高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时教学设计及反思

第六章 平面向量及其应用

6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例

一、教学目标

1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题；

2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；

2.由实际问题建立数学模型，画出示意图。

三、教学过程：

1、创设情境：

   如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。

教师提出本节课解决的问题---------应用余弦定理、正弦定理解决实际问题

探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？

测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，

问题1：如何求AB间的距离？

学生小组活动探究

二. 建构数学 

1．（1）基线的概念

在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线

（2）选择原则

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

2．测量中的有关角的概念

(1)仰角和俯角

如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。

(2)方向角

如下图所示，从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

三. 数学应用

例1 完成探究1

解：在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得

于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离

变式训练：1.如图，设，两点在河的两岸，在所在河岸边选一定点，测量的距离为，，，则，两点间的距离是　　．

解：，，，

在三角形中，由正弦定理，得，

，

、两点的距离为，

2.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得，，

在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

在中，由余弦定理得

，所以.

例2 图，在点和点测得淮安电视塔塔顶的仰角分别为和（点、与塔底在同一直线上）又测得米，根据所测数据可求淮安电视塔的高度.

解:，，，

在三角形中，由正弦定理，得，

，

、两点的距离为，

答：淮安电视塔的高度50m．

变式训练：如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．

解：设电视塔AB的高为x，

则在Rt△ABC中，

由∠ACB＝45°，得BC＝x.

在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.

在△BDC中，由余弦定理，得

BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，

即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，

解得x＝40，

答：电视塔的高为40 m.

例3.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：

则求救援船到达D点所需要的时间．

【答案】1小时.

【解析】由题意可知：在中，，，则，

由正弦定理得：，

由，

代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.

在中，，，，

由余弦定理得：

，

，，

即该救援船到达点所需的时间小时.

故答案为:1小时.

变式训练：如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．乙船每小时航行_____________海里

【答案】30

【解析】连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30 ＝10 (海里)．又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，

∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.

在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里)．

因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)．

故答案为:30海里/小时

四、小结：

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC                  

变形：，，

应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

 （2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。

正弦定理： 

应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。 

题型:(1)距离问题；(2)底部不可到达的建筑物的高度； (3)角度问题。

五、作业：习题6.4.3