2022台州书生中学高一下学期3月月考数学试题含解析

台州市书生中学2021学第二学高一数学阶段性测试卷

命题人（本卷满分：150分　考试时间：120分钟）

一、单选题（每小题5分，共40分．）

1. 下列命题中正确的是（）

A. －＝ B. ＋＝0

C. 0＝ D. ＋＋＝

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的减法运算，可判断A;根据相反向量的和应为零向量可判断B;根据向量的数乘判断C;根据向量的加法判断D.

【详解】起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；

，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；

0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；

根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，

故选：D.

2. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（）

A. ＝(0，0)，＝(1，2)

B. ＝(－1，2)，＝(5，－2)

C. ＝(3，5)，＝(6，10)

D. ＝(2，－3)，＝(－2，3)

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示

【详解】A．＝(0，0)，，不可以作为平面的基底；不能表示出；

B．由于，不共线，，可以作为平面的基底；能表示出；

C．，，不可以作为平面的基底；不能表示出；

D．，，不可以作为平面基底；不能表示出．

故选：B．

3. 已知中，，则c=（）

A. 1 B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出.

【详解】因为，所以，

由正弦定理可得，

故选：C.

4. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的（）

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项.

【详解】依题意是非零向量，

“存在实数λ，使得”，

“”同向，

所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件.

故选：C

5. 已知向量满足，且．则向量与向量的夹角是（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出，再根据求与的夹角.

【详解】.

，

，

即向量与向量的夹角是.

故选：C

【点睛】知识点睛：求向量夹角通常用夹角公式：，还要注意角的范围.

6. 对于任意两个向量和，下列命题正确的是（）

A. 若，满足，且与同向，则 B.

C.  D.

【6题答案】

【答案】B

【解析】

分析】

根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.

【详解】A.向量不能比较大小，所以A不正确；

B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；

C.，故C不正确；

D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.

故选：B

7. 若的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.面积,则

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】

取，代入已知式化简变形．

【详解】∵，

∴，，．

又由得∴，由正弦定理得，

，∴．

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．三角函数中公式较多，解题时需根据不同的条件选取不同的公式化简变形．

8. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是（）

A. 1 B.  C. 2 D. 4

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，对两边平方化简可得，然后利用基本不等式可求出的最大值

【详解】由题意可得，

因为，，

所以，

，

所以，

因，所以，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最大值是2,

故选：C

二、多选题（每小题5分，共20分，少选漏选得3分，错选得0分．）

9. 在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，下列结论正确的是（）

A.  B. 若，则；

C.  D. 若，则

【9题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】结合三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识确定正确选项.

【详解】，A选项正确.

，C选项错误.

若，则，所以，B选项错误.

对于D选项，，则（为三角形外接圆的半径），由正弦定理得，所以，所以D选项正确.

故选：AD

10. 已知向量，，则（）

A.  B. 与向量共线的单位向量是

C.  D. 向量在向量上的投影向量是

【10题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算分别判断各选项.

【详解】A选项，，，，，A选项正确；

B选项，设与向量共线的单位向量，则，解得，或，故或，B选项错误；

C选项，，，则，故，C选项正确；

D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；

故选：AC.

11. 在中，角，，所对的边分别为，则下列结论正确的是（）

A. 若，则

B. 已知中，，则有两解

C. 若是钝角三角形，则

D. 若则面积的最大值为

【11题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正弦定理，可得判定A正确；结合正弦定理求得，可判定B错误；不妨设为锐角，分为钝角和为锐角，两种情况，结合正切函数的性质，可判定C正确；利用余弦定理和基本不等式，以及面积公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，由，可得，可得，所以A正确；

对于B中，在中，，

由正弦定理知，即，

因为，可得，所以只有一解，所以B错误；

对于C中，由是钝角三角形，不妨设，

当为钝角时，可得，此时，符合题意；

当为锐角时，可得，即，且，

由函数在上为单调递增函数，可得，即，所以，所以C正确；

对于D中，因为，由余弦定理，

即，

当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为，

所以面积的最大值为，所以D正确.

故选：ACD.

12. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ）

A. 若，则点是边的中点

B. 若，则点在边的延长线上

C. 若，则点是的重心

D. 若，且，则的面积是的面积的

【12题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.

【详解】A中：,即：

,则点是边的中点

B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.

C.

设中点D,则,，由重心性质可知C成立.

D．且设

所以，可知三点共线，所以的面积是面积的

故选择ACD

【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.

三、填空题（每小题5分，共20分．）

13. 若，，则___________．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算，得到，即可求解.

【详解】由题意，向量，，

根据向量的坐标运算，可得.

故答案为：.

14. 已知向量、是两个非零向量，且，则与的夹角为___________．

【14题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】设出两向量的夹角，利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解.

【详解】设与的夹角为，

设，所以，

则，

即，

即，又因为，

所以，即与的夹角为.

故答案为：.

15. 外接圆半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为___．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理可求得；利用余弦定理构造关于的方程，解方程可求得结果.

【详解】由正弦定理可得：

，解得：

由余弦定理可得：

解得：或（舍去）

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查对于公式的掌握，属于基础题.

16. 如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，记，，则___________.

【16题答案】

【答案】7200

【解析】

【分析】

以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到的坐标，然后求得直线的方程，根据在直线上，得到，运用向量的数量积的坐标运算即可.

【详解】如图所示：

以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，

则，

直线的方程为，

设，则，即，

所以，

所以.

故答案为：7200

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题（本大题共5大题，共70分，每题14分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17. 已知向量，，．

（1）若，求的值；

（2）若，且，求的值．

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用向量垂直的条件得到，再利用同角三角函数基本关系的商数关系进行求解；

（2）先利用向量平行的条件得到，再利用二倍角公式结合角的范围进行求解..

【小问1详解】

解：因为，所以，

即，则；

【小问2详解】

解：因为，所以，

即，因为，所以，

所以，即.

18. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．

（1）求的值；

（2）用，表示；

（3）求的值．

【18~20题答案】

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解；

（2）利用平面向量加法的平行四边形法则和数乘运算进行求解；
（3）先利用模长公式、数量积运算求出、、，再利用夹角公式进行求解.

【小问1详解】

解：由题意，得

；

【小问2详解】

解：因为平面向量加法的平行四边形法则，

且BD，AC相交于点O，M为BO中点，

所以

即；

【小问3详解】

解：由（1），得，

且，

由（2），得，

则

，

所以.

19. 已知海岛B在海岛A北偏东，A，B相距10海里，游船甲从海岛B以1海里/小时的速度沿直线向海岛A行驶，同时游船乙从海岛A沿着北偏西方向以2海里/小时的速度行驶.

（1）问经过多长时间，游船甲在游船乙的正东方向；

（2）求游船甲从海岛B驶向海岛A的过程中，甲、乙两船间距离的最小值.

【19题答案】

【答案】（1）经过小时；（2）海里.

【解析】

【分析】（1）设经过小时，游船甲在游船乙的正东方向，分别到达E，F点，然后在中，利用正弦定理求解；

（2）由（1）得，，然后在中利用余弦定理求解.

【详解】（1）设经过小时，游船甲在游船乙的正东方向．

如图所示：

游船甲与海岛的距离为海里，游船乙与海岛距离为海里，

，，．

在中，由正弦定理得，即，

解得．

故经过小时，游船甲在游船乙的正东方向．

（2）由（1）题设，，，

由余弦定理得：，

即．

∵，

∴当时，（海里）．

故甲、乙两船间距离的最小值为海里．

20. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

（1）若，的面积为3，求b与c；

（2）若，求C．

【20题答案】

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，然后结合三角形的面积公式即可求解，；

（2）由已知结合和差角公式进行化简可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】因

所．

又，所以，

化简为．即．

因为．所以．

（1）因为，，所以，

解得，从而．

（2）因，所以，

所以，

解得．

又，所以，

所以，或，

解得或．

21已知向量，，函数

，.

（1）若的最小值为-1，求实数的值；

（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【21题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：

（1）∵，

，

∴，

∵∴，

，令，

∴∵，对称轴为，

①当即时，当时，∴舍，

②当即时，当时，∴，

③当即是，当时，∴舍，

综上，.

（2）令，即，

∴或，∵，有四个不同的零点，

∴方程和在上共有四个不同的实根，

∴∴∴.