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专题39 导数与三角函数结合-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
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这是一份专题39 导数与三角函数结合-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)，文件包含专题39导数与三角函数结合解析版docx、专题39导数与三角函数结合原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共129页， 欢迎下载使用。
专题39 导数与三角函数结合必刷100题
一、单选题1-25题
1．以下使得函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求导，再对分三种情况分析导数得解.
【详解】
解：由题意得，，
当或时，，函数在区间，上都有极值点，故不单调；
当时，，不合题意；
当时，，函数单调递增，符合题意.
故选：D.
2．设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别证明，，对于，先证明，变形为，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围. 再证明，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围.
【详解】
对于，先证明，，即，
令，则，易知单增，且，
则时，，函数单减；时，，函数单增；
函数在处取最小值，此时；
再证明，即，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，
函数的导数为，时，，即，
综上，，
故选：A
3．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先构造函数，进而根据题意判断出函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式.
【详解】
因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.
当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.
于是，，所以.
故选：A.
4．已知函数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为即为，则，运用对数函数的单调性，即可得到解集．
【详解】
解：函数的导数为：，
则时，，在上单调递增，且，
则为偶函数，即有，
则不等式，即为，
即为，
则，即，解得，，即原不等式的解集．
故选：D．
5．若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.
【详解】
根据题意，
在R上单调递增 在R上恒成立
令，，则 可写为
根据题意在上的最小值非负
解得 ，所以选项B正确
故选：B.
6．关于函数，，下列说法错误的是（ ）
A．当时，函数在上单调递减
B．当时，函数在上恰有两个零点
C．若函数在上恰有一个极值，则
D．对任意，恒成立
【答案】D
【分析】
分别在和得到，由此可知A正确；
在平面直角坐标系中作出与图象，由图象可确定B正确；
将问题转化为在上恰有一个解，令，利用导数可确定单调性并得到其图象，数形结合可确定，C正确；
令，由B中结论可确定D错误.
【详解】
对于A，，则，
当时，，，，单调递减；
当时，，，，单调递减；
综上所述：在上单调递减，A正确；
对于B，，令，得：；
在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，
函数在上恰有两个零点，B正确；
对于C，由得：，
若在上恰有一个极值，则在上恰有一个变号零点，
即在上恰有一个解，
令，则；
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，可得大致图象如下，
若在上恰有一个解，则，
此时函数在上恰有一个极值，C正确；
对于D，当时，由B选项可知，，使得，
当时，，即，D错误.
故选：D.
7．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
可构造函数，由已知可证在单增，再分别代值检验选项合理性即可
【详解】
设，则，则在单增，
对A，，化简得，故A错；
对B，，化简得，故B错；
对C，，化简得，故C正确；
对D，，化简得，故D错，
故选：C
8．已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】
解：令，
故，
故在递增，所以，可得，即，所以D正确；
故选：D．
9．已知函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先求出导函数，根据题意得在有2个变号零点，讨论或，将问题转化为两个根，令，利用导数判断函数的单调性，再求出端点值，进而可得即可求解.
【详解】
，
根据题意得在有2个变号零点，
当时，显然不合题意，
当时，方程等价于，
令，
，令，因为，解得，
可得在单调递减，在单调递增，
又因为，，，
要使与的图像有2个不同的交点，
需要满足，解得，
故选：D．
10．若函数在上恰有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求导，由题意可知在上有两个不同的解，令，即二次函数在上有两个不同的解，
数形结合列出式子即可求解
【详解】
由于，
所以，
要使在上恰有两个不同的极值点，
则在上有两个不同的解，
令，
即二次函数在上有两个不同的解，
所以，解得.
故选：B
11．已知定义在上的函数，则函数与的图象的交点（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
令，求导函数，分析单调性结合即可得到函数零点个数从而得出结果．
【详解】
令，则
当，有；当，有
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为故函数在上有一个零点，
故函数与的图象的交点有一个．
故选：B
12．已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．存在使 B．存在使
C．对任意，都有 D．对任意，都有
【答案】B
【分析】
对于A、C记，，则，利用导数分别判断出的单调性，证明出，即可判断；对于B：取特殊值，代入验证；对于D：取特殊值，代入验证；
【详解】
对于A、C：
记，，则，
，所以在上单增，
当时，，即，即，
同理可证：在上单减，所以当时，都有，即.
又，所以.故A、C错误.
对于B：取，所以，，
则有，
，
.故B正确；
对于D：取，则有.故D错误.
故选：B
13．函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得在上恒成立，进行参变分离得
在上恒成立，令，将问题转化为在上恒成立，由的单调性，求得其最大值，由此可得答案.
【详解】
解：因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，令，所以问题转化为在上恒成立，
而在上单调递增，所以当时，有最大值，所以有最大值，所以，
故选：A.
14．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得导函数，问题化为只有一个解，分离参数，转化为研究函数的单调性、极值，函数的变化趋势，结合函数图象从而得参数范围，注意检验函数极值．
【详解】
易知函数的导数，
令，得，即．
设，则，
当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．
故选：A
15．已知函数，，关于函数的性质的以下结论中错误的是（ ）
A．函数的值域是
B．是函数的一条对称轴
C．函数在内有唯一极小值
D．函数向左平移个单位后所得函数的一个对称中心为
【答案】D
【分析】
逆用两角和的余弦公式和正弦的二倍角公式化简，求出的值域可判断A；将代入的对称轴方程可判断B；利用导数求得单调性即可得极小值可判断C；利用图象的平移变换得解析式，再检验对称中心可判断D，进而可得答案.
【详解】
，
对于A：因为，所以，即函数的值域是，故选项A正确；
对于B：令，可得，所以是函数的一条对称轴，故选项B正确；
对于C：，，当时；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值为
，故选项C正确；
对于D：向左平移个单位后所得函数，
令，可得，所以不是的一个对称中心，故选项D不正确；
所以结论中错误的是选项D，
故选：D.
16．已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，依题意知为偶函数，且在区间上是减函数，再由，结合条件分别判断四个选项即可．
【详解】
解：偶函数对于任意的满足，
令，则，即为偶函数．
又，故在区间上是减函数，
所以，
即，故B正确；
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
17．已知函数，下列结论正确的个数是（ ）
①曲线上存在垂直于轴的切线；
②函数有四个零点；
③函数有三个极值点；
④方程有四个根．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用导数判断函数的单调性，结合函数的图像进而可判断函数的零点、极值.
【详解】
由，得，
由，得，或，或，
当或时，，当或时，，
所以在上递增，在上递减，
而，
所以由零点存在性定理可知，只有两个零点，分别为和0，
函数图像如图所示
所以①③正确，②错误，
方程可转化为或，
，
由图像可知有两个根，也有两个根，
所以方程有四个根，所以④正确，
正确结论的个数是3，
故选：C.
18．关于函数，，下列四个结论中正确的个数为（ ）个
①在上单调递减，在上单调递增；
②有两个零点；
③存在唯一极小值点，且；
④有两个极值点.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
①反证，求导并发现相同区间的单调性不一致②转化并数形结合发现零点③用零点存在定理和函数的单调性可求证④转化成用导数证明恒成立问题，结合零点存在定理和函数的单调性求解.
【详解】
因为时，，，所以
所以在上单调递增，故①错误.
有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确.
，
∵，
∴，，
∴
∴存在，使得且
∴在上，，在上，，
在上，单调递减，在上，单调递增，
∴在上存在唯一极小值点.
∵，则
∴，故③正确.
令
则，
当时，，，，
当时，，.
∴在恒成立，
∴单调递增且，
，
∴存在唯一零点，使得
∴，，即，
，，即，
∴在处取得极小值
故有唯一极小值点，故④错误.
故选：C.
19．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，
结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
20．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先讨论不等式在上恒成立，在时，变形不等式并构造函数，利用导数探求的正数b即可.
【详解】
当时，而，，原不等式恒成立，
当时，，不等式等价变形为：，
令，，而，求导得，
令，则，则在上单调递增，
，若，则，记，，则，
则存在，使得，当时，，单调递减，即当时，，不符合题意，
若，，即当时，单调递增，则有，符合题意，
综上得，，
所以正实数的取值范围是.
故选：D
21．已知函数，，当，且时，方程根的个数一定不少于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】
先证明函数，都为偶函数，再利用导数讨论在上的单调性，然后作出两函数的部分图象，根据图象可得两函数在上的交点个数，再利用偶函数的对称性可得结果.
【详解】
因为定义域为，
又，所以为偶函数.
同理可证函数为偶函数，
当时，单调递减，
又，
所以时，；时，；
时，；时，；
时，；时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
又，，，，，
则与的图象在上有1个交点；
作出图象后可以发现与的图象在上至少有6个交点，
根据对称性可知，二者图象在上至少6个交点，故当，且时，方程根的个数不小于12．
故选：D．
22．已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由导数确定的单调性，把含绝对值的方程去掉绝对值符号，然后引入新函数设，问题转化为存在，，使得，只要在上不单调即可得．
【详解】
，时，，所以是增函数，
不妨设，则，又，
所以化为，
即，
设，则，
时，，是增函数，不存在，，使得，
时，要满足题意，则在上应有解，使得在上不单调．
，，
设，，，
所以，
在上单调递减，，，
所以．
故选：C．
23．设函数，下列命题中真命题的个数为（ ）
①是奇函数；
②当时，；
③是周期函数；
④存在无数个零点；
⑤，，使得且
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
直接利用三角函数的性质，周期性单调性的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的零点和方程的根的关系判断①②③④⑤的结论.
【详解】
函数，
对于①：函数故函数f(x)是奇函数,故①正确；
对于②：令，所以
由于函数在上单调递增，当x→0时, →0,当x→时,即→+
故当时,使得即时, 时,故g(x)在上单调递增, g(x)在上单调递减,
而x→0和时,→0,所以g(x)>0,
由于中，x取时，，故，，
所以，所以，故②正确；
对于③,假设函数的周期为T，则对一切x都成立，
取x=0时,则得到，再取时,则故，所以明显T无解，故假设错误，故不是周期函数.故③错误；
对于④,令解得，取时，，整理得，故存在无数个零点.故④正确；
对于⑤,令，则所以 ,所以，由于k和x1和x2相对应,故x1-x2不能取任意值,故并不总成立,故⑤错误.
故选:C.
24．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
构造新函数，由导数确定其单调性，从而得出相应的不等式，判断各选项即可．
【详解】
因为，
设，，则，
所以在上是增函数，
，，即，
，，即，
，，即，
故选：C．
25．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故选：B
二、填空题26-50题
26．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.
【详解】
因为，
所以为奇函数，
因为，所以为上的增函数，
由得，则，
因为，所以．
令，则，令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，所以，即，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
27．已知函数，则的最小值是______．
【答案】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.
【详解】
由题意，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时取得最小值，此时．
当时，，
当时，，所以的最小值是．
28．已知定义在R上的奇函数的导为数为，若，则实数t的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
由导函数可得在R上单调递增，结合是奇函数，可转化为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解.
【详解】
解：因为，所以在R上单调递增.
又是奇函数，由，
得，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
29．若函数在区间内不存在极值点，则实数的取值范围是__________.
【答案】或.
【分析】
求出导函数，由在内无变号零点求解，引入新函数，结合两角差的正弦公式、正弦函数的性质可得结论．
【详解】
因为在区间内不存在极值点，所以
在区间内无变号零点，令
，当时，，
，，故只需满足或即可，
解得或.
故答案为：或.
30．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为_________________.
【答案】
【分析】
求导可得解析式，令，利用导数，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案.
【详解】
由题知，且，
令，则，
①若，当时，，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增；
所以.
因此不可能是的极大值点.
②若，令，
当时，，
所以即在上单调递增.
又因为，，
因此存在满足：，所以当时，，
所以在上单调递减，，
所以当时，；
当时，；
所以在上单调递增；在上单调递减；
综上，当是的极大值点时，.
故答案为：
31．已知函数，若恒成立，则的取值范围____________________．
【答案】
【分析】
若要恒成立，只要即可，首先利用辅助角公式进行化简可得，进行换元可得，再利用导数即可得解.
【详解】
，
设，可得，当且仅当时取等号，
，，
设，
，
由，可得，
所以，
即在递增，可得，
由恒成立，可得，
所以的取值范围为.
故答案为：
32．若命题，为真命题，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
分别画出函数和在区间的图象，根据不等式恒成立求实数a的取值范围.
【详解】
不等式等价于 画出两个函数和在区间的图象，
如图
设，，，所以函数在原点处的切线方程是，
由图可知，当斜率大于切线斜率时，即时，恒成立.
故答案为：
33．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由，用分离参数变形，利用三角函数恒等变换化为的式子，然后换元，引入新函数，利用导数求得最小值得参数范围．
【详解】
因为，所以原不等式可变形为
令，则，
.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.又，所以.
故答案为：．
34．设函数，，若方程有解，则实数的最大值是________．
【答案】
【分析】
由题意得：，设，，用导数法求出的最值即可求解
【详解】
令，，
则，．
设，，
则．
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
的值域为．
故实数的最大值为．
故答案为：
35．设是函数的一个极值点，则______.
【答案】
【分析】
求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.
【详解】
因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，
所以，，
所以
.
故答案为：.
36．已知函数，则的最大值为________.
【答案】
【分析】
根据题意可得函数的周期为，因此只要求出函数在上的最大值即可，当时，，求导，利用导数求出函数的单调区间，从而得出函数的最大值.
【详解】
由，
则，
所以是函数的一个周期，
当时，，
，
设，且，，
则当时，；当时，；当时，；
所以在，上递增，在上递减，
，，
因为，且，所以，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
37．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________
【答案】
【分析】
先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.
【详解】
，
由题意知在上恒成立且不恒为0，
显然时，恒成立，
所以只需在 上恒成立且不恒为0，
即在 上恒成立且不恒为0，
所以只需当时，
又当时，有，所以，即有最大值，
所以，即.
故答案为：.
38．已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】
求出的导数，设，利用导数可得在区间上单调递减，从而可判断出的单调性，根据的变化情况和取值可求出.
【详解】
由得，等价于函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，当时，，
设，，则，
因为，，所以，所以在区间上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，，函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，
所以，所以的取值范围是．
故答案为：.
39．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.
【详解】
由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案为：．
40．已知函数，对于任意都有恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
令，将已知不等式转化为，则只需在上单调递增，即恒成立即可；令，分别在、和三种情况下，根据一次函数单调性得到最小值，由此可求得的范围.
【详解】
由得：
，
令，则恒成立，
在上单调递增，在上恒成立，
令，在上恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，，解得：，；
当时，，解得：，
；
综上所述：.
故答案为：.
41．函数在R上单调增，则a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】
由题意可得对于恒成立，令，转化为对于恒成立，讨论二次函数的对称轴和区间的关系由即可求解.
【详解】
因为，
所以
由题意可得对于恒成立，
令，
即对于恒成立，
的对称轴为，只需要
当即时在单调递减，
此时可得，此时不成立，
当即时在单调递增，
此时可得，此时不成立，
当即时，
解得：此时符合题意，
所以a的取值范围为.
故答案为：.
42．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
令， 结合，得到函数为奇函数，再根据，得到函数在R上单调递减，然后结合奇偶性，将不等式转化为，利用单调性求解.
【详解】
令， 又，
所以，即，
所以函数为奇函数．
因为，
所以函数在R上单调递减，
则，
即，即，
所以，
解得，
所以x的取值范围为．
故答案为：
43．若函数在R上是增函数.则实数a的最小值是__________.
【答案】
【分析】
先对函数求导，根据函数单调性，得到恒成立，利用分离参数的方法，得到，利用导数的方法求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又为使取得最大值，必有；
所以当，即时，取得最大值.
故答案为：.
44．函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________.
【答案】
【分析】
构造函数，再利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】
解：
，
构造函数，
则，
当时，，
在单调递增，
不等式，
即
即，
故不等式的解集为.
故答案为：.
45．已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
根据余弦型函数的性质求出当时，函数的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数在时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可.
【详解】
因为，所以，因此在时，单调递减，
所以有.
当时，函数是单调递增函数，当时，
，即，
因为、，使得，
所以有：，
令，
因为，所以，因此函数 单调递增，
所以有，因此不等式组的解集为：，而，所以；
当时，函数是单调递减函数，当时，
，即，
因为、，使得，
所以有：，
令，
因为，所以，因此函数 单调递减，
所以有，因此不等式组 的解集为空集，
综上所述：.
故答案为：
46．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】
由题意得，在上恒成立，
设，，，则在恒成立，
得到然后利用最值分析法求解即可.
【详解】
将函数在上单调递减，
转化在上恒成立，
即在上恒成立 ，
设，，，则在恒成立，由二次函数的性质得，解得
故答案为：
47．在处取得极值，则______.
【答案】
【分析】
对求导，代入，使得，变形整理得到，利用三角函数的有界性，可得，再利用倍角公式可求．
【详解】
解：由已知，
因为在处取得极值，
，
即，
因为，，
，即，
．
故答案为：．
48．若函数在上递增，则的取值范围___________.
【答案】.
【分析】
根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.
【详解】
由函数，
所以，
因为函数在上递增，
所以在上恒成立，
令，
所以在恒成立，
令，
所以，
解得，
故答案为：
49．已知函数存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】
计算，可知唯一零点，同时可知该函数为奇函数，转化为当时，函数无零点，利用不等式，以及构造函数，最后有导数进行判读即可.
【详解】
由题可知：函数定义域为且
因为函数存在唯一零点
所以只有一个零点0
因为
所以函数为奇函数，故只考虑当时，函数无零点
当时，有，
所以
令，则
因为
所以函数在上单调递增，又
所以
故答案为：
50．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
由题意转化条件得对任意恒成立，令，，求导后，求得的最小值即可得解.
【详解】
由题意
，
不等式对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
令，，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题50-100题
51．已知函数.
（1）设且，求函数的最小值；
（2）当，证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）通过求导来判断函数的单调性进而求出最值；
（2）构造新函数，转化为证明新函数的最小值大于等于0即可.
（1）
，又，
又，，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
的最小值为；
（2）
不等式等价于，
令，
令，，
又，，，
所以函数在上单调递增，又，，，
所以函数在区间上单调递增，又，
，所以原不等式成立.
52．已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
【答案】
（1）在区间和上单调递增，在和上单调递减
（2）的最大值为1，最小值为
【分析】
(1)结合已知条件求出，然后求出，进而即可求解；(2)首先求出的周期，然后结合(1)中条件即可求解.
（1）
由题意，，
令，，解得或或，
当时，；当时，，
∴在区间和上单调递增，在和上单调递减；
（2）
由，易知是以为周期的周期函数，
故可取这一周期讨论最值，
因为在区间和上单调递增，在和上单调递减，
故在和取得极小值，在取得极大值，
因为，，，
所以的最大值为1，最小值为．
53．已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
【答案】
（1）在上单调递减，在上单调递增；理由见解析
（2）2个，理由见解析
【分析】
（1）先判断函数的奇偶性，再利用导数可知f (x)在上的单调递增，进而可得在上的单调性；
（2）由（1）在内有且只有一个零点，再利用导数研究f (x)在上的零点即可.
（1）
解：因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
又且当时，，所以函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）
解：由（1）得在上单调递增，又，所以在内有且只有一个零点，
当时，令，又，且在上连续，则存在，使得，
由得，当时，恒成立，即在上单调递减，
且当时，，即，则在上单调递增，
所以当时，，所以在上无零点；
当时，有，即，则在上单调递减，又，，所以在有且只有一个零点，
综上，函数在上有2个零点.
54．已知函数，，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立.
【答案】
（1）极小值为，无极大值；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导函数的正负可确定的单调性，由极值点的定义可求得结果；
（2）由可将问题转化为证明，利用导数可求得单调性，进而确定，由此可得结论.
（1）
，
令，即，又，，
则，，变化情况如下表，
极小值
极小值为，无极大值.
（2）
证明：，，，
令，
则，
令，，
在上单调递增，，即，
，则在单调递增，，
，即在上恒成立.
55．已知函数.
（1）若在上有零点，求实数的取值范围；
（2）若，记在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，求出其导数后可判断函数的单调性，从而可求其值域，故可求实数的取值范围；
（2）求出，令，求出，利用题设条件可得，从而可得在存在唯一的零点且可得的符号情况，从而可得的单调性，故可得其最小值，再利用导数可求其取值范围.
（1）
由得，令，
则，所以在上单调递减，
，从而.
（2）
令，
因为，故，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一实数，使得，
且当时，，当时，，
故在上单减，在上单增，从而的最小值，∵，
∴，故.
令，则，
所以在上单减，
由题意可得，所以，
令，则，
所以在上单减，故的取值范围为.
56．已知函数.
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数.
【答案】（1）单调递减；一个零点；（2）有且仅有一个零点.
【分析】
(1)利用二次求导讨论函数的单调性，进而得出零点的个数；
(2)利用三次求导讨论函数的单调性，进而得出函数零点的个数.
【详解】
解：（1），，
当时，，所以单调递减.
又因为，，
所以，有，所以存在一个零点
（2）当时，，，
所以单调递增，
又，，
所以，有，
且有时，，单调递减；
时，，单调递增，
又因为，，
所以，有.
又当时，，，所以.
所以当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又，，
所以存在，有，
当时，，，所以有，
当，有.
所以，当时，函数有且仅有一个零点
57．已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求出函数的导数，再判断单调性，可求出最值．
（2）先得到，时，，再求出函数的最小值即得解．
【详解】
解：（1）当时，，
当，时，，，，
在，上单调递增，
，．
（2）当，时，
，
，，，，
当时，，
在，上单调递增，，
，，
的取值范围为，．
58．已知函数在原点处的切线方程为.
（1）求的值及的单调区间；
（2）记，，证明：在上至少有一个零点.
（参考数据：）.
【答案】（1），单调递增区间：，；单调递减区间：，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，利用导数几何意义可得的值，进而解导函数的不等式得到单调区间；
（2）构造函数，研究函数的单调性与极值，即可明确函数图象与轴的位置关系.
【详解】
（1），，
，.
，，
的单调递增区间：，；
单调递减区间：，.
（2）证明：，，
，记
，
在上递增，在上递减，，.
①当，时，，，
存在，使，则在上递增，在上递减，又，，，则此时在上仅有一个零点；
②当时，，，
存在，使，
又，存在，使，
在，上递减，在上递增，
，，，
此时在存在一个零点.
又，
（若不用极小值点，也可取，使.由可得）
在也存在一个零点，则此时在上有两个零点.
故综上，在上至少有一个零点，得证.
59．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.
【分析】
（1）求导得，进而解三角不等式即可得答案；
（2）根据题意得在上有两个不等实根，进而令，研究函数的函数值的分布，即可求得答案.
【详解】
解：（1）因为，
所以.
因为，当，
即时，，
当，即时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以，
由题意在上有两个不等实根，
即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.
设，则，
令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，，，
所以当时，在上有两个实根.
即的取值范围为.
60．已知函数，
（1）证明：当时，；
（2）试讨论函数在上的零点个数.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）对函数求导，求其单调性和最值，进而可证明；
（2）分，，，讨论，研究函数在上的零点个数.
【详解】
（1）证明：，，
令，，
，，
在上是增函数，且，
在上是增函数，且
；
（2），，
①，，，
是函数在上的唯一零点，
②，令，则，
因为，当且仅当时取等号，，当或时取等号，
故是函数在上的唯一零点；
③，，
设，则
在上递增，而
所以，在上递增，，是唯一零点；
④，，在上递增，而，
使，
当时，递减，，递增，
，
而，
在上有唯一零点，又也是一个零点，在上有2个零点；
综上，当时，在上有1个零点;
当时，在上有2个零点.
61．已知函数，.
（Ⅰ）求的导数；
（Ⅱ）当时，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.
注：以下不等式可参考使用：对任意，，，恒有，当且仅当时“=”成立.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）2.
【分析】
（Ⅰ）直接利用导数公式求解；
（Ⅱ）构造函数，利用导数说明其单调性，将问题转化为求函数的最小值；
（Ⅲ）先利用特值缩小的范围，再构造函数，证明这个取值符合条件即可．
【详解】
解：（Ⅰ）因为
所以
；
（Ⅱ）令（）
则（）
所以在时为增函数，
所以，即.
（Ⅲ）因为在时恒成立，
所以可令，得，
可得，所以或2，
当时，令（），
则
所以在时为增函数，所以，
即当时，成立，所以的最大值为2.
62．已知函数，（其中）.
（1）证明：当时，；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用导数分析函数在上的单调性，由此可证得所证不等式成立；
（2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，，
，恒成立，在上单调递减，
所以，当时，都有，
因此，当时，；
（2）即，
由得，
令，，
令，，则，
得在单调递减，，
从而当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，，得.
即实数的取值范围为.
63．已知函数，.
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）若，则，再根据导数的符号与函数单调性的关系求解即可；
（2）由题知，故令，，利用导数研究函数最值即可得答案.
【详解】
解：（1）若，则，
∴
∴
令，则，∴
令，则，
的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）
令，，
则
令，
则.
∵，∴，∴，∴，
∴在上单调递减，
∴
∴，∴在上单调递减，
∴，故
所以实数的取值范围是.
64．已知函数.
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.
【详解】
（Ⅰ）由题可知.
令，得，从而，
∴的单调递减区间为.
（Ⅱ）由可得，
即当时，恒成立.
设，则.
令，则当时，.
∴当时，单调递增，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，
∴.
65．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）先求出函数的导数，然后分和讨论导函数的正负，从而可得函数的单调区间；
（2）令，当时，，由再结合（1）可得当时，，从而令，则，所以在单调递增，进而可得结论
【详解】
（1）由，得.
（i）当时，对任意，都有，
此时的单调递增区间为，无单调递减区间；
（ii）当时，令，解得，
且当时，；当时，.
此时的单调递减区间为，单调递增区间.
（2）令，则.
①当时，.
令，则.
所以当时，，即.
由（1）得，当时，在单调递减，在单调递增.
所以当时，，即，
令，
则，所以在单调递增，
所以当时，.
所以，当时，，即.
②当时，因为，
所以存在，使得当，，
则在单调递减.
所以，即，与条件矛盾.
综合①，②，的取值范围是.
66．已知是自然对数的底数，函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；
（2）若当时，有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由求出的值，可得出函数的解析式，再利用导数法可求得函数的最小值；
（2）由参变量分离法可知，不等式在时有解，令，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）由得.
曲线在点处的切线斜率为，，
，.
当时，，，，
当时，，，则，
在上单调递增，；
（2），设，，
则当时，有解.
，.
当时，，解，可得或，解得，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，且，
，的取值范围为.
67．已知.
（1）判断函数是否存在极值，并说明理由；
（2）求证：当时，在恒成立.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意求得，根据余弦函数的性质可知，得到，得出函数的单调性，即可求解；
（2）由题意转化为成立，令，求导数，令，利用导数结合（1）求得函数的额单调性和最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，
根据余弦函数的性质可知，可得，
所以函数为单调递减函数，所以函数没有极值.
（2）由于，即，即，
要证原命题成立，只需证成立，
令，则，
令，
则，
由（1）可知，当时，，即，
当时，，
因此，当时，，
所以，
所以当时为增函数，所以，即，
所以当时为减函数，
所以，原命题得证.
68．已知函数.
（1）证明：当时，函数在区间没有零点；
（2）若时，，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用导数得到在上单调递增，，即得解；
（2）由题得，再构造函数，，求函数的最小值即得解.
【详解】
证明（1）
∵ ∴恒成立，在上单调递增
又 ∴，都有
∴在区间上没有零点
（2）即，由得
令，
令，
得在单调递减，
从而，，单调递减
，，单调递增
∴
得.
69．函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为：，的单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，计算和即可得单调区间；
（2）将代入不等式化简得恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数的取值范围.
【详解】
（1）由题可得
令，
得，
∴，
∴的单调递增区间为.
同理，令，得的单调递减区间为
综上所述：的单调递增区间为：，
的单调递减区间为.
（2）由，得，
即.
设，则.
设，则.
当时，，，所以.
所以即在上单调递增，
则.
若，则，
所以在上单调递增.
所以恒成立，符合题意.
若，则，必存在正实数，
满足：当时，，单调递减，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
70．已知函数，.
（1）求的单调性；
（2）若对于任意x∈[0，+∞)，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导函数，由确定增区间，确定减区间．
（2）构造函数，求出导函数，分类讨论求出在上的最小值，由最小值大于或等于0求得的范围．
【详解】
（1）
令
在上单调递增．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
（2）令，则
，令
∴在上递增，∴，
当时，，∴，单调递增，
∴，满足题意．
当时，，
∴当时，，
单调递减，又，此时，不合题意．
综上可得．
71．已知函数.
（1）当时，求零点的个数；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）零点的个数为0；（2）.
【分析】
（1）先用导数判断单调性，再用零点存在定理判断零点个数；
（2）规定新函数，只需 ，分类讨论求求出a的范围 .
【详解】
解：（1）
因为，所以，所以，所以函数在减函数.
所以
所以零点的个数为0.
（2），，，
令，则，
因为，所以所以，所以函数在减函数，
所以
当时，，所以函数在减函数，
所以，满足题意
当时，所以函数在增函数，
所以，不满足题意
当时，因为，，且函数在减函数，所以存在唯一的，使，所以函数在增函数，在减函数，当时，，不满足题意.
综上所述：实数a的取值范围为.
72．已知函数.
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）构造函数，利用、研究的单调性和最值，由此证得不等式成立.
（2）构造函数，由得到.结合导数证得，由此确定的取值范围.
【详解】
（1）设，则.
由知在上递增，∴.
从而是增函数，∴，故原不等式成立.
（2）对恒成立.
设，
一方面，由.
另一方面，当时，.
利用（1）中的结论有：.
构造函数，则.∴递减.
从而，∴，∴恒成立.
综上得：.
73．已知函数，．
（1）求在点处的切线方程；
（2）证明：对任意的实数，在上恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；
（2）利用导数得出在上恒成立，由不等关系得，从而将问题转化为证明，构造函数，利用导数得出其最小值，从而证明在上恒成立.
【详解】
（1）由题意，设该切的切线方程为，由
故，由，解得，故该切线的切线方程为．
（2）证明：设，则，则
故在上单调递增，，故在上单调递增
所以，所以在上恒成立
故
故只需证，即证
设
则
则在上单调递增，
故对任意的，在上恒成立
74．已知：函数.
（1）求；
（2）求证：当时，；
（3）若对恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，
利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.
【详解】
（1）；
（2）令，则，
当时，设，则
所以在单调递减，
即，所以
所以在上单调递减，所以，
所以.
（3）原题等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，则.
易知，即在单调递增，
所以，所以，
故在单调递减，所以.
综上所述，的最大值为 .
75．设函数（其中，m，n为常数）
（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；
（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由恒成立可知单调递增，由此得到，进而求得结果；
（2）由切线方程可确定和，从而构造方程求得；将化为，由可确定单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到所有可能的取值，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
当时，，，对任意的都成立，
在单调递增，，
要使得对有恒成立，则，解得：，
即的取值范围为.
（2），，解得：，
又，，，，
显然不是的零点，可化为，
令，则，在，上单调递增.
又，，，，
在，上各有个零点，在，上各有个零点，
整数的取值为或，整数的所有取值的和为.
76．已知.
（1）当时，求证：在上单调递减；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求得导数，结合指数函数与余弦函数的性质，求得，即可得到结论.
（2）当时，可得命题成立，当时，设，求得，求得函数的单调性，得到，分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
由时，则，
当时，
，所以，
所以在单调递减.
（2）当时，，对于，命题成立，
当时，由（1），
设，则，
因为所以，在上单调递增，
又， 所以，
所以在上单调递增，且，
①当时，，所以在上单调递增，
因为，所以恒成立；
②当时，，因为在上单调递增，
又当时，，
所以存在
对于，恒成立.
所以在上单调递减，所以当时，，不合题意.
综上，当时，对于，恒成立.
77．已知函数.
（1）当时，求在上的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增；（2）.
【分析】
（1）当时，求导得，根据得，故在上单调递增；
（2）等价于，令，分，，三种情况讨论即可得答案.
【详解】
（1）当时，，.
因为，所以，，从而，
所以在上单调递增.
（2）等价于.
令，则.
当时，，在上单调递增，
所以恒成立.
当时，令，得.
当时，，，；，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而.
令，，则，
所以在上单调递减，，即，满足题意.
当时，，所以在上单调递减，
则，不合题意.
综上，，即的取值范围为.
78．已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（1）求曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程；
（2）若对任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）试探究当?∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解的个数，并说明理由．
【答案】（1），（2）；（3）有一个，见解析
【分析】
（1）求出的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得到切线方程；
（2）题目等价于任意[，不等式恒成立，设，，求导数，求单调区间和最大值，即可得的取值范围；
（3）设，，讨论①当时，②当时，判断单调性，结合 零点的存在性定理，即可得到方程解的个数.
【详解】
（1）由题意得g（x）＝exf′（x）＝excosx，
g（π）＝eπcosπ＝﹣eπ，
g′（x）＝ex（cosx﹣sinx），g′（π）＝﹣eπ，
所以曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即y＝﹣eπx+（π﹣1）eπ，
（2）若对任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，
即对任意?∈[，?]，不等式m≥g（x）﹣x•f（x）恒成立，
只需要m≥[g（x）﹣x•f（x）]max，x∈[，π]
设h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[，π]
h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，x∈[，π]，
所以（ex﹣x）cosx≤0，（ex+1）sinx≥0，
故h′（x）≤0，
故h（x）在[，π]上单调递减，
故h（x）max＝h（），
所以m.
（3）设H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[0，]，
当x∈（0，]时，
设φ（x）＝ex﹣x，x∈（0，]时，
则φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上单调递增，
所以x∈（0，]时，φ（x）＞φ（0）＝1，
所以ex＞x＞0，
又x∈（0，]时，cosx≥sinx＞0，
所以excosx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0，
故函数H（x）在（0，]上没有零点.
当x∈（，]时，
H′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0，
故H（x）在（，]上至多有一个零点，
又H（）（e）＞0，H（）0，
且函数H（x）在（，]上是连续不断的，
故函数H（x）在（，]上有且只有一个零点.
当?∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解有一个.
79．已知点，，为坐标原点，设函数.
（1）当时，判断函数在上的单调性；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减；（2）.
【分析】
（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得，求导后可得，即可得解；
（2）当时，易得恒成立；当时，求导得，设，求导可得，按照、分类，结合函数的单调性、即可得解.
【详解】
（1）由已知，
当时，，，
当时，，
又，则，
所以函数在上单调递减；
（2）①当时，，对于，恒成立；
②当时，，
设，则，
因为，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
所以在上单调递增，且，
（ⅰ）当时，，在上单调递增，
因为，所以恒成立，符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为在上单调递增，
又当时，，
则存在，对于，恒成立，
故在上单调递减，
所以，当时，，不合题意.
综上，所求的取值范围为.
80．已知.
（1）若函数，求的单调区间;
（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围;
（3）设，且，求证:
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求出，再对分三种情况讨论得解；
（2）设切点坐标为，求出，等价于直线和函数的图像有两个交点，利用导数分析即得解；
（3）先求出在区间内单调递增，在区间内单调递减，不妨设，则，等价于，证明，再证明即得证.
【详解】
解:，
所以.
当时，令，解得或
所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减﹐在区间内单调递增.
当时，令，解得或，
所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减，在区间内单调递增.
当时﹐，所以在区间内单调递增.
综上，时﹐在区间内单调递增，在区间内单调递减﹐在区间内单调递增.
当时，在区间内单调递增，没有单调递减区间.
当时，在区间内单调递增﹐在区间内单调递减，在区间内单调递增.
解:设切点坐标为，
因为，
所以
所以切线方程为
且过点，
所以
因为过点能作两条切线，
所以直线和函数的图像有两个交点.
因为，令，
解得
所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减.
所以.
所以得.
证明:，
则
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.
不妨设，则，
欲证，则，
因为，，在区间内单调递减，
所以只需证明，即，
即，
即
设
则，
因为
所以恒成立，
所以在区间内单调递增，
所以
所以
所以原不等式成立.
故.
欲证
即
因为在区间内单调递减.
所以只需证明，即
即
因为，
所以只需证明，即证，显然成立，
所以原不等式成立，
故
81．设．
（1）当时，求证：；
（2）证明：对一切正整数n，都有．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立；
(2) 放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式.
【详解】
(1)由题知，，，故单调递增.
当时，，
所以在单调递增，有恒成立.
(2)由(1)知当时，，取
有，
故
即待证不等式成立．
82．已知函数，.
（1）求证：当时，；
（2）求函数的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求出，然后多次求导，通过研究导函数的符号得到原函数的单调性，进而得出其函数值符号，最终得出函数的单调性，从而得出的最小值，从而得证.
(2)由题意可得，结合（1）的结论，讨论出函数的单调性，从而求出其最小值，得出答案.
【详解】
（1）证明：由，得
，，
所以在上单增，，
所以在上单增，，
所以在上单增，，
即当时，.
（2）解：由
，
由（1）知当.时，(当且仅当时取“”)，
则当时，令，得；
令，得，在上单增；
令，得，在上单减，
所以.
83．已知函数，，为自然对数的底数.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；
（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.
【详解】
（1），于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①当时，，
由（1）可知，
在上为增函数，
恒成立.
时满足题意
②当时，由（1）可知
在上单调递增，
而∴存在，使得.
∴时，单调递减，
，不合题意，舍去.
综上，.
84．设函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）单调递增；（2）.
【分析】
（1）求导，得出导函数的符号，从而可得函数单调性.
（2）由已知将问题转化为不等式恒成立，令，求导，分析导函数的符号，得出单调递增，求得的最大值，由恒等式的思想可得出的取值范围.
【详解】
解：（1），令，
当时，，所以当时，单调递增；
所以，即，所以单调递增.
（2）因为当时，不等式恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
令，所以，
因为当时，，所以，所以单调递增，
所以，所以.
85．已知e是自然对数的底数，函数的导函数记为，曲线在点处的切线l与y轴交于点．
（1）当时，求实数b的取值范围；
（2）若对任意的，都有成立，求实数m的最大值．
【答案】（1），；（2）3．
【分析】
（1）利用几何意义求出切线方程，再求出，的关系，构造函数求值域即可求实数的取值范围；
（2）作差构造函数，因为在上单调递增，故只需，解不等式即可求的范围，进而求出的最大值．
【详解】
解：（1），所以，
所以（a），又（a），
所以切线的方程为，
因为切线与轴交于点，
所以，
令，
（a），
当时，，即（a），
当时，，即（a），
故（a）在上单调递增，在上单调递减，
（a），当时，（a），
所以（a）的值域为，，
即的取值范围为，．
（2），
令，，
令
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，于是在上单调递增，
因为在上恒成立，所以只需满足，解得．
故的是大值为3．
86．已知函数，是函数的导函数.
（1）证明：在上没有零点；
（2）证明：当，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）通过构造函数和二次求导可证得时，总有；
（2）分和两种情况证明. 当时，易证；当时，仿（1）可证得，即单调递增，进而可证得.
【详解】
证明：（1）因为，所以
，
令，则
在上显然，所以在上单调递增，
即时，总有，
故在上没有零点；
（2）当时，，
当时，由（1）可知，
在上单调递增，
，即时，总有，
所以在上单调递增，
.
综上所述，，.
87．已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.
【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；
（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.
【详解】
（1）(方法一)当时，，，
当时，，
所以，当时，函数在上单调递增.
(方法二)当时，，，
由，
结合函数与图象可知：当时，，，
所以两函数图象没有交点，且.
所以当时，.
所以，当时，函数在上单调递增.
（2）证明：不妨设，由得，
，
.
设，则，故在上为增函数，
，从而，
，
，
要证只要证，
下面证明：，即证，
令，则，即证明，只要证明：，
设，，则在单调递减，
当时，，从而得证，即，
，即.
88．已知函数，为的导函数．
（1）证明：当时，函数在区间内存在唯一的极值点，且；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．
（参考数据：）
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）首先确定函数，求导，根据零点存在定理确定导函数的零点，进而判断函数在的单调性及极值，结合导函数零点的取值范围，最后证明即可；
（2）根据题意可得，在上恒成立，参变分离得，构造函数，，判断函数在上单调性，进而求出最值，最后实数的取值范围.
【详解】
(1)当时，，
，
，，
则，所以导函数在区间单调递减，
又，
，
根据零点存在定理可知，存在唯一零点，
使得，
所以当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以是函数在区间内存在唯一的极值点，
又，所以.
(2) 若在上单调递减，则在上恒成立，
参变分离得，
令，，
，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，单调递增，
，，
根据零点存在定理可知，存在唯一使得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
,
根据零点存在定理可知，存在使得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
又因为，所以
所以，
综上：.
89．已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先对函数求导得，并令，再求导得，注意到，所以得单调区间，根据单调性即可解决.
（2）方法1，先验证是不等式成立，再对时，利用分离参数法和洛必达法则求解即可；方法2，直接移项，构造函数，求二阶导，再分类讨论求解即可.
【详解】
解：（1），，，
∴在上为增函数，又，
∴，，单调递减；
，，单调递增，
．
（2）方法1：（分离参数法）
当时，成立，
当，，
设（）
设，（），
∴单调递增，
又，∴，，
∴单调递增，∴．
，∴．
方法2：设，
则，
，
∵，∴，∴单调递增，
①当时，，即，
单调递增，恒成立，
②当时，，，
，使，
，单调递减，
，不合题意.
由①②知实数的取值范围是．
90．已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
【详解】
（1）当时，，导数为，
可得切线的斜率为，且，
所以切线的方程为，
即为；
（2）证明：由题意可得，
若，则，所以在递增，
因此不存在，使得，所以；
设，，则，
令，，
所以在递减，又，所以在恒成立，
从而在递减，从而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因为，所以，
因此要证，
只需证明，
即证，③
设，，则，
所以在上为增函数，
又因为，所以，即③式成立.
所以获证.
91．已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）若存在，，且当时，，当时，求证：.
【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】
(1)首先整理得到，求导得，由此可知导函数的正负跟的取值有关，所以对进行分类讨论判断函数的单调性，进而得到函数的极值.
(2)首先证明当，在上为增函数，
分析得到当时，当且仅当，
由得到关系式化简得到
，
又根据
将上式化简得，
所以将问题转化成即成立，
接着利用换元法证明上述不等式成立即可.
【详解】
（1）由，，
当，，在上为增函数，无极值，
当，，；，，
在上为减函数，在上为增函数，
，有极小值，无极大值，
综上知：当，无极值，
当，有极小值，无极大值.
（2），，
，，，
所以，当，在上为增函数，
所以当时，恒有，即成立；
当，在上为增函数，
当，在上为增函数，
这时，在上为增函数，
所以不可能存在，，
满足当时，，
所以有.
设，得：
，
①，
，
②，
由①②式可得：，
即，
又，，
③，
要证④，所以由③式知，
只需证明：，即证，
设，只需证，
即证：，令，
由，在上为增函数，
，成立，
所以由③知，成立.
92．已知函数，.
（1）当时，设，求证：；
（2）若恰有两个零点，求的最小整数值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）2.
【分析】
（1）当时，可得解析式，求导可得解析式，根据x的范围，分析可得的单调性，即可得的最大值，分析即可得证.
（2）当时，，设，利用导数求得的最值，分析不符合题意；当时，设，利用导数求得，结合解析式，可得，不符合题意；当时，利用导数求得的单调性和最值，根据零点存在性定理，即可求得零点范围，综合即可得答案.
（1）
当时，，
则，
因为， 所以，
所以，所以函数在上为增函数，
所以；
（2）
当时，，设，
因为，所以，
所以，所以函数无零点，
当时，设， 因为，
所以， 即，
，
所以函数无零点
当时，，
设，，
所以函数在上为减函数，
又，，
所以在上存在零点，使，
当时，，当时，，
函数在上为增函数，在上为减函数，
因为，，
，
所以函数在，各一个零点，
综上所述：当时，恰有两个零点，当时，，
所以时，是恰有两个零点的最小整数值 .
93．已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.
（2）先判断整数可知，接着证明
在区间上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，
所以．
（2）因为对任意的，
即恒成立
令，则
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可.
由（1）知，则
故
设，，则，
所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.
综上所述, 的最大值为2．
94．已知：
（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若，试分析，的根的个数.
【答案】
（1）
（2）无实根
【分析】
（1）求出函数的导数，即在上恒成立，令，，根据函数的单调性求出m的范围即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，根据函数的单调性结合m的范围判断即可.
（1）
解：
由于在上递增得：在上恒成立，
即在上恒成立
令，，
则，
故在上递减，于是，
故；
（2）
解：，，故在上递增，
又，，
故唯一，使得在上递减，在上递增.
故且
故，
令，
则
故在上递减
当时，由递减知，
故，
即，
从而有在上恒成立.
故时，无实根.
95．已知.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若只有一个零点，求的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）当时，分别求、、，结合，可判断恒成立，即可求证；
（2）先证明为奇函数，，只需证明在上无零点，由（1）知，若可知符合题意，再讨论，利用单调性以及零点存在性定理即可求解.
（1）
当时，，，
，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以在上单调递增；
（2）
因为，
所以为奇函数，，
要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，
由（1）知：当时，，故，
令，则时，无零点，符合题意，
当时，，
故在上单调递减，则，无零点，符合题意，
当时，，，，
所以在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以，
取，时，令，
可得，即，且时，，
由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，
综上所述：的取值范围为
96．已知函数，.
（1）讨论在内的零点个数.
（2）若存在，使得成立，证明：.
【答案】（1）一个；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分、两种情况讨论，在时，分析得出，可得出在上无零点，在时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；
（2）利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，分析得出，即可证得结论成立.
【详解】
（1）当时，，，此时函数无零点；
当时，，
令，其中，则，
所以，函数在单调递减，所以，，
所以，对任意的，，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，，
所以，函数在上只有一个零点.
综上所述，函数在上只有一个零点；
（2）由得，
令，，，
令，则，
当时，，所以，函数在上单调递增，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，
变形可得，
当时，，当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，
对于函数，，，
所以在递减，则，
故，所以成立.
97．已知函数．
（1）设是的导函数，求在上的最小值；
（2）令（），若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）利用导数判断函数的单调性，进而可求出最值；
（2）首先借助函数的图象与性质证得若对于任意的恒成立，则，接下来只需要验证若，且时，即可．
（1）
由题意，得到，
令（），则，
因为当时，，，所以，
所以即在上单调递增，
所以在上的最小值为；
（2）
因为对于任意的恒成立，且，
又，所以．
①，则，
令，则，显然在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
当，即时，，又，易证，
所以，所以，使，
所以在上，所以在上单调递减，
所以对，，不合题意；
当，即时，，所以，
所以在上单调递增，
所以，，符合题意，所以．
②若，只需证明当时，即可．
由题意知（），又因为，
所以，
令（），则．
因为，所以，所以，
因此，在上为增函数，
所以当时，，可得，
所以在上单调递增，
所以，即当时，在上恒成立．
故此时也符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
98．已知函数（其中为实数）的图象在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围､
【答案】（1）；（2）最小值为；（3）.
【分析】
（1）求导得到，根据题意得到，解得答案。
（2）计算得到，求导得到，令，则，讨论和的情况，得到在上单调递减和在上单调递增，得到函数的最小值。
（3）当时，不等式恒成立，当时，等价于，令，，考虑和，结合（2）结论根据函数的单调性得到最值，同理时类似，计算得到答案。
【详解】
解：因为，所以，
由题意得解得.
由（1）知
所以，令，则
当时，由，得，
所以在上单调递减，无最小值.
当时，由，得，所以在上单调递增，
故，所以在上单调递增，所以.
综上，的最小值为.
对分情况讨论如下：
当时，对任意的，不等式恒成立.
当时，不等式等价于，即
令，则.
当时，由（2）知，
所以单调递增，从而，满足题意.
当时.由知在上单调递增，
易证，故，
从而.
又，所以存在唯一实数，使得，
且当时，单调递减，所以当时，不满足题意.
当时，不等式等价于，
同上，令，则.
当时，由（2）可知，所以单调递增，故，满足题意
综上，可得入的取值范围是.
99．已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的取值范围是.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可得答案；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案.
【详解】
（1）证明：，.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，存在，当，
，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
100．已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由题意分类讨论当、、三种情况即可证得题中的结论；
（2）构造函数，分析可知，可得出，求出实数的值，然后验证当时，对任意的即可.
【详解】
（1）因为，则，.
①当时，，；
②当时，，，，
则，
所以，函数在上单调递减，故；
③当时，构造函数，，
则，对任意的恒成立，
所以，函数、在上均为增函数，
对任意的，，即，
，即，
所以，当时，，当且仅当时，等号成立.
综上所述，对任意的，；
（2）因为，所以，即．
不妨设，原条件即．
可得．
因为且，所以时，取得最小值，
由于函数为可导函数，则为函数的极小值点，故.
所以，解得，
下面来检验当时，是函数的最小值点，
①当时，；
②当时，，，
函数在上单调递增，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
此时，，合乎题意.
综上所述，.
专题39 导数与三角函数结合必刷100题
一、单选题1-25题
1．以下使得函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求导，再对分三种情况分析导数得解.
【详解】
解：由题意得，，
当或时，，函数在区间，上都有极值点，故不单调；
当时，，不合题意；
当时，，函数单调递增，符合题意.
故选：D.
2．设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别证明，，对于，先证明，变形为，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围. 再证明，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围.
【详解】
对于，先证明，，即，
令，则，易知单增，且，
则时，，函数单减；时，，函数单增；
函数在处取最小值，此时；
再证明，即，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，
函数的导数为，时，，即，
综上，，
故选：A
3．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先构造函数，进而根据题意判断出函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式.
【详解】
因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.
当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.
于是，，所以.
故选：A.
4．已知函数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为即为，则，运用对数函数的单调性，即可得到解集．
【详解】
解：函数的导数为：，
则时，，在上单调递增，且，
则为偶函数，即有，
则不等式，即为，
即为，
则，即，解得，，即原不等式的解集．
故选：D．
5．若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.
【详解】
根据题意，
在R上单调递增 在R上恒成立
令，，则 可写为
根据题意在上的最小值非负
解得 ，所以选项B正确
故选：B.
6．关于函数，，下列说法错误的是（ ）
A．当时，函数在上单调递减
B．当时，函数在上恰有两个零点
C．若函数在上恰有一个极值，则
D．对任意，恒成立
【答案】D
【分析】
分别在和得到，由此可知A正确；
在平面直角坐标系中作出与图象，由图象可确定B正确；
将问题转化为在上恰有一个解，令，利用导数可确定单调性并得到其图象，数形结合可确定，C正确；
令，由B中结论可确定D错误.
【详解】
对于A，，则，
当时，，，，单调递减；
当时，，，，单调递减；
综上所述：在上单调递减，A正确；
对于B，，令，得：；
在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，
函数在上恰有两个零点，B正确；
对于C，由得：，
若在上恰有一个极值，则在上恰有一个变号零点，
即在上恰有一个解，
令，则；
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，可得大致图象如下，
若在上恰有一个解，则，
此时函数在上恰有一个极值，C正确；
对于D，当时，由B选项可知，，使得，
当时，，即，D错误.
故选：D.
7．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
可构造函数，由已知可证在单增，再分别代值检验选项合理性即可
【详解】
设，则，则在单增，
对A，，化简得，故A错；
对B，，化简得，故B错；
对C，，化简得，故C正确；
对D，，化简得，故D错，
故选：C
8．已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】
解：令，
故，
故在递增，所以，可得，即，所以D正确；
故选：D．
9．已知函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先求出导函数，根据题意得在有2个变号零点，讨论或，将问题转化为两个根，令，利用导数判断函数的单调性，再求出端点值，进而可得即可求解.
【详解】
，
根据题意得在有2个变号零点，
当时，显然不合题意，
当时，方程等价于，
令，
，令，因为，解得，
可得在单调递减，在单调递增，
又因为，，，
要使与的图像有2个不同的交点，
需要满足，解得，
故选：D．
10．若函数在上恰有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求导，由题意可知在上有两个不同的解，令，即二次函数在上有两个不同的解，
数形结合列出式子即可求解
【详解】
由于，
所以，
要使在上恰有两个不同的极值点，
则在上有两个不同的解，
令，
即二次函数在上有两个不同的解，
所以，解得.
故选：B
11．已知定义在上的函数，则函数与的图象的交点（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
令，求导函数，分析单调性结合即可得到函数零点个数从而得出结果．
【详解】
令，则
当，有；当，有
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为故函数在上有一个零点，
故函数与的图象的交点有一个．
故选：B
12．已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．存在使 B．存在使
C．对任意，都有 D．对任意，都有
【答案】B
【分析】
对于A、C记，，则，利用导数分别判断出的单调性，证明出，即可判断；对于B：取特殊值，代入验证；对于D：取特殊值，代入验证；
【详解】
对于A、C：
记，，则，
，所以在上单增，
当时，，即，即，
同理可证：在上单减，所以当时，都有，即.
又，所以.故A、C错误.
对于B：取，所以，，
则有，
，
.故B正确；
对于D：取，则有.故D错误.
故选：B
13．函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得在上恒成立，进行参变分离得
在上恒成立，令，将问题转化为在上恒成立，由的单调性，求得其最大值，由此可得答案.
【详解】
解：因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，令，所以问题转化为在上恒成立，
而在上单调递增，所以当时，有最大值，所以有最大值，所以，
故选：A.
14．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得导函数，问题化为只有一个解，分离参数，转化为研究函数的单调性、极值，函数的变化趋势，结合函数图象从而得参数范围，注意检验函数极值．
【详解】
易知函数的导数，
令，得，即．
设，则，
当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．
故选：A
15．已知函数，，关于函数的性质的以下结论中错误的是（ ）
A．函数的值域是
B．是函数的一条对称轴
C．函数在内有唯一极小值
D．函数向左平移个单位后所得函数的一个对称中心为
【答案】D
【分析】
逆用两角和的余弦公式和正弦的二倍角公式化简，求出的值域可判断A；将代入的对称轴方程可判断B；利用导数求得单调性即可得极小值可判断C；利用图象的平移变换得解析式，再检验对称中心可判断D，进而可得答案.
【详解】
，
对于A：因为，所以，即函数的值域是，故选项A正确；
对于B：令，可得，所以是函数的一条对称轴，故选项B正确；
对于C：，，当时；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值为
，故选项C正确；
对于D：向左平移个单位后所得函数，
令，可得，所以不是的一个对称中心，故选项D不正确；
所以结论中错误的是选项D，
故选：D.
16．已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，依题意知为偶函数，且在区间上是减函数，再由，结合条件分别判断四个选项即可．
【详解】
解：偶函数对于任意的满足，
令，则，即为偶函数．
又，故在区间上是减函数，
所以，
即，故B正确；
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
17．已知函数，下列结论正确的个数是（ ）
①曲线上存在垂直于轴的切线；
②函数有四个零点；
③函数有三个极值点；
④方程有四个根．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用导数判断函数的单调性，结合函数的图像进而可判断函数的零点、极值.
【详解】
由，得，
由，得，或，或，
当或时，，当或时，，
所以在上递增，在上递减，
而，
所以由零点存在性定理可知，只有两个零点，分别为和0，
函数图像如图所示
所以①③正确，②错误，
方程可转化为或，
，
由图像可知有两个根，也有两个根，
所以方程有四个根，所以④正确，
正确结论的个数是3，
故选：C.
18．关于函数，，下列四个结论中正确的个数为（ ）个
①在上单调递减，在上单调递增；
②有两个零点；
③存在唯一极小值点，且；
④有两个极值点.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
①反证，求导并发现相同区间的单调性不一致②转化并数形结合发现零点③用零点存在定理和函数的单调性可求证④转化成用导数证明恒成立问题，结合零点存在定理和函数的单调性求解.
【详解】
因为时，，，所以
所以在上单调递增，故①错误.
有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确.
，
∵，
∴，，
∴
∴存在，使得且
∴在上，，在上，，
在上，单调递减，在上，单调递增，
∴在上存在唯一极小值点.
∵，则
∴，故③正确.
令
则，
当时，，，，
当时，，.
∴在恒成立，
∴单调递增且，
，
∴存在唯一零点，使得
∴，，即，
，，即，
∴在处取得极小值
故有唯一极小值点，故④错误.
故选：C.
19．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，
结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
20．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先讨论不等式在上恒成立，在时，变形不等式并构造函数，利用导数探求的正数b即可.
【详解】
当时，而，，原不等式恒成立，
当时，，不等式等价变形为：，
令，，而，求导得，
令，则，则在上单调递增，
，若，则，记，，则，
则存在，使得，当时，，单调递减，即当时，，不符合题意，
若，，即当时，单调递增，则有，符合题意，
综上得，，
所以正实数的取值范围是.
故选：D
21．已知函数，，当，且时，方程根的个数一定不少于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】
先证明函数，都为偶函数，再利用导数讨论在上的单调性，然后作出两函数的部分图象，根据图象可得两函数在上的交点个数，再利用偶函数的对称性可得结果.
【详解】
因为定义域为，
又，所以为偶函数.
同理可证函数为偶函数，
当时，单调递减，
又，
所以时，；时，；
时，；时，；
时，；时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
又，，，，，
则与的图象在上有1个交点；
作出图象后可以发现与的图象在上至少有6个交点，
根据对称性可知，二者图象在上至少6个交点，故当，且时，方程根的个数不小于12．
故选：D．
22．已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由导数确定的单调性，把含绝对值的方程去掉绝对值符号，然后引入新函数设，问题转化为存在，，使得，只要在上不单调即可得．
【详解】
，时，，所以是增函数，
不妨设，则，又，
所以化为，
即，
设，则，
时，，是增函数，不存在，，使得，
时，要满足题意，则在上应有解，使得在上不单调．
，，
设，，，
所以，
在上单调递减，，，
所以．
故选：C．
23．设函数，下列命题中真命题的个数为（ ）
①是奇函数；
②当时，；
③是周期函数；
④存在无数个零点；
⑤，，使得且
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
直接利用三角函数的性质，周期性单调性的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的零点和方程的根的关系判断①②③④⑤的结论.
【详解】
函数，
对于①：函数故函数f(x)是奇函数,故①正确；
对于②：令，所以
由于函数在上单调递增，当x→0时, →0,当x→时,即→+
故当时,使得即时, 时,故g(x)在上单调递增, g(x)在上单调递减,
而x→0和时,→0,所以g(x)>0,
由于中，x取时，，故，，
所以，所以，故②正确；
对于③,假设函数的周期为T，则对一切x都成立，
取x=0时,则得到，再取时,则故，所以明显T无解，故假设错误，故不是周期函数.故③错误；
对于④,令解得，取时，，整理得，故存在无数个零点.故④正确；
对于⑤,令，则所以 ,所以，由于k和x1和x2相对应,故x1-x2不能取任意值,故并不总成立,故⑤错误.
故选:C.
24．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
构造新函数，由导数确定其单调性，从而得出相应的不等式，判断各选项即可．
【详解】
因为，
设，，则，
所以在上是增函数，
，，即，
，，即，
，，即，
故选：C．
25．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故选：B
二、填空题26-50题
26．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.
【详解】
因为，
所以为奇函数，
因为，所以为上的增函数，
由得，则，
因为，所以．
令，则，令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，所以，即，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
27．已知函数，则的最小值是______．
【答案】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.
【详解】
由题意，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时取得最小值，此时．
当时，，
当时，，所以的最小值是．
28．已知定义在R上的奇函数的导为数为，若，则实数t的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
由导函数可得在R上单调递增，结合是奇函数，可转化为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解.
【详解】
解：因为，所以在R上单调递增.
又是奇函数，由，
得，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
29．若函数在区间内不存在极值点，则实数的取值范围是__________.
【答案】或.
【分析】
求出导函数，由在内无变号零点求解，引入新函数，结合两角差的正弦公式、正弦函数的性质可得结论．
【详解】
因为在区间内不存在极值点，所以
在区间内无变号零点，令
，当时，，
，，故只需满足或即可，
解得或.
故答案为：或.
30．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为_________________.
【答案】
【分析】
求导可得解析式，令，利用导数，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案.
【详解】
由题知，且，
令，则，
①若，当时，，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增；
所以.
因此不可能是的极大值点.
②若，令，
当时，，
所以即在上单调递增.
又因为，，
因此存在满足：，所以当时，，
所以在上单调递减，，
所以当时，；
当时，；
所以在上单调递增；在上单调递减；
综上，当是的极大值点时，.
故答案为：
31．已知函数，若恒成立，则的取值范围____________________．
【答案】
【分析】
若要恒成立，只要即可，首先利用辅助角公式进行化简可得，进行换元可得，再利用导数即可得解.
【详解】
，
设，可得，当且仅当时取等号，
，，
设，
，
由，可得，
所以，
即在递增，可得，
由恒成立，可得，
所以的取值范围为.
故答案为：
32．若命题，为真命题，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
分别画出函数和在区间的图象，根据不等式恒成立求实数a的取值范围.
【详解】
不等式等价于 画出两个函数和在区间的图象，
如图
设，，，所以函数在原点处的切线方程是，
由图可知，当斜率大于切线斜率时，即时，恒成立.
故答案为：
33．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由，用分离参数变形，利用三角函数恒等变换化为的式子，然后换元，引入新函数，利用导数求得最小值得参数范围．
【详解】
因为，所以原不等式可变形为
令，则，
.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.又，所以.
故答案为：．
34．设函数，，若方程有解，则实数的最大值是________．
【答案】
【分析】
由题意得：，设，，用导数法求出的最值即可求解
【详解】
令，，
则，．
设，，
则．
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
的值域为．
故实数的最大值为．
故答案为：
35．设是函数的一个极值点，则______.
【答案】
【分析】
求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.
【详解】
因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，
所以，，
所以
.
故答案为：.
36．已知函数，则的最大值为________.
【答案】
【分析】
根据题意可得函数的周期为，因此只要求出函数在上的最大值即可，当时，，求导，利用导数求出函数的单调区间，从而得出函数的最大值.
【详解】
由，
则，
所以是函数的一个周期，
当时，，
，
设，且，，
则当时，；当时，；当时，；
所以在，上递增，在上递减，
，，
因为，且，所以，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
37．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________
【答案】
【分析】
先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.
【详解】
，
由题意知在上恒成立且不恒为0，
显然时，恒成立，
所以只需在 上恒成立且不恒为0，
即在 上恒成立且不恒为0，
所以只需当时，
又当时，有，所以，即有最大值，
所以，即.
故答案为：.
38．已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】
求出的导数，设，利用导数可得在区间上单调递减，从而可判断出的单调性，根据的变化情况和取值可求出.
【详解】
由得，等价于函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，当时，，
设，，则，
因为，，所以，所以在区间上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，，函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，
所以，所以的取值范围是．
故答案为：.
39．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.
【详解】
由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案为：．
40．已知函数，对于任意都有恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
令，将已知不等式转化为，则只需在上单调递增，即恒成立即可；令，分别在、和三种情况下，根据一次函数单调性得到最小值，由此可求得的范围.
【详解】
由得：
，
令，则恒成立，
在上单调递增，在上恒成立，
令，在上恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，，解得：，；
当时，，解得：，
；
综上所述：.
故答案为：.
41．函数在R上单调增，则a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】
由题意可得对于恒成立，令，转化为对于恒成立，讨论二次函数的对称轴和区间的关系由即可求解.
【详解】
因为，
所以
由题意可得对于恒成立，
令，
即对于恒成立，
的对称轴为，只需要
当即时在单调递减，
此时可得，此时不成立，
当即时在单调递增，
此时可得，此时不成立，
当即时，
解得：此时符合题意，
所以a的取值范围为.
故答案为：.
42．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
令， 结合，得到函数为奇函数，再根据，得到函数在R上单调递减，然后结合奇偶性，将不等式转化为，利用单调性求解.
【详解】
令， 又，
所以，即，
所以函数为奇函数．
因为，
所以函数在R上单调递减，
则，
即，即，
所以，
解得，
所以x的取值范围为．
故答案为：
43．若函数在R上是增函数.则实数a的最小值是__________.
【答案】
【分析】
先对函数求导，根据函数单调性，得到恒成立，利用分离参数的方法，得到，利用导数的方法求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又为使取得最大值，必有；
所以当，即时，取得最大值.
故答案为：.
44．函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________.
【答案】
【分析】
构造函数，再利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】
解：
，
构造函数，
则，
当时，，
在单调递增，
不等式，
即
即，
故不等式的解集为.
故答案为：.
45．已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
根据余弦型函数的性质求出当时，函数的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数在时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可.
【详解】
因为，所以，因此在时，单调递减，
所以有.
当时，函数是单调递增函数，当时，
，即，
因为、，使得，
所以有：，
令，
因为，所以，因此函数 单调递增，
所以有，因此不等式组的解集为：，而，所以；
当时，函数是单调递减函数，当时，
，即，
因为、，使得，
所以有：，
令，
因为，所以，因此函数 单调递减，
所以有，因此不等式组 的解集为空集，
综上所述：.
故答案为：
46．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】
由题意得，在上恒成立，
设，，，则在恒成立，
得到然后利用最值分析法求解即可.
【详解】
将函数在上单调递减，
转化在上恒成立，
即在上恒成立 ，
设，，，则在恒成立，由二次函数的性质得，解得
故答案为：
47．在处取得极值，则______.
【答案】
【分析】
对求导，代入，使得，变形整理得到，利用三角函数的有界性，可得，再利用倍角公式可求．
【详解】
解：由已知，
因为在处取得极值，
，
即，
因为，，
，即，
．
故答案为：．
48．若函数在上递增，则的取值范围___________.
【答案】.
【分析】
根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.
【详解】
由函数，
所以，
因为函数在上递增，
所以在上恒成立，
令，
所以在恒成立，
令，
所以，
解得，
故答案为：
49．已知函数存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】
计算，可知唯一零点，同时可知该函数为奇函数，转化为当时，函数无零点，利用不等式，以及构造函数，最后有导数进行判读即可.
【详解】
由题可知：函数定义域为且
因为函数存在唯一零点
所以只有一个零点0
因为
所以函数为奇函数，故只考虑当时，函数无零点
当时，有，
所以
令，则
因为
所以函数在上单调递增，又
所以
故答案为：
50．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
由题意转化条件得对任意恒成立，令，，求导后，求得的最小值即可得解.
【详解】
由题意
，
不等式对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
令，，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题50-100题
51．已知函数.
（1）设且，求函数的最小值；
（2）当，证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）通过求导来判断函数的单调性进而求出最值；
（2）构造新函数，转化为证明新函数的最小值大于等于0即可.
（1）
，又，
又，，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
的最小值为；
（2）
不等式等价于，
令，
令，，
又，，，
所以函数在上单调递增，又，，，
所以函数在区间上单调递增，又，
，所以原不等式成立.
52．已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
【答案】
（1）在区间和上单调递增，在和上单调递减
（2）的最大值为1，最小值为
【分析】
(1)结合已知条件求出，然后求出，进而即可求解；(2)首先求出的周期，然后结合(1)中条件即可求解.
（1）
由题意，，
令，，解得或或，
当时，；当时，，
∴在区间和上单调递增，在和上单调递减；
（2）
由，易知是以为周期的周期函数，
故可取这一周期讨论最值，
因为在区间和上单调递增，在和上单调递减，
故在和取得极小值，在取得极大值，
因为，，，
所以的最大值为1，最小值为．
53．已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
【答案】
（1）在上单调递减，在上单调递增；理由见解析
（2）2个，理由见解析
【分析】
（1）先判断函数的奇偶性，再利用导数可知f (x)在上的单调递增，进而可得在上的单调性；
（2）由（1）在内有且只有一个零点，再利用导数研究f (x)在上的零点即可.
（1）
解：因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
又且当时，，所以函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）
解：由（1）得在上单调递增，又，所以在内有且只有一个零点，
当时，令，又，且在上连续，则存在，使得，
由得，当时，恒成立，即在上单调递减，
且当时，，即，则在上单调递增，
所以当时，，所以在上无零点；
当时，有，即，则在上单调递减，又，，所以在有且只有一个零点，
综上，函数在上有2个零点.
54．已知函数，，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立.
【答案】
（1）极小值为，无极大值；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导函数的正负可确定的单调性，由极值点的定义可求得结果；
（2）由可将问题转化为证明，利用导数可求得单调性，进而确定，由此可得结论.
（1）
，
令，即，又，，
则，，变化情况如下表，
极小值
极小值为，无极大值.
（2）
证明：，，，
令，
则，
令，，
在上单调递增，，即，
，则在单调递增，，
，即在上恒成立.
55．已知函数.
（1）若在上有零点，求实数的取值范围；
（2）若，记在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，求出其导数后可判断函数的单调性，从而可求其值域，故可求实数的取值范围；
（2）求出，令，求出，利用题设条件可得，从而可得在存在唯一的零点且可得的符号情况，从而可得的单调性，故可得其最小值，再利用导数可求其取值范围.
（1）
由得，令，
则，所以在上单调递减，
，从而.
（2）
令，
因为，故，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一实数，使得，
且当时，，当时，，
故在上单减，在上单增，从而的最小值，∵，
∴，故.
令，则，
所以在上单减，
由题意可得，所以，
令，则，
所以在上单减，故的取值范围为.
56．已知函数.
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数.
【答案】（1）单调递减；一个零点；（2）有且仅有一个零点.
【分析】
(1)利用二次求导讨论函数的单调性，进而得出零点的个数；
(2)利用三次求导讨论函数的单调性，进而得出函数零点的个数.
【详解】
解：（1），，
当时，，所以单调递减.
又因为，，
所以，有，所以存在一个零点
（2）当时，，，
所以单调递增，
又，，
所以，有，
且有时，，单调递减；
时，，单调递增，
又因为，，
所以，有.
又当时，，，所以.
所以当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又，，
所以存在，有，
当时，，，所以有，
当，有.
所以，当时，函数有且仅有一个零点
57．已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求出函数的导数，再判断单调性，可求出最值．
（2）先得到，时，，再求出函数的最小值即得解．
【详解】
解：（1）当时，，
当，时，，，，
在，上单调递增，
，．
（2）当，时，
，
，，，，
当时，，
在，上单调递增，，
，，
的取值范围为，．
58．已知函数在原点处的切线方程为.
（1）求的值及的单调区间；
（2）记，，证明：在上至少有一个零点.
（参考数据：）.
【答案】（1），单调递增区间：，；单调递减区间：，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，利用导数几何意义可得的值，进而解导函数的不等式得到单调区间；
（2）构造函数，研究函数的单调性与极值，即可明确函数图象与轴的位置关系.
【详解】
（1），，
，.
，，
的单调递增区间：，；
单调递减区间：，.
（2）证明：，，
，记
，
在上递增，在上递减，，.
①当，时，，，
存在，使，则在上递增，在上递减，又，，，则此时在上仅有一个零点；
②当时，，，
存在，使，
又，存在，使，
在，上递减，在上递增，
，，，
此时在存在一个零点.
又，
（若不用极小值点，也可取，使.由可得）
在也存在一个零点，则此时在上有两个零点.
故综上，在上至少有一个零点，得证.
59．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.
【分析】
（1）求导得，进而解三角不等式即可得答案；
（2）根据题意得在上有两个不等实根，进而令，研究函数的函数值的分布，即可求得答案.
【详解】
解：（1）因为，
所以.
因为，当，
即时，，
当，即时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以，
由题意在上有两个不等实根，
即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.
设，则，
令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，，，
所以当时，在上有两个实根.
即的取值范围为.
60．已知函数，
（1）证明：当时，；
（2）试讨论函数在上的零点个数.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）对函数求导，求其单调性和最值，进而可证明；
（2）分，，，讨论，研究函数在上的零点个数.
【详解】
（1）证明：，，
令，，
，，
在上是增函数，且，
在上是增函数，且
；
（2），，
①，，，
是函数在上的唯一零点，
②，令，则，
因为，当且仅当时取等号，，当或时取等号，
故是函数在上的唯一零点；
③，，
设，则
在上递增，而
所以，在上递增，，是唯一零点；
④，，在上递增，而，
使，
当时，递减，，递增，
，
而，
在上有唯一零点，又也是一个零点，在上有2个零点；
综上，当时，在上有1个零点;
当时，在上有2个零点.
61．已知函数，.
（Ⅰ）求的导数；
（Ⅱ）当时，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.
注：以下不等式可参考使用：对任意，，，恒有，当且仅当时“=”成立.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）2.
【分析】
（Ⅰ）直接利用导数公式求解；
（Ⅱ）构造函数，利用导数说明其单调性，将问题转化为求函数的最小值；
（Ⅲ）先利用特值缩小的范围，再构造函数，证明这个取值符合条件即可．
【详解】
解：（Ⅰ）因为
所以
；
（Ⅱ）令（）
则（）
所以在时为增函数，
所以，即.
（Ⅲ）因为在时恒成立，
所以可令，得，
可得，所以或2，
当时，令（），
则
所以在时为增函数，所以，
即当时，成立，所以的最大值为2.
62．已知函数，（其中）.
（1）证明：当时，；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用导数分析函数在上的单调性，由此可证得所证不等式成立；
（2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，，
，恒成立，在上单调递减，
所以，当时，都有，
因此，当时，；
（2）即，
由得，
令，，
令，，则，
得在单调递减，，
从而当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，，得.
即实数的取值范围为.
63．已知函数，.
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）若，则，再根据导数的符号与函数单调性的关系求解即可；
（2）由题知，故令，，利用导数研究函数最值即可得答案.
【详解】
解：（1）若，则，
∴
∴
令，则，∴
令，则，
的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）
令，，
则
令，
则.
∵，∴，∴，∴，
∴在上单调递减，
∴
∴，∴在上单调递减，
∴，故
所以实数的取值范围是.
64．已知函数.
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.
【详解】
（Ⅰ）由题可知.
令，得，从而，
∴的单调递减区间为.
（Ⅱ）由可得，
即当时，恒成立.
设，则.
令，则当时，.
∴当时，单调递增，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，
∴.
65．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）先求出函数的导数，然后分和讨论导函数的正负，从而可得函数的单调区间；
（2）令，当时，，由再结合（1）可得当时，，从而令，则，所以在单调递增，进而可得结论
【详解】
（1）由，得.
（i）当时，对任意，都有，
此时的单调递增区间为，无单调递减区间；
（ii）当时，令，解得，
且当时，；当时，.
此时的单调递减区间为，单调递增区间.
（2）令，则.
①当时，.
令，则.
所以当时，，即.
由（1）得，当时，在单调递减，在单调递增.
所以当时，，即，
令，
则，所以在单调递增，
所以当时，.
所以，当时，，即.
②当时，因为，
所以存在，使得当，，
则在单调递减.
所以，即，与条件矛盾.
综合①，②，的取值范围是.
66．已知是自然对数的底数，函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；
（2）若当时，有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由求出的值，可得出函数的解析式，再利用导数法可求得函数的最小值；
（2）由参变量分离法可知，不等式在时有解，令，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）由得.
曲线在点处的切线斜率为，，
，.
当时，，，，
当时，，，则，
在上单调递增，；
（2），设，，
则当时，有解.
，.
当时，，解，可得或，解得，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，且，
，的取值范围为.
67．已知.
（1）判断函数是否存在极值，并说明理由；
（2）求证：当时，在恒成立.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意求得，根据余弦函数的性质可知，得到，得出函数的单调性，即可求解；
（2）由题意转化为成立，令，求导数，令，利用导数结合（1）求得函数的额单调性和最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，
根据余弦函数的性质可知，可得，
所以函数为单调递减函数，所以函数没有极值.
（2）由于，即，即，
要证原命题成立，只需证成立，
令，则，
令，
则，
由（1）可知，当时，，即，
当时，，
因此，当时，，
所以，
所以当时为增函数，所以，即，
所以当时为减函数，
所以，原命题得证.
68．已知函数.
（1）证明：当时，函数在区间没有零点；
（2）若时，，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用导数得到在上单调递增，，即得解；
（2）由题得，再构造函数，，求函数的最小值即得解.
【详解】
证明（1）
∵ ∴恒成立，在上单调递增
又 ∴，都有
∴在区间上没有零点
（2）即，由得
令，
令，
得在单调递减，
从而，，单调递减
，，单调递增
∴
得.
69．函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为：，的单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，计算和即可得单调区间；
（2）将代入不等式化简得恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数的取值范围.
【详解】
（1）由题可得
令，
得，
∴，
∴的单调递增区间为.
同理，令，得的单调递减区间为
综上所述：的单调递增区间为：，
的单调递减区间为.
（2）由，得，
即.
设，则.
设，则.
当时，，，所以.
所以即在上单调递增，
则.
若，则，
所以在上单调递增.
所以恒成立，符合题意.
若，则，必存在正实数，
满足：当时，，单调递减，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
70．已知函数，.
（1）求的单调性；
（2）若对于任意x∈[0，+∞)，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导函数，由确定增区间，确定减区间．
（2）构造函数，求出导函数，分类讨论求出在上的最小值，由最小值大于或等于0求得的范围．
【详解】
（1）
令
在上单调递增．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
（2）令，则
，令
∴在上递增，∴，
当时，，∴，单调递增，
∴，满足题意．
当时，，
∴当时，，
单调递减，又，此时，不合题意．
综上可得．
71．已知函数.
（1）当时，求零点的个数；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）零点的个数为0；（2）.
【分析】
（1）先用导数判断单调性，再用零点存在定理判断零点个数；
（2）规定新函数，只需 ，分类讨论求求出a的范围 .
【详解】
解：（1）
因为，所以，所以，所以函数在减函数.
所以
所以零点的个数为0.
（2），，，
令，则，
因为，所以所以，所以函数在减函数，
所以
当时，，所以函数在减函数，
所以，满足题意
当时，所以函数在增函数，
所以，不满足题意
当时，因为，，且函数在减函数，所以存在唯一的，使，所以函数在增函数，在减函数，当时，，不满足题意.
综上所述：实数a的取值范围为.
72．已知函数.
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）构造函数，利用、研究的单调性和最值，由此证得不等式成立.
（2）构造函数，由得到.结合导数证得，由此确定的取值范围.
【详解】
（1）设，则.
由知在上递增，∴.
从而是增函数，∴，故原不等式成立.
（2）对恒成立.
设，
一方面，由.
另一方面，当时，.
利用（1）中的结论有：.
构造函数，则.∴递减.
从而，∴，∴恒成立.
综上得：.
73．已知函数，．
（1）求在点处的切线方程；
（2）证明：对任意的实数，在上恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；
（2）利用导数得出在上恒成立，由不等关系得，从而将问题转化为证明，构造函数，利用导数得出其最小值，从而证明在上恒成立.
【详解】
（1）由题意，设该切的切线方程为，由
故，由，解得，故该切线的切线方程为．
（2）证明：设，则，则
故在上单调递增，，故在上单调递增
所以，所以在上恒成立
故
故只需证，即证
设
则
则在上单调递增，
故对任意的，在上恒成立
74．已知：函数.
（1）求；
（2）求证：当时，；
（3）若对恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，
利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.
【详解】
（1）；
（2）令，则，
当时，设，则
所以在单调递减，
即，所以
所以在上单调递减，所以，
所以.
（3）原题等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，则.
易知，即在单调递增，
所以，所以，
故在单调递减，所以.
综上所述，的最大值为 .
75．设函数（其中，m，n为常数）
（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；
（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由恒成立可知单调递增，由此得到，进而求得结果；
（2）由切线方程可确定和，从而构造方程求得；将化为，由可确定单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到所有可能的取值，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
当时，，，对任意的都成立，
在单调递增，，
要使得对有恒成立，则，解得：，
即的取值范围为.
（2），，解得：，
又，，，，
显然不是的零点，可化为，
令，则，在，上单调递增.
又，，，，
在，上各有个零点，在，上各有个零点，
整数的取值为或，整数的所有取值的和为.
76．已知.
（1）当时，求证：在上单调递减；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求得导数，结合指数函数与余弦函数的性质，求得，即可得到结论.
（2）当时，可得命题成立，当时，设，求得，求得函数的单调性，得到，分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
由时，则，
当时，
，所以，
所以在单调递减.
（2）当时，，对于，命题成立，
当时，由（1），
设，则，
因为所以，在上单调递增，
又， 所以，
所以在上单调递增，且，
①当时，，所以在上单调递增，
因为，所以恒成立；
②当时，，因为在上单调递增，
又当时，，
所以存在
对于，恒成立.
所以在上单调递减，所以当时，，不合题意.
综上，当时，对于，恒成立.
77．已知函数.
（1）当时，求在上的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增；（2）.
【分析】
（1）当时，求导得，根据得，故在上单调递增；
（2）等价于，令，分，，三种情况讨论即可得答案.
【详解】
（1）当时，，.
因为，所以，，从而，
所以在上单调递增.
（2）等价于.
令，则.
当时，，在上单调递增，
所以恒成立.
当时，令，得.
当时，，，；，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而.
令，，则，
所以在上单调递减，，即，满足题意.
当时，，所以在上单调递减，
则，不合题意.
综上，，即的取值范围为.
78．已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（1）求曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程；
（2）若对任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）试探究当?∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解的个数，并说明理由．
【答案】（1），（2）；（3）有一个，见解析
【分析】
（1）求出的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得到切线方程；
（2）题目等价于任意[，不等式恒成立，设，，求导数，求单调区间和最大值，即可得的取值范围；
（3）设，，讨论①当时，②当时，判断单调性，结合 零点的存在性定理，即可得到方程解的个数.
【详解】
（1）由题意得g（x）＝exf′（x）＝excosx，
g（π）＝eπcosπ＝﹣eπ，
g′（x）＝ex（cosx﹣sinx），g′（π）＝﹣eπ，
所以曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即y＝﹣eπx+（π﹣1）eπ，
（2）若对任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，
即对任意?∈[，?]，不等式m≥g（x）﹣x•f（x）恒成立，
只需要m≥[g（x）﹣x•f（x）]max，x∈[，π]
设h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[，π]
h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，x∈[，π]，
所以（ex﹣x）cosx≤0，（ex+1）sinx≥0，
故h′（x）≤0，
故h（x）在[，π]上单调递减，
故h（x）max＝h（），
所以m.
（3）设H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[0，]，
当x∈（0，]时，
设φ（x）＝ex﹣x，x∈（0，]时，
则φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上单调递增，
所以x∈（0，]时，φ（x）＞φ（0）＝1，
所以ex＞x＞0，
又x∈（0，]时，cosx≥sinx＞0，
所以excosx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0，
故函数H（x）在（0，]上没有零点.
当x∈（，]时，
H′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0，
故H（x）在（，]上至多有一个零点，
又H（）（e）＞0，H（）0，
且函数H（x）在（，]上是连续不断的，
故函数H（x）在（，]上有且只有一个零点.
当?∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解有一个.
79．已知点，，为坐标原点，设函数.
（1）当时，判断函数在上的单调性；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减；（2）.
【分析】
（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得，求导后可得，即可得解；
（2）当时，易得恒成立；当时，求导得，设，求导可得，按照、分类，结合函数的单调性、即可得解.
【详解】
（1）由已知，
当时，，，
当时，，
又，则，
所以函数在上单调递减；
（2）①当时，，对于，恒成立；
②当时，，
设，则，
因为，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
所以在上单调递增，且，
（ⅰ）当时，，在上单调递增，
因为，所以恒成立，符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为在上单调递增，
又当时，，
则存在，对于，恒成立，
故在上单调递减，
所以，当时，，不合题意.
综上，所求的取值范围为.
80．已知.
（1）若函数，求的单调区间;
（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围;
（3）设，且，求证:
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求出，再对分三种情况讨论得解；
（2）设切点坐标为，求出，等价于直线和函数的图像有两个交点，利用导数分析即得解；
（3）先求出在区间内单调递增，在区间内单调递减，不妨设，则，等价于，证明，再证明即得证.
【详解】
解:，
所以.
当时，令，解得或
所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减﹐在区间内单调递增.
当时，令，解得或，
所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减，在区间内单调递增.
当时﹐，所以在区间内单调递增.
综上，时﹐在区间内单调递增，在区间内单调递减﹐在区间内单调递增.
当时，在区间内单调递增，没有单调递减区间.
当时，在区间内单调递增﹐在区间内单调递减，在区间内单调递增.
解:设切点坐标为，
因为，
所以
所以切线方程为
且过点，
所以
因为过点能作两条切线，
所以直线和函数的图像有两个交点.
因为，令，
解得
所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减.
所以.
所以得.
证明:，
则
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.
不妨设，则，
欲证，则，
因为，，在区间内单调递减，
所以只需证明，即，
即，
即
设
则，
因为
所以恒成立，
所以在区间内单调递增，
所以
所以
所以原不等式成立.
故.
欲证
即
因为在区间内单调递减.
所以只需证明，即
即
因为，
所以只需证明，即证，显然成立，
所以原不等式成立，
故
81．设．
（1）当时，求证：；
（2）证明：对一切正整数n，都有．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立；
(2) 放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式.
【详解】
(1)由题知，，，故单调递增.
当时，，
所以在单调递增，有恒成立.
(2)由(1)知当时，，取
有，
故
即待证不等式成立．
82．已知函数，.
（1）求证：当时，；
（2）求函数的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求出，然后多次求导，通过研究导函数的符号得到原函数的单调性，进而得出其函数值符号，最终得出函数的单调性，从而得出的最小值，从而得证.
(2)由题意可得，结合（1）的结论，讨论出函数的单调性，从而求出其最小值，得出答案.
【详解】
（1）证明：由，得
，，
所以在上单增，，
所以在上单增，，
所以在上单增，，
即当时，.
（2）解：由
，
由（1）知当.时，(当且仅当时取“”)，
则当时，令，得；
令，得，在上单增；
令，得，在上单减，
所以.
83．已知函数，，为自然对数的底数.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；
（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.
【详解】
（1），于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①当时，，
由（1）可知，
在上为增函数，
恒成立.
时满足题意
②当时，由（1）可知
在上单调递增，
而∴存在，使得.
∴时，单调递减，
，不合题意，舍去.
综上，.
84．设函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）单调递增；（2）.
【分析】
（1）求导，得出导函数的符号，从而可得函数单调性.
（2）由已知将问题转化为不等式恒成立，令，求导，分析导函数的符号，得出单调递增，求得的最大值，由恒等式的思想可得出的取值范围.
【详解】
解：（1），令，
当时，，所以当时，单调递增；
所以，即，所以单调递增.
（2）因为当时，不等式恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
令，所以，
因为当时，，所以，所以单调递增，
所以，所以.
85．已知e是自然对数的底数，函数的导函数记为，曲线在点处的切线l与y轴交于点．
（1）当时，求实数b的取值范围；
（2）若对任意的，都有成立，求实数m的最大值．
【答案】（1），；（2）3．
【分析】
（1）利用几何意义求出切线方程，再求出，的关系，构造函数求值域即可求实数的取值范围；
（2）作差构造函数，因为在上单调递增，故只需，解不等式即可求的范围，进而求出的最大值．
【详解】
解：（1），所以，
所以（a），又（a），
所以切线的方程为，
因为切线与轴交于点，
所以，
令，
（a），
当时，，即（a），
当时，，即（a），
故（a）在上单调递增，在上单调递减，
（a），当时，（a），
所以（a）的值域为，，
即的取值范围为，．
（2），
令，，
令
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，于是在上单调递增，
因为在上恒成立，所以只需满足，解得．
故的是大值为3．
86．已知函数，是函数的导函数.
（1）证明：在上没有零点；
（2）证明：当，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）通过构造函数和二次求导可证得时，总有；
（2）分和两种情况证明. 当时，易证；当时，仿（1）可证得，即单调递增，进而可证得.
【详解】
证明：（1）因为，所以
，
令，则
在上显然，所以在上单调递增，
即时，总有，
故在上没有零点；
（2）当时，，
当时，由（1）可知，
在上单调递增，
，即时，总有，
所以在上单调递增，
.
综上所述，，.
87．已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.
【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；
（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.
【详解】
（1）(方法一)当时，，，
当时，，
所以，当时，函数在上单调递增.
(方法二)当时，，，
由，
结合函数与图象可知：当时，，，
所以两函数图象没有交点，且.
所以当时，.
所以，当时，函数在上单调递增.
（2）证明：不妨设，由得，
，
.
设，则，故在上为增函数，
，从而，
，
，
要证只要证，
下面证明：，即证，
令，则，即证明，只要证明：，
设，，则在单调递减，
当时，，从而得证，即，
，即.
88．已知函数，为的导函数．
（1）证明：当时，函数在区间内存在唯一的极值点，且；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．
（参考数据：）
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）首先确定函数，求导，根据零点存在定理确定导函数的零点，进而判断函数在的单调性及极值，结合导函数零点的取值范围，最后证明即可；
（2）根据题意可得，在上恒成立，参变分离得，构造函数，，判断函数在上单调性，进而求出最值，最后实数的取值范围.
【详解】
(1)当时，，
，
，，
则，所以导函数在区间单调递减，
又，
，
根据零点存在定理可知，存在唯一零点，
使得，
所以当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以是函数在区间内存在唯一的极值点，
又，所以.
(2) 若在上单调递减，则在上恒成立，
参变分离得，
令，，
，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，单调递增，
，，
根据零点存在定理可知，存在唯一使得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
,
根据零点存在定理可知，存在使得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
又因为，所以
所以，
综上：.
89．已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先对函数求导得，并令，再求导得，注意到，所以得单调区间，根据单调性即可解决.
（2）方法1，先验证是不等式成立，再对时，利用分离参数法和洛必达法则求解即可；方法2，直接移项，构造函数，求二阶导，再分类讨论求解即可.
【详解】
解：（1），，，
∴在上为增函数，又，
∴，，单调递减；
，，单调递增，
．
（2）方法1：（分离参数法）
当时，成立，
当，，
设（）
设，（），
∴单调递增，
又，∴，，
∴单调递增，∴．
，∴．
方法2：设，
则，
，
∵，∴，∴单调递增，
①当时，，即，
单调递增，恒成立，
②当时，，，
，使，
，单调递减，
，不合题意.
由①②知实数的取值范围是．
90．已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
【详解】
（1）当时，，导数为，
可得切线的斜率为，且，
所以切线的方程为，
即为；
（2）证明：由题意可得，
若，则，所以在递增，
因此不存在，使得，所以；
设，，则，
令，，
所以在递减，又，所以在恒成立，
从而在递减，从而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因为，所以，
因此要证，
只需证明，
即证，③
设，，则，
所以在上为增函数，
又因为，所以，即③式成立.
所以获证.
91．已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）若存在，，且当时，，当时，求证：.
【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】
(1)首先整理得到，求导得，由此可知导函数的正负跟的取值有关，所以对进行分类讨论判断函数的单调性，进而得到函数的极值.
(2)首先证明当，在上为增函数，
分析得到当时，当且仅当，
由得到关系式化简得到
，
又根据
将上式化简得，
所以将问题转化成即成立，
接着利用换元法证明上述不等式成立即可.
【详解】
（1）由，，
当，，在上为增函数，无极值，
当，，；，，
在上为减函数，在上为增函数，
，有极小值，无极大值，
综上知：当，无极值，
当，有极小值，无极大值.
（2），，
，，，
所以，当，在上为增函数，
所以当时，恒有，即成立；
当，在上为增函数，
当，在上为增函数，
这时，在上为增函数，
所以不可能存在，，
满足当时，，
所以有.
设，得：
，
①，
，
②，
由①②式可得：，
即，
又，，
③，
要证④，所以由③式知，
只需证明：，即证，
设，只需证，
即证：，令，
由，在上为增函数，
，成立，
所以由③知，成立.
92．已知函数，.
（1）当时，设，求证：；
（2）若恰有两个零点，求的最小整数值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）2.
【分析】
（1）当时，可得解析式，求导可得解析式，根据x的范围，分析可得的单调性，即可得的最大值，分析即可得证.
（2）当时，，设，利用导数求得的最值，分析不符合题意；当时，设，利用导数求得，结合解析式，可得，不符合题意；当时，利用导数求得的单调性和最值，根据零点存在性定理，即可求得零点范围，综合即可得答案.
（1）
当时，，
则，
因为， 所以，
所以，所以函数在上为增函数，
所以；
（2）
当时，，设，
因为，所以，
所以，所以函数无零点，
当时，设， 因为，
所以， 即，
，
所以函数无零点
当时，，
设，，
所以函数在上为减函数，
又，，
所以在上存在零点，使，
当时，，当时，，
函数在上为增函数，在上为减函数，
因为，，
，
所以函数在，各一个零点，
综上所述：当时，恰有两个零点，当时，，
所以时，是恰有两个零点的最小整数值 .
93．已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.
（2）先判断整数可知，接着证明
在区间上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，
所以．
（2）因为对任意的，
即恒成立
令，则
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可.
由（1）知，则
故
设，，则，
所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.
综上所述, 的最大值为2．
94．已知：
（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若，试分析，的根的个数.
【答案】
（1）
（2）无实根
【分析】
（1）求出函数的导数，即在上恒成立，令，，根据函数的单调性求出m的范围即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，根据函数的单调性结合m的范围判断即可.
（1）
解：
由于在上递增得：在上恒成立，
即在上恒成立
令，，
则，
故在上递减，于是，
故；
（2）
解：，，故在上递增，
又，，
故唯一，使得在上递减，在上递增.
故且
故，
令，
则
故在上递减
当时，由递减知，
故，
即，
从而有在上恒成立.
故时，无实根.
95．已知.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若只有一个零点，求的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）当时，分别求、、，结合，可判断恒成立，即可求证；
（2）先证明为奇函数，，只需证明在上无零点，由（1）知，若可知符合题意，再讨论，利用单调性以及零点存在性定理即可求解.
（1）
当时，，，
，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以在上单调递增；
（2）
因为，
所以为奇函数，，
要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，
由（1）知：当时，，故，
令，则时，无零点，符合题意，
当时，，
故在上单调递减，则，无零点，符合题意，
当时，，，，
所以在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以，
取，时，令，
可得，即，且时，，
由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，
综上所述：的取值范围为
96．已知函数，.
（1）讨论在内的零点个数.
（2）若存在，使得成立，证明：.
【答案】（1）一个；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分、两种情况讨论，在时，分析得出，可得出在上无零点，在时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；
（2）利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，分析得出，即可证得结论成立.
【详解】
（1）当时，，，此时函数无零点；
当时，，
令，其中，则，
所以，函数在单调递减，所以，，
所以，对任意的，，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，，
所以，函数在上只有一个零点.
综上所述，函数在上只有一个零点；
（2）由得，
令，，，
令，则，
当时，，所以，函数在上单调递增，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，
变形可得，
当时，，当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，
对于函数，，，
所以在递减，则，
故，所以成立.
97．已知函数．
（1）设是的导函数，求在上的最小值；
（2）令（），若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）利用导数判断函数的单调性，进而可求出最值；
（2）首先借助函数的图象与性质证得若对于任意的恒成立，则，接下来只需要验证若，且时，即可．
（1）
由题意，得到，
令（），则，
因为当时，，，所以，
所以即在上单调递增，
所以在上的最小值为；
（2）
因为对于任意的恒成立，且，
又，所以．
①，则，
令，则，显然在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
当，即时，，又，易证，
所以，所以，使，
所以在上，所以在上单调递减，
所以对，，不合题意；
当，即时，，所以，
所以在上单调递增，
所以，，符合题意，所以．
②若，只需证明当时，即可．
由题意知（），又因为，
所以，
令（），则．
因为，所以，所以，
因此，在上为增函数，
所以当时，，可得，
所以在上单调递增，
所以，即当时，在上恒成立．
故此时也符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
98．已知函数（其中为实数）的图象在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围､
【答案】（1）；（2）最小值为；（3）.
【分析】
（1）求导得到，根据题意得到，解得答案。
（2）计算得到，求导得到，令，则，讨论和的情况，得到在上单调递减和在上单调递增，得到函数的最小值。
（3）当时，不等式恒成立，当时，等价于，令，，考虑和，结合（2）结论根据函数的单调性得到最值，同理时类似，计算得到答案。
【详解】
解：因为，所以，
由题意得解得.
由（1）知
所以，令，则
当时，由，得，
所以在上单调递减，无最小值.
当时，由，得，所以在上单调递增，
故，所以在上单调递增，所以.
综上，的最小值为.
对分情况讨论如下：
当时，对任意的，不等式恒成立.
当时，不等式等价于，即
令，则.
当时，由（2）知，
所以单调递增，从而，满足题意.
当时.由知在上单调递增，
易证，故，
从而.
又，所以存在唯一实数，使得，
且当时，单调递减，所以当时，不满足题意.
当时，不等式等价于，
同上，令，则.
当时，由（2）可知，所以单调递增，故，满足题意
综上，可得入的取值范围是.
99．已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的取值范围是.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可得答案；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案.
【详解】
（1）证明：，.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，存在，当，
，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
100．已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由题意分类讨论当、、三种情况即可证得题中的结论；
（2）构造函数，分析可知，可得出，求出实数的值，然后验证当时，对任意的即可.
【详解】
（1）因为，则，.
①当时，，；
②当时，，，，
则，
所以，函数在上单调递减，故；
③当时，构造函数，，
则，对任意的恒成立，
所以，函数、在上均为增函数，
对任意的，，即，
，即，
所以，当时，，当且仅当时，等号成立.
综上所述，对任意的，；
（2）因为，所以，即．
不妨设，原条件即．
可得．
因为且，所以时，取得最小值，
由于函数为可导函数，则为函数的极小值点，故.
所以，解得，
下面来检验当时，是函数的最小值点，
①当时，；
②当时，，，
函数在上单调递增，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
此时，，合乎题意.
综上所述，.
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