第七章 复数（压轴题专项训练）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）

第七章  复数（压轴题专项训练）

一、选择题

1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】

=，

其共轭复数为，在复平面内对应点的坐标为，在第二象限，

故选：B.

2．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（    ）

A．的共轭复数为 B．的虚部为

C． D．在复平面内对应的点在第一象限

【答案】D

【详解】

，

的共扼复数为，的虚部为，

，在复平面内对应的点为，在第一象限.

故选：D.

3．已知a为实数，若（i为虚数单位），则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：，

.

故选：D

4．定义运算，则(是虚数单位)为

A．3 B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为运算，所以，故选B.

5．下列命题中,正确的命题是（     ）

A．若，则

B．若，则不成立

C．，则或

D．，则且

【答案】C

【详解】

A．当时，，此时无法比较大小，故错误；

B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；

C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；

D．当时，，此时且，故错误.

故选：C.

6．若复数为纯虚数，，则

A． B． C． D．或

【答案】B

【详解】

分析：由题意得到关于的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数为纯虚数，则：

，即：，

结合，可知：，故.

本题选择B选项.

7．在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵复数，∴复数的共轭复数是，就是复数所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数，

故选：B

8．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵ ，
∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．
故选D．

9．如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（    ）

A．1＋3i B．－3－i

C．3－i D．3＋i

【答案】D

【详解】

由题图可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.

故选：D.

10．已知i为虚数单位，且，则实数（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】B

【详解】

解：因为，

所以当时，.

故选：B.

11．已知复数，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【详解】

，.

故选：B

12．在复平面内，向量（为坐标原点）表示的复数为，将向右平移一个单位长度后得到向量，则向量与点对应的复数分别为

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】

向量向右平移一个单位长度后得到向量，则，

，点对应的复数为，

又，对应的复数为.

故选：C.

13．下面关于复数（为虚数单位）的四个命题：

①在复平面内对应的点在第二象限；②；③复数在复平面内对应的向量；④.

其中假命题的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

已知复数，则，所以对应的点在第三象限，故①不正确；

因为，故②不正确；

根据复数与平面向量一一对应，故③正确；

因为复数不能比较大小，故④不正确．

故选：C．

14．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，因此，.

故选：D.

15．复数的辐角主值是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，该复数的辐角主值是.

故选：D.

16．已知、，为虚数单位，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，，解得，因此，.

故选：B.

17．已知复数，则下列结论正确的是

A．的虚部为i B．

C．为纯虚数 D．

【答案】C

【详解】

，的虚部为，，

为纯虚数，，故选C.

18．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．复数的虚部为 B．复数对应的点在复平面的第二象限

C．复数z的共轭复数 D．

【答案】B

【详解】

由已知得，所以复数z的虚部为，而不是，A错误；

在复平面内，复数z对应的点为，在第二象限，B正确.

，C错误；

，D错误；

故选：B．

19．已知复数，，并且，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【详解】

由，得，

消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝，

由于－1≤sin θ≤1，

所以当时，有最小值为，

所以当时，有最大值为7，

所以，

故选：D

20．若复数满足，则的实部为

A． B． C．1 D．

【答案】A

【详解】

∵，∴，则的实部为，故选A.

二、填空题

21．若复数的实部为3，其中a是实数，i是虚数单位，则的虚部为______.

【答案】6

【详解】

解：.

由题意知，，

，，

的虚部为6.

故答案为：6.

22．已知为虚数单位，则

（1）________________；

（2）________________；

（3）已知复数，，其中，，若复数，且复数对应的点在第三象限，则的取值范围为________________；

（4）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，若复数，则复数对应的点在第________________象限．

【答案】            四   

【详解】

（1）．

（2）．

（3）因为，，所以，

又复数对应的点在第三象限，所以，所以且，

所以，故的取值范围为．

（4）因为复数对应的点为，复数对应的点为，所以，，

又复数，所以，所以复数对应的点为，在第四象限

23．定义运算，复数z满足，为z的共轭复数，则＝___________.

【答案】2＋i

【解析】

根据题意得到=,故得到z=2-i，＝2＋i.

故答案为2＋i.

24．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．

【答案】

【详解】

，对应的点为在第一象限，

逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为.

故答案为：.

三、解答题

25．如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.

【答案】证明见解析

【详解】

证明：设向量对应复数为，则向量对应的复数为

；

设向量对应复数为，

则向量对应的复数为；

向量对应复数为

，

同理，

.

由对应的复数为，对应的复数为

，且两复数模相等，易知对应复数是由对应复数逆时针旋转得到的，

又由图可知对应复数逆时针旋转可得对应复数，

.

26．求证：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)证明见解析，(4)证明见解析，

【详解】

证明：对于（1）（2），设，则.

（1），

.

（2）.

对于（3）（4），设，，则，.

（3），

，∴.

（4）∵，

∴，

又，

∴.

27．已知复数满足，且，求负实数的值.

【答案】

【详解】

设.因为，所以

，

则

当时，，由，解得；

当时，则或，因为，所以此时无解.

综上所述，.

28．计算下列各题．

（1）＋－；

（2）＋2＋7．

【答案】（1）；（2）14i．

【详解】

（1）原式

（2）原式