a=2+ 3，b=2− 3．
四、解答题（本大题共7小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题12.0分)
某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：

图中信息解答下列问题
(1)本次被调查的学生有______人；
(2)根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为______，请补充条形统计图．
(3)最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．
21. (本小题12.0分)
春节期间，某超市计划购进A，B两类预制菜礼盒，已知用2000元购进A类预制菜礼盒的盒数与用1600元购进B类预制菜礼盒的盒数相同，B类预制菜礼盒的单价比A类预制菜礼盒的单价少20元．
(1)求A，B两类预制菜礼盒的单价各是多少元；
(2)超市计划购进A，B两类预制菜礼盒共50盒，且购买的总费用不超过4600元，求最多可以购进多少盒A类预制菜礼盒？
22. (本小题12.0分)
某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.(结果精确到1m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， 3≈1.73)


23. (本小题12.0分)
为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴.王华按相关政策投资销售某品牌服装，已知这种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数：y=−3x+900．
(1)若王华将销售单价定为160元，那么政府每个月补贴多少元？
(2)设王华每月获得的总收益为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月的总收益最大，最大总收益是多少元？(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)
24. (本小题12.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，C为⊙O上一点，点F为CB上一点，且CF=CA，过点C作CE⊥BF交BF的延长线于点E，延长EC交BA的延长线于点D．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tan∠ACD=12，OA=3，求EF的长．

25. (本小题12.0分)
如图，等边三角形△ABC，点D在射线CA上，DH//AB，点E在BC上(点E不与点B，C重合)；射线ED交射线BA于点G；将射线ED绕点E顺时针旋转120°交DH于点F，过点E作EM⊥DH于点M．
(1)如图1，若AD=BE，直接写出DG与EG的数量关系；
(2)如图2，若CD=2CE，请写出EM与DF的数量关系，并说明理由；
(3)若CE=AD=14AC，直接写出EMDE的值．


26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+b+3与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C，OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图，点E是第一象限抛物线上的一点，连接AE，BE，将△ABE绕点E顺时针旋转90°得到△FDE，当点B的对应点D恰好落在抛物线的对称轴上时，求点E的坐标；
(3)点P是y轴右侧抛物线上的动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线BC于点M，当△CPM中有一个角等于∠ACO的2倍时，直接写出点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵−4<−3<−2<0，
∴比−3小的数是−4，
故选：D．
根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小．

2.【答案】D 
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、单项式乘以多项式，解题的关键是明确它们各自的计算方法．计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照，即可解答本题．
【解答】
解：A.−m2⋅m3=−m5，故选项A正确，
B.−x2+2x2=x2，故选项B正确，
C.(−a3b)2=a6b2，故选项C正确，
D.−2x(x−y)=−2x2+2xy，故选项D错误，
故选D．  
4.【答案】C 
【解析】解：从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行右边有一个正方形，
故选：C．
从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图，据此求解．
本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解俯视图的定义，属于基础题，难度不大．

5.【答案】C 
【解析】解：该班30名学生一周阅读课外书籍时间的中位数是7+82=7.5，
故选：C．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

6.【答案】B 
【解析】解：∵点P(m−1,4)与点Q(2,n+2)关于y轴对称，
∴m−1=−2，n+2=4，
解得：m=−1，n=2，
则nm的值为：2−1=12．
故选：B．
直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，
∴从中任意摸出2个球，可能摸出的2个球有一个是白球或摸出的2个球都是黑球或摸出的2个球有一个黑球，
不可能摸出的2个球都是白球．
故选：D．
利用黑白颜色小球的个数，进而分析得出符合题意的答案．
此题主要考查了随机事件，利用已知小球个数分析是解题关键．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
利用三角形中位线定理得到DE//AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
A、当∠B=∠F时，不能判定AD//CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE=EF，
∴DE=12DF，
∴AC=DF，
∵AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC=CF，不能判定AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD=CF，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF//AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．  
9.【答案】C 
【解析】解：连接BC，AO，如图所示，
∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵⊙O的直径为1米，
∴AO=BO=12(米)，
∴AB= AO2+BO2= 22(米)，
∴扇形部件的面积=90360π×( 22)2=π8(米 2)，
故选：C．
连接BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO=BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵∠C=90°，AC=15，BC=20，
∴AB= AC2+BC2= 152+202=25，
①当0≤x≤3时，点P在AC边上，如图所示：

此时AP=5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDA=90°=∠C，
∵∠CAB=∠DAP，
∴△CAB∽△DAP，
∴ADAC=PDBC=APAB，
∴AD=AC⋅APAB=15×5x25=3x，PD=BC⋅APAB=2020×5x25=4x，
∴y=12AD⋅PD=12×3x×4x=6x2；
②当3
此时BP=35−5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°=∠C，
∵∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴PDAC=BDBC=PBAB，
∴PD=PB⋅ACAB=(35−5x)×1525=21−3x，BD=PB⋅BCAB=(35−5x)×2025=28−4x，
∴AD=AB−BD=25−(28−4x)=4x−3，
∴y=12AD⋅PD=12(4x−3)(21−3x)=−6x2+932x−632．
故选：C．
根据勾股定理求出AB=25，再分别求出0≤x≤3和3 本题考查动点问题的函数图象以及相似三角形的判定和性质，关键是用分类讨论的思想求出函数解析式．

11.【答案】2y(x+2)(x−2) 
【解析】解：2x2y−8y，
=2y(x2−4)，
=2y(x+2)(x−2)．
故答案为：2y(x+2)(x−2)．
先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12.【答案】1.5×106 
【解析】解：150万=1500000=1.5×106．
故答案为：1.5×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．

13.【答案】1 
【解析】
【分析】
本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意k≠0的条件．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2−4ac>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：∵关于x的方程kx2−4x−4=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且b2−4ac>0，
即k≠0 Δ=16+16k>0 ，
解得k>−1且k≠0，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为1．  
14.【答案】70° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAD=180°−∠B=130°，∠ACF=∠CAD=30°，
由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=30°，
∴∠BAF=∠BAD−∠CAD−∠CAF=70°．
故答案为70°．
根据∠BAF=∠BAD−∠CAD−∠CAF，想办法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF即可．
本题考查基本作图、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

15.【答案】12 
【解析】解：连接MN，设ME与DN交于点O．

设BC=a，△ABC中BC边上的高为h，则DE=12BC=12a.
∵点M、N分别是AB，AC中点，
∴MN//BC，MN=12BC=12a，△AMN中MN边上的高为12h，梯形MBCN的高为12h，
∴∠MNO=∠EDO．
在△MON与△EOD中，
∠MNO=∠EDO∠MON=∠EODMN=DE，
∴△MON≌△EOD(AAS)，
∴S△MON=S△EOD，△OMN中MN边上的高为14h，△ODE中DE边上的高为14h.
∵S△ABC=12ah，
∴S阴影部分=S△ABC−S△AMN−S△OMN−S△ODE
=12ah−12⋅12a⋅12h−12⋅12a⋅14h×2
=14ah，
∴飞镖落在阴影部分的概率是14ah12ah=12．
故答案为：12．
飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与三角形ABC的面积之比．
此题考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．也考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积．

16.【答案】18 3 
【解析】解：过点A作AF⊥x轴于F，过点E作EH⊥x轴于H，

∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB//OC，OA//BC，OA=BC，
∴∠BAD=∠ODA，
∵AD平分∠OAB，
∴∠OAD=∠BAD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，
又∵AD=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠OAD=∠ADO=60°
∵AF⊥OD，
∴AF是∠OAD的平分线，即：∠OAF=30°，
设OF=a，
在Rt△OAF中，∠OAF=30°，OF=a，
∴OA=2a，由勾股定理得：AF=√OA2−OF2=√3a，
∴AD=OA=2a，AF= OA2−OF2= 3a
∵BE=2CE，
∴BC=OA=3CE，
∵OA//BC，
∴∠ECH=∠AOF，
又AF⊥x轴，EH⊥x轴，
∴∠AFO=∠EHC=90°，
∴△AOF∽△ECH，
∴AFEH=OACE=3，
∴EH=12AF= 3a3，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDH=180°−∠ADO−∠ADE=30°，
在Rt△DEH中，∠EDH=30°，
∴DE=2EH=2 3a3，
∴S△ADE=12AD⋅DE=12 3，
即：12⋅2a⋅2 3a3=12 3，
解得：a2=18，
∵OF=a，AF= 3a，
∴点A的坐标为(a, 3a)，
∴k=a× 3a= 3a2=18 3．
故答案为：18 3．
过点A作AF⊥x轴于F，过点E作EH⊥x轴于H，可证△OAD为等边三角形，设OF=a，则AD=OA=2a，AF= 3a，然后证△AOF和△ECH相似，从而得EH= 3a3，进而得DE=2 3a3，然后根据△ADE的面积可求出a的值，继而可求出点A的坐标，最后再将点A的坐标代入函数的解析式即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，平行四边形的性质，平行四边形的面积，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解答此题的关键是设置适当的未知数，利用直角三角形的性质、相似三角形的性质以及勾股定理表示出AD和DE．

17.【答案】6 3或6 2+6 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，∠B=∠D=90°，
∵将△ADC沿对角线AC翻折得到△AD′C，
∴∠D′=∠D=90°，AD′=AD=6，
∵将△BCE进行翻折，得到△B′CE，
∴∠CBE=∠B=90°，CB=CB′=6，
①当点B′恰好落在AC上时，如图1，

在△AD′E和△CBE中，
∠AD′E=∠B=90°∠AED′=∠CEBAD′=CB，
∴△AD′E≌△CBE(AAS)，
∴EA=EC，
∴△EAC为等腰三角形，
∵CB′E=∠B=90°，
∴点B为AC中点，
∴AC=2CB=2CB=12，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
AB= AC2−BC2= 122−62=6 3；
②当点B恰好落在DC上时，如图2，

∵CB′E=∠B=∠ACB=90°，
∴四边形BCB′E是矩形，
∴B′E=BC=6，
由翻折可知：BE=B′E=6，
∴CE= BE2+BC2=6 2，
在△AD′E和△CBE中，
∠AD′E=∠B=90°∠AED′=∠CEBAD′=CB，
∴△AD′E≌△CBE(AAS)，
∴EA=EC=6 2，
∴AB=EA+BE=6 2+6，
综上所述：AB的长为6 3或6 2+6．
故答案为：6 3或6 2+6．
分两种情况画图讨论：①当点B′恰好落在AC上时，如图1，②当点B恰好落在DC上时，如图2，然后利用翻折性质证明△AD′E≌△CBE(AAS)，再利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

18.【答案】2 2 
【解析】解：连接BD，BF，DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BDAB= 2，∠ABD=45°，
∵将BE绕点E顺时针旋转90°得FE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BFBE= 2，∠EBF=45°，
∴BDAB=BFBE，∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴DF= 2AE=2，
∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
当点A、D、F共线时，AF最大，此时CF= 22+22=2 2，
故答案为：2 2．
连接BD，BF，DF，根据等腰直角三角形的性质得BDAB=BFBE，∠ABE=∠DBF，得△ABE∽△DBF，则DF= 2AE=2，可知点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，进而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，定点定长等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．

19.【答案】解：原式=(a+b)(a−b)a÷a2−2ab+b2a
=(a+b)(a−b)a⋅a(a−b)2
=a+ba−b，
当a=2+ 3，b=2− 3时，
原式=2+ 3+2− 32+ 3−2+ 3
=42 3
=2 33． 
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

20.【答案】(1)50
(2)72°
条形统计图补充为：

(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，
所以所选的两人恰好都是男生的概率=612=12． 
【解析】解：(1)20÷40%=50(人)，
所以本次被调查的学生有50人；
故答案为50；
(2)“散文”类所对应的圆心角的度数为360°×1050=72°；
最喜欢“绘画”类的人数为50−4−20−10=16(人)，

(1)用最喜欢“诗歌”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
(2)用360°乘以“散文”类的人数所占的百分比得到“散文”类所对应的圆心角的度数，然后计算最喜欢“绘画”类的人数后补全条形统计图；
(3)通过树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表或画树状图展示使用等可能的结果，再找出某事件的结果数，然后根据概率公式求此事件的概率．当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．也考查了统计图．

21.【答案】解：(1)设A类预制菜礼盒的单价是x元，则B类预制菜礼盒的单价是(x−20)元，
根据题意得：2000x=1600x−20，
解得：x=100，
经检验，x=100是所列方程的解，其符合题意，
∴x−20=100−20=80．
答：A类预制菜礼盒的单价是100元，B类预制菜礼盒的单价是80元；
(2)设购进m盒A类预制菜礼盒，则购进(50−m)盒B类预制菜礼盒，
根据题意得：100m+80(50−m)≤4600，
解得：m≤30，
∴m的最大值为30．
答：最多可以购进30盒A类预制菜礼盒． 
【解析】(1)设A类预制菜礼盒的单价是x元，则B类预制菜礼盒的单价是(x−20)元，利用数量=总价÷单价，结合用2000元购进A类预制菜礼盒的盒数与用1600元购进B类预制菜礼盒的盒数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A类预制菜礼盒的单价，再将其代入(x−20)中，即可求出B类预制菜礼盒的单价；
(2)设购进m盒A类预制菜礼盒，则购进(50−m)盒B类预制菜礼盒，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4600元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

22.【答案】解：延长AB交OF于点G，延长CD交OF于点H，

由题意得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴GOAGtan70∘≈602.75≈21.8(m)，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，∠HFE=60°，∠FOE=30°，
∴∠FEO=∠HFE−∠FOE=30°，
∴∠FOE=∠FEO=30°，
∴FO=EF=24m，
在Rt△EFH中，FH=EF⋅cos60°=24×12=12(m)，
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58(m)，
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 
【解析】延长AB交OF于点G，延长CD交OF于点H，根据题意可得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角性质可得∠FOE=∠FEO=30°，从而可得O=EF=24m，最后在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：(1)当x=160时，y=−3×160+900=420，
∵每件政府补贴20元，
∴政府每个月补贴420×20=8400(元)；
(2)根据题意得：w=(x−100+20)(−3x+900)=−3(x−190)2+36300，
∵−3<0，
∴当x=190时，w取最大值，最大值为36300，
∴当销售单价定为190元时，每月的总收益最大，最大总收益是36300元． 
【解析】(1)令x=160算出y的值，由每件政府补贴20元，列式计算即可；
(2)根据题意列出w关于x的函数，再由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

24.【答案】(1)证明：连接OC，则OC=OE，
∴∠OCB=∠ABC，
∵CF=CA，
∴∠FBC=∠ABC，
∴∠OCB=∠FBC，
∴OC//BF，
∵CE⊥BF交BF的延长线于点E，
∴∠OCD=∠E=90°，
∵OC是⊙O的半径，且DE⊥OC，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：连接AF交OC于点I，
∵AB是⊙O的直径，OA=3，
∴∠ACB=90°，OC=OA=3，AB=2OA=6，
∴∠ABC=∠ACD=90°−∠OCA，
∴ACBC=tan∠ABC=tan∠ACD=12，
∴BC=2AC，
∴AB= BC2+AC2= (2AC)2+AC2= 5AC，
∴ 5AC=6，
∴AC=6 55，
∴BC=2×6 55=12 55，
∵∠EBC=∠ABC，
∵CEBC=sin∠EBC=sin∠ABC=ACAB=6 556= 55，
∴CE= 55BC= 55×12 55=125，
∵CF=CA，
∴OC垂直平分AF，
∴∠OIA=∠FIC=∠ICE=∠E=90°，
∴四边形EFIC是矩形，
∴AI=FI=CE=125，
∴OI= OA2−AI2= 32−(125)2=95，
∴EF=CI=OC−OI=3−95=65，
∴EF的长是65． 
【解析】(1)连接OC，则OC=OE，所以∠OCB=∠ABC，由CF=CA，得∠FBC=∠ABC，则∠OCB=∠FBC，所以OC//BF，则∠OCD=∠E=90°，即可证明DE是⊙O的切线；
(2)连接AF交OC于点I，由AB是⊙O的直径，OA=3，得∠ACB=90°，OC=OA=3，AB=2OA=6，则∠ABC=∠ACD=90°−∠OCA，所以ACBC=tan∠ABC=tan∠ACD=12，则BC=2AC，所以AB= BC2+AC2= 5AC=6，则AC=6 55，BC=12 55，所以CEBC=sin∠EBC=sin∠ABC=ACAB= 55，则CE= 55BC=125，再证明四边形EFIC是矩形，则AI=FI=CE=125，所以OI= OA2−AI2=95，则EF=CI=OC−OI=65．
此题重点考查圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

25.【答案】解：(1)DG=EG，理由：
如图1，过点E作EN//AC交AB于点N，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
∵EN//AC，
∴∠BNE=∠BAC=60°，∠BEN=∠C=60°，
∴∠BNE=∠BEN=∠ABC=60°，
∴△BNE是等边三角形，
∴BE=NE，
∵AD=BE，
∴AD=NE，
∵EN//AC，
∴∠NEG=∠ADG，
在△ADG和△NEG中，
∠ADG=∠NEG∠AGD=∠NGEAD=NE，
∴△ADG≌△NEG(AAS)，
∴DG=EG；
(2)DF=2 3EM，理由：
如图2，过点E作EP//AB交AC于点P，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
∵EP//AB，
∴∠CEP=∠ABC=60°，∠CPE=∠BAC=60°，
∴∠CEP=∠CPE=∠C=60°，
∴△CEP是等边三角形，
∴CE=CP=EP，
∵CD=2CE，
∴CD=2CP，
∴DP=CP=CE=EP，
∴∠PED=∠PDE，
∵∠CPE=60°，
∴∠PED=∠PDE=30°，
∵DH//AB，
∴∠FDA=∠BAC=60°，
∴∠FDE=∠FDA−∠PDE=60°−30°=30°，
∵∠DEF=120°，
∴∠EFD=180°−∠FDE−∠DEF=180°−30°−120°=30°，
∴∠FDE=∠EFD，
∴EF=ED，
∵EM⊥DH，
∴MF=MD，
在Rt△FME中，∠EFD=30°，
∴∠FEM=60°，
∴tan60°=MFEM，
∴MF= 3EM，
∴DF=2MF=2 3EM；
(3)如图3，当点D在点A左边时，延长CB交DH于点K，过点D作DQ⊥CB于点Q，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
∵DH//AB，
∴∠CKD=∠ABC=60°，∠CDK=∠BAC=60°，
∴∠CKD=∠CDK=∠C=60°，
∴△CKD是等边三角形，
∴CK=CD=DK，
设AD=CE=x，
∵AD=CE=14AC，
∴AC=4x，
∴CD=5x=CK，
∴EK=CK−CE=5x−x=4x，
∵EM⊥DH，
∴∠EMK=90°，
∴sin60°=EMEK，
即 32=EM4x，
∴EM=2 3x，
∵DQ⊥CB，
∴∠DQC=90°，
∴sin60°=DQCD，cos60°=CQCD，
∴ 32=DQ5x，12=CQ5x，
∴DQ=5 32x，CQ=52x，
∴EQ=CQ−CE=32x，
在Rt△DQE中，由勾股定理得DE= DQ2+EQ2= (5 32x)2+(32x)2= 21x，
∴EMDE=2 3x 21x=2 77；
如图4，当点D在点A右边时，设DH与CB交于点K，过点D作DQ⊥CB于点Q，

同理可得△CKD是等边三角形，
∴CK=CD=DK，
设AD=CE=x，
∵AD=CE=14AC，
∴AC=4x，
∴CD=3x=CK，
∴EK=CK−CE=3x−x=2x，
∵EM⊥DH，
∴∠EMK=90°，
∴sin60°=EMEK，
∴ 32=EM2x，
∴EM= 3x，
∵DQ⊥CB，
∴∠DQC=90°，
∴sin60°=DQCD，cos60°=CQCD，
∴ 32=DQ3x，12=CQ3x，
∴DQ=3 32x，CQ=32x，
∴EQ=CQ−CE=12x，
在Rt△DQE中，由勾股定理得DE= DQ2+EQ2= (3 32x)2+(12x)2= 7x，
∴EMDE= 3x 7x= 217，
综上，EMDE的值是2 77或 217． 
【解析】(1)过点E作EN//AC交AB于点N，先证△BNE是等边三角形，再证△ADG和△NEG全等，即可得出DG=EG；
(2)过点E作EP//AB交AC于点P，先证△CEP是等边三角形，结合已知CD=2CE即可得出DP=CP=CE=EP，再根据三角形外角的性质得到∠PED=∠PDE=30°，于是有∴∠FDE=∠EFD=30°，在Rt△FME中得出MF与EM的关系，即可得出EM与DF的数量关系；
(3)当点D在点A左边时，延长CB交DH于点K，过点D作DQ⊥CB于点Q，先证△CKD是等边三角形，设AD=CE=x，则AC=4x，CD=5x，从而求出EK，在Rt△EMK中求出EM的长，再在Rt△DQC中求出DQ，CQ的长，于是得出EQ的长，在Rt△DQE中，由勾股定理求得DE的长，从而问题得解；当点D在点A右边时，设DH与CB交于点K，过点D作DQ⊥CB于点Q，解法同上．
本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：(1)当x=0时，y=3，则点C(0,3)，则CO=3，
则AO=1，即点A(−1,0)，
则9a+3b+3=0a−b+3=0，解得a=−1b=2，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；

(2)分别过点E、B作x轴、y轴的平行线交于点N，交抛物线对称轴于点K，

∴∠EKD=∠ENB=90°，
∵∠BED=90°，
∴∠DEK+∠KDE=90°，∠DEK+∠BEN=90°，
∴∠KDE=∠BEN，
∵BE=ED，
∴△DEK≌△BEN(AAS)，
∴DK=EN，EK=NB，
设BN=EK=m，EN=DK=n，
则点E(1+m,m)，
将点E的坐标代入抛物线表达式得：−(1+m)2+2(1+m)+3=m，
解得：m=−1+ 172(负值已舍去)，
则点E(1+ 172,−1+ 172)；

(3)取点A关于y轴的对称点D(1,0)，则∠ACD=2∠ACO=α，
过点D作DT⊥AC于点T，
由点A、C、D的坐标得，AD=2，AC= 10=CD，CO=3，
则S△ACD=12×AD⋅CO=12×AC⋅DH，
则2×3= 10×DT，则DT=6 10，
则sin∠ACD=DTCD=6 10 10=35=sinα，则tanα=34，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x−3，
设点P的坐标为：(m,−m2+2m+3)，则点M(m,m−3)，则PM=|−m2+2m+−m+3|=|−m2+3m|，
△CPM中有一个角等于∠ACO的2倍时，即△CPM中有一个角的正切值为34，
由直线BC的表达式知，∠MBQ=45°=∠CMP，CM= 2m，
①当tan∠PCM=34时，
如图2，当点P在x轴上方时，

设PH=3t=HM，CH=4t，
则CM= 2m=CH+HM=7t，而PM=−m2+3m= PH2+HM2=3 2t，
即 2m=7t−m2+3m=3 2t，
解得：m=157，
即点P的坐标为：(157,13249)；
当点P在x轴下方时，
同理可得，点P的坐标为：(9,−60)；
②当tan∠CPM=34时，
当点P在x轴上方时，如图3，作CN⊥PM于点N，

同理可得：PM=−m2+3m=7t，CM= 2m=3 2t，
即 2m=3 2t−m2+3m=7t，
解得：m=23，
即点P的坐标为：(23,259)；
当点P在x下方时，
同理可得，点P的坐标为：(103,−139)；
综上，点P的坐标为：(157,13249)或(9,−60)或(23,259)或(103,−139). 
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)证明△DEK≌△BEN(AAS)，得到点E(1+m,m)，即可求解；
(3)①当tan∠PCM=34时，如图2，当点P在x轴上方时，由CM= 2m=CH+HM=7t，而PM=−m2+3m= PH2+HM2=3 2t，即可求解；当点P在x轴下方时，同理可解；②当tan∠CPM=34时，同理可解．
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了解直角三角形，直角三角形的性质等，分类求解是解决问题．