第八章 立体几何专题训练（一）—表面积与体积-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

这是一份第八章 立体几何专题训练（一）—表面积与体积-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练，共18页。试卷主要包含了已知四面体中，，且等内容，欢迎下载使用。
第八章 立体几何专题训练（一）—表面积与体积一．单选题1．已知四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点．若，，，则四棱锥的表面积等于　　A． B． C． D．2．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是　　A． B． C． D．3．如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为　　A． B． C． D．4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为　　（单位：A． B． C． D．5．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸟蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸟蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为　　A． B． C． D．6．已知四面体中，，且．若四体的外接球体积为，则当该四面体的体积最大时，　　A．2 B．4 C．6 D．87．冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为　　A． B． C． D．8．如图所示，在三棱锥中，，是等边三角形，平面平面．已知三棱锥外接球的半径为4，则该三棱锥体积的最大值为　　A． B．6 C． D．24二．多选题9．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点，则　　A． B．多面体的体积为 C．若为线段的中点，则平面 D．的最小值为1110．如图，在正方体中，点在线段上运动，则　　A．直线平面 B．直线平面 C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线与所成角的取值范围是，11．在直角梯形中，，，，点为直线上一点，且，将该直角梯形沿折叠成三棱锥，则下列说法正确的是　　A．存在位置，使得 B．在折叠的过程中，始终有 C．三棱锥体积最大值为 D．当三棱锥体积最大时，12．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则　　A．平面 B．平面 C．直线与所成角的余弦值为 D．平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为三．填空题13．已知四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心，若该四棱锥外接球的半径为3，则该四棱锥体积的最大值是　　．14．《九章算术》是我国古代数学著作，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，外接球的表面积为，则阳马体积的最大值为　　．15．已知正三棱锥内接于半径为2的球，且扇形的面积为，则正三棱锥的体积为　　．16．在古代数学中把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导了方亭的体积公式，如图正四棱台的下底面边长为，上底面边长为，高为，则体积，某景区计划在景区内挖一条景观河，河的横截面为等腰梯形，上口宽10米，下口宽6米，深2米，河的总长度为1638米（按直线长度计算）把挖出的土堆成一个正四棱台形状的地基，设计地基的高为6米，侧面与底面所成的二面角为，则正四棱台地基的底面边长为　　．四．解答题17．如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，，分别是线段，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．18．如图，在三棱锥中，底面，，，、、分别为、、的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点、（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当为线段的中点时，求三棱锥的体积．20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）若，，点在线段上，，求三棱锥的体积．
第八章 立体几何专题训练（一）—表面积与体积 答案1．解：因为点在平面上的射影为的中点，所以平面，平面，所以，又底面为矩形，所以，，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形，在中，，，所以，，，连结，取的中点，连结，因为，，由题意可知，，则，且，所以，所以四棱锥的表面积为．故选：．2．解：设该正四棱锥底面的边长为，高为，斜高为，则有，解得，所以该正四棱锥的底面面积为，侧面面积为，故该正四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是．故选：．3．解：设底面圆半径为，由母线长为4，所以侧面展开扇形的圆心角为；将圆锥侧面展开成一个扇形，从点拉一绳子围绕圆锥侧面转到点，最短距离为，如图所示：在中，斜边的长度为：，解得，所以，所以圆锥的表面积为．故选：．4．解：由图可知，截去的是正方体八个角的三棱锥，留下一个边长为的等边三角形截面，其余6个面为边长为的正方形，所以该饰品的表面积为：，故选：．5．解：由题意可知，蛋巢的底面是边长为的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，由于鸡蛋的体积为，故鸡蛋（球的半径为，故球心到截面圆的距离为，又垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为．故选：．6．解：如图，由，得，，，又，平面，则，又，平面．取中点，可得，则为四面体的外接球的球心，设外接球的半径为，由外接球体积为，得，即．．又，设，，则，即．．当且仅当时上式取等号．故选：．7．解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，解得，则，故该冰激凌的体积为．故选：．8．解：设的边长为，三棱锥外接球的球心为，的外接圆的圆心为，，球心必在底边的高上，，可得，则的高，又当时，取得最大值，此时，，此时三棱锥的体积的最大值为．故选：．9．解：如图所示，将几何体补全成棱长为2的正方体，在正方体中，因为，，所以，故正确，因为，所以错误，当为线段的中点时，因为平面，所以，故正确，过作的垂线，垂足为，连接，，则，因为，所以，当时，取得最小值为11，故正确，故选：．10．解：如图，对于，，，，平面，，同理，，，平面，故正确；对于，连接，由，且，得四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，同理平面，又，、平面，平面平面，而平面，直线平面，故正确；对于，，平面，平面，平面，点在线段上运动，到平面的距离为定值，又△的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故正确；对于，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，故异面直线与所成角的取值范围是，，故错误，故选：．11．解：对于，如图所示，连结，，，从到的翻折过程中，点在平面内射影始终落在直线上，假设存在位置，使得，又平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，则，因为，所以在平面内过点与垂直的直线在外，不可能出现在内，故选项错误；对于，四边形为正方形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故选项正确；对于，在中，由正弦定理可得，，，边上的高，当平面平面时，三棱锥体积最大，此时的体积，故选项正确；对于，当三棱锥体积最大时，在平面上的投影为，，在中，，，，由余弦定理可得，，所以，故选项正确．故选：．12．解：对于，取中点，连接、，点是的中点，，过，，三点的平面与平面的交线为，与重合，，平面，平面，平面，故正确；对于，由知，且，与相交，与平面相交，故错误；对于，由知，是直线与所成角（或所成角的补角），四棱锥的底面为矩形，底面，，，，直线与所成角的余弦值为：，故正确；对于，由知截面就是平面，下半部分分为四棱锥和三棱锥．所以下部分体积为：，所以上部分，上下之比就是．故正确．故选：．13．解：如图，由题意，四棱锥为正四棱锥，设底面边长为，高为，又该四棱锥外接球的半径为3，，整理得．则四棱锥的体积，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，．故答案为：．14．解：鳖臑外接球的表面积为，设外接球的半径为，由，可得，则，设，，由题意得，，，则，阳马体积，当且仅当时，取等号，的最大值为64．故答案为：64．15．解：如图，设底面正三角形的中心为，连接，则平面，由对称性可知，三棱锥外接球的球心在上，设，球的半径为2，扇形的面积为，，得，即，，可得，，则，三棱锥的高为，正三棱锥的体积为．故答案为：．16．解：景观河挖出的土的体积（立方米），由题意得正四棱台的下底面边长为，高为6米，侧面与底面所成的二面角为，如图，上底面边长为米，所以正四棱台地基的体积．因为，所以，解得或（舍负），所以正四棱台地基的底面边长为72米．故答案为：72米．17．（1）证明：、分别为矩形的边、的中点，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，，平面，平面，平面，又，、平面，平面平面；（2）解：取的中点，连接，则，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，平面，在等腰直角三角形中，由，求得．在矩形中，，，可得．．18．证明：（Ⅰ），，，底面，平面，，又，平面，平面，；解：（Ⅱ）为的中点，、到平面的距离相等，，在中，，，，则，、分别为、的中点，，且，由底面，知，，．，作，垂足为，则平面，在中，，，．．19．（Ⅰ）证明：平面，平面，，又，，、平面，平面，又平面，，在中，，，为的中点，，，、平面，平面，而平面，；（Ⅱ）解：为线段的中点，为线段的中点，．20．（1）证明：根据题意可得，，，，又底面为菱形，，，又，、平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：在等边三角形中，，，又，，即，．由（1）可知，平面，又，．