（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题28 统计与概率（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1、统计图：条形统计图，扇形统计图，折线统计图。
2、统计调查过程：（1）问卷调查法——收集数据；（2）列统计表——整理数据；（3）画统计图——描述数据。
3、统计调查方法：全面调查（普查）和抽样调查。
（1）通过全面调查（普查）可以得到较为全面、可靠的信息，但花费时间长，耗费大。
（2）有些项目不适合全面调查（普查）
①调查者能力有限，例如个体调查者无法对全国中小学生视力情况进行全面调查（普查）。
②调查过程具有破坏性，例如调查手机是否符合 IPX6级防水标准。
4、总体、个体、样本、样本容量
（1）总体：调查对象的全体；（2）个体：组成总体的每一个调查对象；
（3）样本：总体中取出部分个体；（4）样本容量：一个样本包括的个体数量。（样本容量只是个数字，没有单位）
5、频数与频率
（1）频数：每个对象出现的次数。
（2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值，即频率＝频数÷总数。
6、统计图的选择
（1）扇形统计图特点：
①用扇形面积表示部分在总体中所占百分比；②容易显示每组数据相对于总数的大小。
（2）条形统计图的特点：
①能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②方便比较数据之间的差别。
（3）折线统计图的特点：
①能清楚地反映事物的变化情况；②显示数据变化趋势。
【热点题型精练】
1．（2021•南通中考真题）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
解：A．了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
答案：A．
2．（2021•张家界中考真题）某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（ ）
A．总体是该校4000名学生的体重
B．个体是每一个学生
C．样本是抽取的400名学生的体重
D．样本容量是400
解：A．总体是该校4000名学生的体重，说法正确，故A不符合题意；
B．个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B符合题意；
C．样本是抽取的400名学生的体重，说法正确，故C不符合题意；
D．样本容量是400，说法正确，故D不符合题意．
答案：B．
3．（2021•盘锦中考真题）空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）
A．条形图B．扇形图C．折线图D．直方图
解：条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别，故A选项不符合题意；
扇形统计图中用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，故B选项符合题意；
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，故C选项不符合题意；
直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势，故D选项不符合题意．
答案：B．
4．（2021•徐州中考真题）第七次全国人口普查的部分结果如图所示．
根据该统计图，下列判断错误的是（ ）
A．徐州0～14岁人口比重高于全国
B．徐州15～59岁人口比重低于江苏
C．徐州60岁及以上人口比重高于全国
D．徐州60岁及以上人口比重高于江苏
解：根据图表内容可知，
徐州0～14岁人口比重高于全国，故A正确，不符合题意；
徐州15～59岁人口比重低于江苏，故B正确，不符合题意；
徐州60岁及以上人口比重高于全国，故C正确，不符合题意；
徐州60岁及以上人口比重低于江苏，故D错误，符合题意；
答案：D．
5．（2021•常德中考真题）舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①
解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表；
按统计表的数据绘制折线统计图；
从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势．
答案：D．
6．（2021•乐山中考真题）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）
A．32B．7C．D．
解：∵抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，
∴测试结果为“健康”的频率是：＝．
答案：D．
7．（2021•株洲中考真题）某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）
A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加
B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
解：A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加；故A中结论正确，不符合题意；
B．1日﹣5日，乙的步数逐天减少；6日的步数比5日的步数多，故B中结论错误，符合题意；
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等；故C中结论正确，不符合题意；
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D中结论正确，不符合题意；
答案：B．
8．（2021•河北中考真题）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（ ）”应填的颜色是（ ）
A．蓝B．粉C．黄D．红
解：根据题意得：
5÷10%＝50（人），
（16÷50）×100%＝32%，
则喜欢红色的人数是：50×28%＝14（人），
50﹣16﹣5﹣14＝15（人），
∵柱的高度从高到低排列，
∴图2中“（ ）”应填的颜色是红色．
答案：D．
9．（2021•福建中考真题）某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 270 ．
解：根据题意得：
1000×＝270（人），
答案：270．
10．（2021•长沙中考真题）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 50 ．
解：∵30÷25%＝120（份），
∴一共抽取了120份作品，
∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120﹣30﹣28﹣12＝50（份），
答案：50．
11．（2021•朝阳中考真题）“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的人数；
（2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 90° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．
解：（1）总人数＝50÷＝120（人）；
（2）阴影部分扇形的圆心角＝360°×＝90°，
答案：90°；
（3）优秀的人数为：120﹣30﹣50＝40（人），
条形统计图如图所示：
（4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500×＝500（人），
答：该校1500名学生中测试成绩达到优秀的学生有500人．
12．（2021•郴州中考真题）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
答案：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：
（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（4）列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
考点02 数据分析
【高频考点精讲】
1、算术平均数
（1）平均数：所有数据之和除以数据的个数，是反映数据集中趋势的一项指标。
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的算术平均数。
2、加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数。
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如演讲内容占50%，语言表达占40%，形象风度占20%，权的大小直接影响结果。
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响。
3、中位数
（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
（2）中位数是一组数据中间位置上的代表值，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息。
4、众数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数。
（2）众数求法：找出频数最多的那个数据，若多个数据的频数都是最多且相同，此时众数就是多个数据。
（3）众数反映了一组数据的集中程度，是描述一组数据集中趋势的量。
5、方差
（1）方差：一组数据中各个数据与它们平均数作差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
（2）方差用s2来表示，计算公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]
（3）方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好。
【热点题型精练】
13．（2021•黑龙江中考真题）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝1.6；
新数据2，4，4，6的平均数为×（2+4+6+4）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×2+（6﹣4）2]＝2；
答案：D．
14．（2021•宁夏中考真题）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.9和4.8B．4.9和4.9C．4.8和4.8D．4.8和4.9
解：由统计表可知众数为4.9；
共有：8+7+9+14+12＝50人，中位数应为第25与第26个的平均数，
而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9．
答案：B．
15．（2021•湘潭中考真题）某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（ ）
A．7分B．8分C．9分D．10分
解：小明同学五项评价的平均得分为＝9（分），
答案：C．
16．（2021•通辽中考真题）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差B．中位数，方差
C．中位数，众数D．平均数，众数
解：由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），
成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，
成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
答案：C．
17．（2021•益阳中考真题）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A．140元B．160元C．176元D．182元
解：[200×30×80%+80×30×（1﹣80%）]÷30
＝（4800+480）÷30
＝176（元），
答案：C．
18．（2021•嘉兴中考真题）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是℃
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
解：A、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为27℃，故A错误，符合题意；
B、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；
C、平均数为（23+25+26+27+30+33+33）＝，正确，不符合题意；
D、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，
答案：A．
19．（2021•绥化中考真题）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（ ）
A．①③B．③④C．①②D．②④
解：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的大约有2000×＝800（人），此推断合理，符合题意；
②本次调查抽取的样本容量为200，故原说法错误，不符合题意；
③样本中仅使用A种支付方式的员工，第30、31个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理，符合题意；
④样本中仅使用B种支付方式的员工，上个月的支付金额的众数无法估计，此推断不正确，不符合题意．
故推断正确的有①③，
答案：A．
20．（2021•滨州中考真题）某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：
那么，这批女演员身高的方差为 2cm2 ．
解：＝＝165（cm），
s2＝×[（163﹣165）2×1+（164﹣165）2×2+（165﹣165）2×3+（166﹣165）2×1+（168﹣165）2×1]＝2（cm2），
答案：2cm2．
21．（2021•河南中考真题）某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 甲 （填“甲”或“乙”）．
解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小，
所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，
所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
答案：甲．
22．（2021•株洲中考真题）中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：
则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 2.5 千克．
解：黄芪的销售量为120÷80＝1.5（千克），
焦山楂的销售量为120÷60＝2（千克），
当归的销售量为360÷90＝4（千克）．
该中药房的这三种中药的平均销售量为＝2.5（千克）．
答案：2.5．
23．（2021•丽水中考真题）根据第七次全国人口普查，华东A，B，C，D，E，F六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是 18.75% ．
解：把这些数从小到大排列为：16.0%，16.9%，18.7%，18.8%，20.9%，21.8%，
则中位数是＝18.75%．
答案：18.75%．
考点03 概率
【高频考点精讲】
1、概率的意义
（1）在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数k附近，那么常数k叫做事件A的概率，记为P（A）＝k。
（2）概率取值范围：0≤k≤1。
（3）必然发生事件概率P（A）＝1；不可能事件概率P（A）＝0。
（4）随机事件A概率P（A）＝。
（5）事件发生的可能性越大，概率越接近1，事件发生的可能性越小，概率越接近0。
2、列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能结果较多时，我们常用列表方式列出所有可能的结果，再求出概率。
（2）列表目的在于列举出所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，求出概率。
（3）当一个事件涉及三个或更多元素时，通常采用树形图，树形图列举法一般选择一个元素，再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是全部的可能结果。
（4）列举法或树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果。
【热点题型精练】
24．（2021•淮安中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
答案：B．
25．（2021•郴州中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．
答案：B．
26．（2021•兰州中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色．的有8个，
故取得的小正方体恰有三个面被涂色．的概率为．
答案：B．
27．（2021•常州中考真题）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（ ）
A．B．C．D．
解：A．∵圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，
∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
B．∵圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，
∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
C．∵圆被等分成5份，其中阴影部分占2份，
∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
D．∵圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，
∴落在阴影区域的概率为：＝，故此选项符合题意；
答案：D．
28．（2021•滨州中考真题）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：由题意可得，
线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
设线段、等边三角形、平行四边形和正六边形分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的有6种，
∴抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率是＝，
答案：A．
29．（2021•徐州中考真题）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（ ）
A．摸到红色糖果的概率大B．摸到红色糖果的概率小
C．摸到黄色糖果的概率大D．摸到黄色糖果的概率小
解：小明从甲袋子中随机摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率为，摸到黄色糖果的概率为，
从乙袋子中摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率为＝，摸到黄色糖果的概率为＝，
∵＞，
∴小明从甲袋比从乙袋摸到黄色糖果的概率大，
答案：C．
30．（2021•西宁中考真题）从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是 ．
解：∵从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，共有5种等可能结果，其中抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有2种结果，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是，
答案：．
31．（2021•邵阳中考真题）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是 ．
解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴它遇到食物的概率是：
＝．
答案：．
32．（2021•济南中考真题）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若将飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ．
解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P（飞镖落在黑色区域）＝＝．
答案：．
33．（2021•成都中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．
解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率＝＝．
答案：
类型
健康
亚健康
不健康
数据（人）
32
7
1
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
8
7
9
14
12
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
支付金额a（元）
0＜a≤1000
1000＜a≤2000
a＞2000
仅使用A
36人
18人
6人
仅使用B
20人
28人
2人
身高（cm）
163
164
165
166
168
人数
1
2
3
1
1
中药
黄芪
焦山楂
当归
销售单价（单位：元/千克）
80
60
90
销售额（单位：元）
120
120
360
糖果
袋子
红色
黄色
绿色
总计
甲袋
2颗
2颗
1颗
5颗
乙袋
4颗
2颗
4颗
10颗