安徽省亳州市第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

亳州二中2020-2021学年第二学期期中教学质量检测

高二数学（文）试 题    

考试时间：120分钟，满分：150分。

第I卷（选择题  共60分）

一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求。）

1．设，，则(　　

A． B．， C． D．，

2．复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是（    ）

A．1 B．—1 C．—i D．i

3．设命题，命题，则p是q的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

4．下列选项错误的是（    ）

A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”

B．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件

C．若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题

D．若“命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0”，则“p：∃x0∈R，＋x0＋1＝0”

5．已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（    ）

A．5           B．3 C．4 D． 

6．函数的图像在点处的切线的倾斜角为（   ）

A． B． C． D．

7．函数的图像大致为 (　　)

A． B． C． D．

8．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（    ）

A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6

9．记不超过实数x的最大整数为，则函数称作取整函数，取整函数在科学和工程上有广泛应用．下面的程序框图是与取整函数有关的求和问题，若输出的S的值为7，则判断框内填入的条件可以是（ ）

A． B． C． D．

10．双曲线方程为－y2＝1，其中a>0，双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线的离心率为（    ）

A．        B．          C．            D．

11．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2022个三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数f（x）＝，则关于函数f（x）有如下说法：

①f（x）是偶函数；

②方程f（f（x））＝x的解只有x＝1；

③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立；

④不存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

其中正确的个数是（　　）

 A．1   B．2   C．3   D．4

第II卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）

13．函数满足：对任意的且不等，总有．则不等式的解集为________．

14．已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是，焦距为，则双曲线的标准方程为_____．

15．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

16．有以下结论：

①若函数对任意实数都有，则图象关于直线对称；

②函数与的图象关于直线对称；

③对于函数（，且）图象上任意两点，，一定有；

④是使得（且）成立的充分不必要条件.

其中正确结论的序号为_________.

三、解答题

17．（10分）已知的一个极值点为2.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最值.

18．（12分）设；．

（1）若，，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（12分）（1）已知a>5，求证：－－.

（2）证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于.

20．（12分）某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb）的含量（以下简称为“含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者没有出现血症.若一批受试者的含量平均数不超过0.65%，出现血症的被测试者的比例不超过5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射.经数据整理，制得频率分布直方图如图.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.）

（1）请说明该疫苗在含量指标上的安全性；

（2）按照性别分层抽样，随机抽取50名志愿者进行含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的列联表，并判断是否有超过95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？

附：.

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别是，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，若，试求内切圆的面积.

22．（12分）已知函数．

当时，求函数在点处的切线方程；

当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．

亳州二中2020-2021学年第二学期期中教学质量检测

高二数学（文）试 题    

参考答案

1．C

【解析】

，；

，故选C．

【点睛】

本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．

2．A

【详解】

因为，所以它的共轭复数，其虚部为1.

故选：A.

3．B

【详解】

，则

，则或

所以是的充分不必要条件．

故选：B．

4．C

【详解】

解：对于A，命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，所以A正确；

对于B，当x>2时，x2－3x＋2>0成立，而当x2－3x＋2>0时，x>2或，所以“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，所以B正确；

对于C，若“p∨q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题，所以C错误．

对于D，由命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，可得p：∃x0∈R，＋x0＋1＝0，所以D正确；

故选：C．

5．A

【详解】

根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，

所以，

所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，

所以，且，，

所以，

故答案为：A.

【点睛】

思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：

（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；

（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.

6．B

【详解】

，

由导数的几何意义可知，切线的斜率，

设切线的倾斜角为，即，所以.

故选B.

【点睛】

本题考查导数的几何意义.

7．B

【解析】

为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

8．D

【详解】

由题有两个不相等的实数根,

故,解得或.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.

9．A

【详解】

因为初始值，由判断框可执行语句，由判断框可执行语句，由判断框可执行语句，由判断框可执行语句，由判断框可执行语句，由判断框可执行语句，由题意跳出循环输出，不满足条件，所以判断框内的条件为.

综上所述，本题答案为A.

【点睛】

本题主要考查了根据输出结果补全循环结构的框图，关键是列出每次循环后的执行情况，属于基础题.

10．C

解析：根据题意，可以求得双曲线的渐近线方程为x±ay＝0，而圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，结合题意有＝1，结合a>0的条件，

求得a＝，所以c＝＝2，所以有e＝＝．

故选：C

11．D

【详解】

观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，

设第个三角形的面积为，则数列是首项为，公比为的等比数列，

，

第2022个三角形的面积为.

故选：D.

12．C

【详解】

解：①∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故①正确．

②∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0．

∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，方程f（f（x））＝x的解只有x＝1；故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，

根据函数的表达式，

任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确．

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0

∴A（﹣，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④不正确．

综上：①②③正确．

故选：C．

【点睛】

要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.

13.

【详解】

因为对任意的总有

所以函数是上的单调增函数，

从而由得，解得．

故答案为：

14．

【详解】

当双曲线的焦点在y轴上时，由且，两式联立解得，，

所以所求双曲线的标准方程为．

综上，所求双曲线的标准方程为．

故答案为：．

15．

【详解】

类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为 (a＞0，b＞0)，

则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，

所以＝(c，b)，＝(－a，b)．

易知⊥，所以·＝b2－ac＝0，

所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，

又e＞1，所以e＝.

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．

16．①②③④

【详解】

①因为函数对任意实数都有，所以，即，所以图象关于直线对称，故①正确；

②因为函数，函数，且函数与函数的图象关于直线对称，所以函数与的图象关于直线对称，故②正确；

③因为，当且仅当时，等号成立，故③正确；

④因为，当时，，故；当时，，故.所以或，

所以是使得（且）成立的充分不必要条件，故④正确.

故答案为：①②③④

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

17．（1）在区间上单调递减，在区间，上单调递增；（2）最小值为，最大值为13.

【详解】

（1）因为，所以，

因为的一个极值点为2，

所以，解得，

此时，，

令，得或，

令，得；令，得或，

故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.……5分

（2）由（1）知，在上为增函数，在上为减函数，

所以是函数的极大值点，又，，，

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.…………10分

18．（1）或；（2）．

【详解】

解：（1）时，；  

，解得．

为假，为真，与必然一真一假．

或，

解得，或． …………6分

（2）是的充分不必要条件，则，，解得．…………12分

【点睛】

本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

19．证明见解析.

【详解】

要证－－，

只需证＋<＋，

只需证(＋)2<(＋)2，

只需证2a－5＋2<2a－5＋2，

只需证，

只需证a2－5a<a2－5a＋6，

只需证0<6，

∵0<6恒成立，

∴－成立.…………6分

【点睛】

方法点睛：证明方法有直接证明、间接证明、数学归纳法

1、直接法：综合法由定义、定理、公理等逐步推导出结论成立；分析法从结论出发，推出其成立的充分条件，直到得到一个显然成立的条件.

2、间接法：反证法在原命题条件下，假设原结论不成立，由此推出矛盾，进而得到结论.

3、数学归纳法：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立即可.

（2）

【详解】

在中，由内角和定理得，

假设至少有一个内角大于或等于不正确，则三个角都小于，即，，，

则，这与三角形内角和定理相矛盾，

故假设不成立，所证结论正确.…………12分。

20．（1）该疫苗在含量指标上是“安全的”；（2）表格见解析，没有.

【详解】

（1）由频率分布直方图得:含量数据落在区间上的频率为

故出现血症的比例为…………2分

由直方图得平均数为

即志愿者的含量的平均数为…………5分

综上，该疫苗在含量指标上是“安全的”.

（2）依题意得，抽取的50名志愿者中女性志愿者应为25人

由已知，25名女性志愿者被检测出阳性恰有1人，故女性中阳性的频率0.04

所以全部女性志愿者阳性共有人

由（1）知400名志愿者中，阳性的频率为，所以阳性的人数共有人

因此男性志愿者被检测出阳性的人数是人.…………8分

所以完成表格如下：

由列联表可，…………11分

由参考表格，可得，

故没有超过95%的把握认为注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关.…………12分

21．（1）；（2）.

【详解】

（1）由椭圆的定义可知，的周长为，

∴，，又离心率为，∴， ，

所以椭圆方程为. …………4分

（2）由，，知的斜率为，因，故的斜率为，

则直线的方程为，即，…………6分

联立可得：，

设，，则，，…………8分

则的面积，…………10分

由的周长，及，得内切圆，

所以的内切圆面积为.…………12分

22．（1）；（2）

【详解】

解当时，，，

，，

切线方程为：，

整理得：．…………4分

．

在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．……6分

当时，函数在上单调递增．

函数在上的最大值是，

由题意得，解得：，

，此时a的值不存在；…………9分

当时，，此时在上递增，在上递减．

函数在上的最大值是，

由题意得，解得：．……12分

综上，a的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查导数的性质及应用，注意分类讨论思想的灵活运用.