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专题09 对数与对数函数(重难点突破)-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义(新教材人教A版)
展开专题09 对数与对数函数(重难点突破)
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
重难点一 对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R); ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).
(3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).
重难点三 对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
| a>1 | 0<a<1 | |
图象 | |||
性质 | 定义域:(0,+∞) | ||
值域:R | |||
当x=1时,y=0,即过定点(1,0) | |||
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 | 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 | ||
在(0,+∞)上是增函数 | 在(0,+∞)上是减函数 | ||
三、重难点题型突破
重难点1 对数与对数式的化简求值
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
例1.(1)(2017·全国高一课时练习)已知lg 9=a,10b=5,则用a,b表示log3645为 .
【答案】
【解析】由已知得,则,
因为,所以,
即.
(2). 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=lg(x-2)+;(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
【解析】 (1)要使函数有意义,需满足解得x>2且x≠3,
所以函数定义域为(2,3)∪(3,+∞).
(2)要使函数有意义,需满足解得-1<x<0或0<x<4,
所以函数定义域为(-1,0)∪(0,4).
【变式训练】(1).(2017·全国高一单元测试)已知10m=2,10n=4,则的值为( )
A.2 B. C. D.2
【答案】B
【解析】====.答案:B
(2).(2013·全国高一课时练习)已知,则的值为( )
A. B.4 C.1 D.4或1
【答案】B
【解析】因为,
所以,,,
解得=1(舍去),=4,故选B.
重难点2 对数函数的图像与性质
例2求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;(2)f(x)=+ln(x+1);
【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则logx+1>0,即logx>-1,解得0<x<2,即函数f(x)的定义域为(0,2).
(2)函数式若有意义,需满足即解得-1<x<2,故函数的定义域为(-1,2).
例3.(1)(2017·北京市第二中学分校高一课时练习)函数,x∈(0,8]的值域是( )
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,-3] D.(-∞,3]
【答案】A
【解析】∵,故选A.
(2).下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为,则其关于直线的对称点的坐标为,由对称性知点在函数的图象上,所以,故选B.
(3).函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
【答案】D
【解析】由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选D.
(4).当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象为( )
A B C D
【答案】C
【解析】∵a>1,∴0<<1,∴y=a-x是减函数,y=logax是增函数,故选C.
重难点3 对数函数的单调性与最值(比较大小)
例4.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,得或,设,则,关于单调递减,,关于单调递增,由对数函数的性质,可知单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为.选D.
例5.设,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
由下图可知D正确.
【变式训练】.(1)设,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得,由得,
所以,所以,得.
又,,所以,所以.故选B.
(2)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由题意,可知,
,,所以最大,,都小于1,因为,,而,所以,即,所以,故选A.
重难点4 对数型复合函数的应用
例6.(2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习)函数在上是减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以在上是减函数,又因为在上是减函数,所以是增函数,所以;又因为对数的真数大于零,则,所以;则.
故选:C.
【变式训练】..(1)判断f(x)=x2-2x的单调性,并求其值域.
(2)已知y=loga(2-ax)是[0,1]上的减函数,则a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.[2,+∞)
(3)函数f(x)=log(x2+2x+3)的值域是________.
【解析】(1) 令u=x2-2x,则原函数变为y=u.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又∵y=u在(-∞,+∞)上递减,
∴y=x2-2x在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=u,u∈[-1,+∞),∴0<u≤-1=3,
∴原函数的值域为(0,3].
(2)∵f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,且y=2-ax在[0,1]上是减函数,
∴即∴∴1<a<2.
(3)f(x)=log(x2+2x+3)=log[(x+1)2+2],
因为(x+1)2+2≥2。所以log[(x+1)2+2]≤log2=-1,
所以函数f(x)的值域是(-∞,-1]
四、课堂定时训练(45分钟)
1.=( )
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】.
2.如果那么( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质得.
3.在同一直角坐标系中,函数,(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
【答案】D
【解析】当时,函数的图象过定点且单调递减,则函数的图象过定点且单调递增,函数的图象过定点且单调递减,D选项符合;
当时,函数的图象过定点且单调递增,则函数的图象过定点且单调递减,函数的图象过定点且单调递增,各选项均不符合.
综上,选D.
4.当时,,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数与对数函数的图像知,解得,故选B
5.已知,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由题意,可知,
.,所以最大,,都小于1.因为,,而,所以,即,所以,故选A.
6.已知定义在 上的函数 (为实数)为偶函数,记
,,则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数,所以,即,
所以,
, ,所以,故选C.
7.的值是____________.
【答案】1
【解析】.
8. 已知函数.
(1)判断奇偶性并证明你的结论;
(2)解方程.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】(1)根据题意,为奇函数;
证明:,所以定义域为,关于原点对称;
任取,
则.
则有,为奇函数;
(2)由(1)知,
,即,
,
即,或,
又由,则有,
综上,不等式解集为
9.已知,函数.
(1)求的定义域;
(2)当时,求不等式的解集.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由题意得:,解得
因为,所以
故的定义域为
(2)因为,所以,,
因为,所以,即
从而,解得
故不等式的解集为.
10. 已知函数且.
当时,,求实数x的取值范围.
若在上的最大值大于0,求a的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)当a=3时,,
,得
(2)∵a>0,∴在定义域内单调递增,
当a>1时,函数在上单调递增,,
得即a>,又a>1,故a>1;
当0<a<1时,函数在上单调递减,,
得;
又因为在上恒成立,故,即
综上:的取值范围