专题15 函数的概念和性质（真题训练）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎1．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3，则f（x）（　　）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【答案】A【解析】因为f（x）＝x3，则f（﹣x）＝﹣x3f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1在（0，+∞）为减函数，y2在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3单调递增，故选：A．2．（2020•天津）函数y的图象大致为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数y的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x），则f（﹣x）f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．3．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　）A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]【答案】D【解析】∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．4．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【答案】C【解析】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．5．（2020•海东市模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，若f（2）＝3，则满足f（x+1）＜3的x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣3）∪（0，1） D．（﹣3，1）【答案】D【解析】因为f（x）是偶函数，所以f（﹣2）＝f（2）＝3，因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（x+1）＜3等价于﹣2＜x+1＜2，解得﹣3＜x＜1，即满足条件的x的取值范围是（﹣3，1）．故选：D．6．（2020•安庆模拟）已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）＝2，则f（2019）+f（2020）＝（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【解析】根据题意，函数f（x）为奇函数，则﹣f（x）＝f（﹣x），又由f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x）即函数的周期为4，且f（1）＝2，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2020）＝f（0）＝0，则f（2019）+f（2020）＝﹣2故选：A．7．（2020•益阳模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（）＝（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由f（2+x）＝﹣f（x）可得f（4+x）＝f（x），所以函数的周期T＝4，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（），则f（）＝f（　）＝f（）＝﹣f（）．故选：A．8．（2020•山西模拟）已知函数，f（x）＝xg（x），若f（2﹣a）＞f（2a），则实数a的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为g（x），由g（x）的解析式可知，g（x）在R上是奇函数且单调递增，f（x）＝xg（x）为偶函数，当x＞0时，有g（x）＞g（0），任取x1＞x2＞0，则g（x1）＞g（x2）＞0，由不等式的性质可得x1g（x1）＞x2g（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）＞0，所以，函数f（x）在（0，+∞）上递增再由f（2﹣a）＞f（2a），得|2﹣a|＞2|a|，即3a2+4a﹣4＜0，解得﹣2＜a．故选：B．9．（2020•茂名二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象大致是（　　）A．B． C．D．【答案】B【解析】．因为g（x）＝﹣g（﹣x），所以g（x）为奇函数，排除A；g（x）有唯一的零点，排除C；，排除D，只有B符合条件．故选：B．10．（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是　　．【答案】①②③【解析】设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝g（t）．对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为，乙企业的污水治理能力为．由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率小于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，∴在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；对于③，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，∴在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．11．（2019•江苏）函数y的定义域是　　．【答案】[﹣1，7]【解析】由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．12．（2019•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是　　．【答案】【解析】存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|，可得2a（3t2+6t+4）﹣2，即a（3t2+6t+4），由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，可得0＜a，可得a的最大值为．故答案为：．