安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）
展开屯溪一中2020—2021学年第二学期期中考试卷
高二数学（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
- 函数，则的值是
A. B. 0 C. 1 D.
- 若复数为虚数单位是关于x的方程q为实数的一个根，则的值为
A. 4 B. 2 C. 0 D.
- 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是
A. B.
C. D.
- 在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为
A. B. C. D.
- 有一“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确
- 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是
A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若变量y和x之间的相关系数，则变量y与x之间具有线性相关关系
- 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是
A. 假设三内角都不大于 B. 假设三内角都大于
C. 假设三内角至多有一个大于 D. 假设三内角至多有两个小于
- 抛物线，过点，F为焦点，定点B的坐标为，则：值为
A. 1：4 B. 1：2 C. 2：5 D. 3：8
- 为激发学生学习其趣，老师上课时在板上写出三个集合：，，，然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“”中的数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 观察下列各式：，，，则
A. 14400 B. 13959 C. 14175 D. 13616
- 如图，已知，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
- 已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有恒成立，且，则使成立的实数x的集合为
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共4小题，共20分）
- 若，则________．
- 已知复数，复数z满足，则 ______ ．
- 下面几种推理
由圆的性质类比出球的有关性质；
由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是；
由，满足，，推出是奇函数；
三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是．是合情推理的是______．
- 已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，，，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
- 用综合法证明：；若且，用分析法证明：．
- 已知m，n，，函数的单调递减区间，区间．
求m和n的值；“”是“”的充分条件，求a的取值范围．
- 观察下列各式：
探索以上式子的规律．
第2021个式子是_________________________________．
试写出第n个等式，并证明第n个等式成立．
- 已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点、、和组成了一个高为，面积为的等腰梯形．
求椭圆的方程；
过点的直线和椭圆交于两点A、B，求面积的最大值．
- 某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用单位：千万元对年销售量单位：千万件的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量2，，的数据，得到如图散点图．
利用散点图判断，和其中c，d为大于0的常数哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型只要给出判断即可，不必说明理由．
对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如表：
15 | 15 |
根据的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；
已知企业年利润单位：千万元与x，y的关系为其中，根据的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
- 已知函数．
求函数的单调区间；
若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围．
屯溪一中2020—2021学年第二学期期中考试卷
高二数学（文科） 答案
1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B
8. C 9. A 10. B 11. A 12. C
13. 6 14. 15. 16. 8
17. 证明：，，，
，； 5分
要证：，
只需证，
只需证，
只需证，
即证，
因为且，所以显然成立．所以原不等式得证． 10分
18. 解：
由，有，得
又的单调递减区间为，所以，． 6分
，有得．
又是的充分条件，可知，
有，得，故实数a的取值范围为 12分
19. 解：； 4分
由题意可知： ，
左边，
右边，左边右边，
． 12分
20. 解：由题意知，，所以，
又，即，
联立解得，，
所以椭圆方程为：； 4分
由知，设，，过点的直线方程为，
由得，成立，
且，，
的面积
， 8分
又，所以递增，所以，
所以，当且仅当时取得等号，
所以面积的最大值为3． 12分
21. 解：由散点图知，选择回归类型，更适合． 2分
对两边取对数，得，即．
由表中数据得，
所以，所以．
所以y关于x的回归方程为． 7分
由知，，求导得，
令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，预计年利润取最大值亿元．
答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入亿元． 12分
22. 解：函数的定义域为，且，
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，为常函数． 5分
由及题意得，即，，．
，．
在区间上总不是单调函数，即在区间上有变号零点．
由于，
当时，即对任意恒成立，
由于，故只要且，即且，即；
由，即．
． 12分
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