作业05 古典概型与几何概型-2021年高一数学暑假作业（人教A版）

作业05古典概型与几何概型-2021年高一下学期数学暑假作业（人教A版）

一、单选题

1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用树图列举基本事件总数，再找出第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数，代入古典概型的公式求解.

【详解】

从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，

第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，

故所求概率.

故选：A.

2．某种心脏手术成功率为，现釆用随机模拟方法估计“例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是，故我们用、、、表示手术不成功，、、、、、表示手术成功，再以每个随机数为一组，作为例手术的结果．经随机模拟产生如下组随机数：、、、、、、、、、由此估计“例心脏手术全部成功”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

找出代表“例心脏手术全部成功”的随机数组，利用古典概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

代表“例心脏手术全部成功”的随机数组有：、，共组，、

因此，估计“例心脏手术全部成功”的概率为.

故选：A.

3．从含有件正品件次品的件产品中，任意取出件产品，则取出的件产品中至少有一件次品的概率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设3件正品为，2件次品为，列出所有情况，求出至少有一件次品的情况，即可得出概率.

【详解】

设3件正品为，2件次品为，

则任意取出件产品的情况有

共10种，

其中至少有一件次品的情况有共7种，

则取出的件产品中至少有一件次品的概率为.

故选：A.

4．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分.若往该图案内投掷一点，则该点落在图中空白处(非阴影部分)的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据几何概型的概率公式，利用面积比可得结果.

【详解】

设这两个等边三角形的边长为，

依题意可知，图案中个黑色三角形都是边长为的等边三角形，空白处是边长为的正六边形，因此该点落在图中空白处(非阴影部分)的概率为.

故选：B

5．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据几何概型的概率公式计算对应的时间比即可

【详解】

解：由于观光车发车时段为60分种，某人等待时段为，

则等待时间不多于10分种的概率为，

故选：B

【点睛】

此题考查几何概型的概率计算公式，属于基础题

6．在区间[-2，2]随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据已知条件，求事件“，且”发生时的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．

【详解】

事件“，且”

由题可知，该分段函数是一个增函数，，此时，，

所以该事件发生的概率．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查几何概型的计算和分段函数的值域，是综合考查类题目．

7．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】

分析：设正方形边长为，由几何概型概率的计算公式，即可求解取自黑色部分的概率．

此点取自黑色部分的概率是，故选B.

详解：设正方形边长为，则由几何概型概率的计算公式得，

此点取自黑色部分的概率是，故选B.

点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.

8．设不等式表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

不等式表示的平面区域为圆心为半径为2的圆内部，面积为；满足的平面区域的面积为8，即可得出结论．

【详解】

依题意得，如下图，分别画出和表示的区域，

不等式表示的平面区域是圆心为半径为2的圆内部，所以面积为；

而表示的区域为边长的正方形内部，面积为8，

要满足且满足表示的平面区域的面积为，

得出所求概率为．

故选：．

【点睛】

本题考查几何概型，其中运用了线性规划表示的平面区域和圆的方程，考查对图形的理解能力，正确求出面积是关键．

9．如图，正三角形内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设正三角形边长为2，计算出黑色部分的面积与总面积的比即可得解.

【详解】

设正三角形边长为2，则内切圆的半径为，正三角形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计算公式，得此点取自黑色部分的概率是.

故选：B.

【点睛】

本题考查了面积型几何概型概率的计算，属于基础题.

10．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据甲、乙的到达时间，作出可行域，然后考虑甲、乙能同乘一辆公交车对应的区域面积，根据几何概型的概率求解方法即可求解出对应概率.

【详解】

设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，

所以，

记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，

所以，

作出可行域以及目标区域如图所示：

由几何概型的概率计算可知：.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用线性规划的可行域解决几何概型中的面积模型问题，对于分析和转化的能力要求较高，注意几何概型中面积模型的概率计算方法，难度较难.

二、填空题

11．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则密码被译出的概率为_____.

【答案】.

【分析】

根据相互独立事件的乘法公式计算出密码没有被译出的概率，再用对立事件的概率公式计算可得.

【详解】

解析：密码没有被译出时，甲和乙都没能译出，概率为，

因此密码被译出的概率为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了相互独立事件的乘法公式，考查了对立事件的概率公式，属于基础题.

12．如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分（均为整数），其中一个数字模糊不清，则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为______________.

【答案】

【分析】

由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．

【详解】

由茎叶图可得甲的5次得分分别为18，19，20，21，22，

则甲的平均得分：（18+19+20+21+22）＝20

设污损数字为x

则乙的5次得分分别为15，16，18，28，（20+x）

则乙的平均成绩：（15+16+18+28+20+x）＝19.4，

∵0≤x≤9，x∈Z，当x＝0,1,2时，

甲的平均得分高于乙的平均得分，

∴甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平均数与茎叶图以及古典概型概率计算公式问题，是基础题．

三、解答题

13．某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：

（1）求这次数学考试学生成绩的众数、中位数和平均数；

（2）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率.

【答案】（1）众数是75分，中位数为分，平均数为分；（2）.

【分析】

（1）根据频率分布直方图，以及频率之和为1，列出方程，求解，即可得a；根据频率分别直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出结果；

（2）根据题意，分别求出成绩在，的人数，分别记作，；，，；用列举法写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，利用古典概型可得结果.

【详解】

（1）根据直方图知组距为10，

由，解得.

数学成绩的众数是75分.

由，得平均数为分.

设中位数为x分，则由，

得.

所以众数是75分，中位数为分，平均数为分；

（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为，

成绩落在[60，70）中的学生人数为；

记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，

则从成绩在[50，70）的学生中任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，

其中2人的成绩都在[60，70）中的事件有CD，CE，DE共3个，

故所求概率为.

【点睛】

关键点睛：本题主要考查由频率分布直方图求参数，求平均数、中位数、众数，考查列举法求古典概型的问题，关键在于理解数字特征的求解方法.

14．已知函数.

（1）若，都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；

（2）若，都是从区间上任取的一个数，求成立的概率.

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：

(1)基本事件总数为个.函数有零点的条件为.，，，，，，，，，，，，则函数有零点的概率为.

(2)由几何概型的计算公式可得事件“”的概率为.

试题解析：

解：（1），都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为个.

函数有零点的条件为，即.因为事件“”包含，，，，，，，，，，，，

所以事件“”的概率为，即函数有零点的概率为.

（2），都是从区间上任取的一个数，，即，此为几何模型，如图可知，事件“”的概率为.

点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．

古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．

几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.