期末测试03 -2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）

2020—2021学年高一数学下学期

期末测试03

                       满分： 100分            时间：  60分钟          

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。

1．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）

A．(1，9] B．(3，9]

C．(5，9] D．(7，9]

【答案】D

【详解】

因为，

由正弦定理可得，

则有，

由的内角为锐角，

可得，

，

由余弦定理可得

因此有

故选：D.

2．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，

可得，即.又，所以．

因为，所以点为的重心，

所以，所以，

两边平方得．

因为，所以，

于是，所以，

的面积为.

因为的面积是面积的倍.故的面积为．

3．已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是

A．05 B．15 C．13 D．14

【答案】C

【详解】

试题分析：新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角．所以，即，整理可得，解得．因为均为三角形的三边长，且最短边长为，最长边长为所以，综上可得．故C正确．

4．如图，正方形和正方形成的二面角，将绕旋转，在旋转过程中

（1）对任意位置，总有直线与平面相交；

（2）对任意位置，平面与平面所成角大于或等于；

（3）存在某个位置，使平面；

（4）存在某个位置，使.

其中正确的是（    ）.

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）

【答案】C

【详解】

过作的平行线，

如图

当平面过时，直线与平面平行，故（1）错误；

绕旋转形成一个以为高，为底面半径的圆锥，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则向量所在直线与圆锥底面所成角为，

向量所在直线为圆锥底面的半径所在直线，

根据最小角原理，与的夹角大于或等于，故（2）正确；

若有平面，则，

∴平面，则在平面内，

此时与平面所成角为或，矛盾，

故（3）错误；

当，∴平面时，，

∴，故（4）正确.

故选：C

5．如图，各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点，且平面，，中点轨迹长度为，则正三棱柱的体积为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【详解】

设的中点分别为，连接.由于平面，所以.当时，中点为平面的中心，即的中点（设为点）处.当时，此时的中点为的中点.所以点的轨迹是三角形的高.由于三角形是等边三角形，而，所以.故正三棱柱的体积为.

故选：D

6．五一节放假期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．

他们不去北京旅游的概率分别为，，，

至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游

至少有1人去北京旅游的概率为．

故选：B．

7．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为

A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1

【答案】A

【详解】

每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选.

8．给出下列结论：

（1）某学校从编号依次为，，…，的个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为，，则样本中最大的编号为．

（2）甲组数据的方差为，乙组数据为、、、、，那么这两组数据中较稳定的是甲．

（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于．

（4）对、、三种个体按的比例进行分层抽样调查，若抽取的种个体有个，则样本容量为．则正确的个数是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

（1）中相邻的两个编号为053，098，

则样本组距为

样本容量为

则对应号码数为

当时，最大编号为，不是，故（1）错误

（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，

则

乙组数据的方差为

那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误

（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故错误

（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，

则样本容量为，故正确

综上，故正确的个数为1

故选

9．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

由频率分布直方图的性质得：
，
解得．
故选A．

10．已知，且，则（为虚数单位）的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设，，

复数表示的是以原点为圆心，的圆，

故表示的是

圆上的点到点的距离，

可知最长距离，

故选：B.

11．“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

因为，所以由题设可得，因此是的充分不必要条件，故应选答案A．

12．设非零向量，的夹角为，定义运算“”，，为任意非零向量，下列命题：

①若，则；

②若，则；

③；

④若，则.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】

对于A，若，则，

因为，均为非零向量，故，而，故或，

故，故A正确.

对于B，，，

其中为，的夹角，为，的夹角，

所以，因为均为非零向量，

故，该式推不出，故B错误.

对于C，如图：，的夹角为，共线反向，

故，而，

，故C错误.

对于D，因为，故，当且仅当时等号成立,

，故D正确.

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题 共40分）

二、填空题：本题共计4小题，共计16分。

13．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.

下面有四个推断：

①这名学生阅读量的平均数可能是本；

②这名学生阅读量的分位数在区间内；

③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；

④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.

所有合理推断的序号是________.

【答案】②③④

【详解】

在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；

在②中，，阅读量在的人数有人，

在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，

故正确；

在③中，设在区间内的初中生人数为，则，

当时，初中生总人数为116人，，

此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，

当时，初中生总人数为131人，，

区间有人，区间有36人，所以中位数在内，

当区间人数去最小和最大，中位数都在内，

所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；

在④中，设在区间内的初中生人数为，则，

当时，初中生总人数为116人，，

此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，

当时，初中生总人数为131人，，

区间有人，所以25%分位数在内，

所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故正确；

故答案为：②③④

14．在直角梯形中，，，，将沿向上翻折到、使点在平面上的射影落在线段上（不含端点），设异面直线与所成的角的大小为，二面角的大小为，直线与平面所成的确的大小为，二面角的大小为，有下列命题：①；②；③．则其中正确的命题序号是_________．

【答案】①②

【详解】

如图：，，取的中点，则，所以四边形是正方形，可得，，所以，

因为，，所以，所以，

所以只要的翻转角小于，点在平面上的射影就会落在线段上，此过程中，因为，所以直线与所成的角的大小为，

因为，，所以，故①正确；

直线与平面所成的确的大小为，直线与所成的角的大小为，且点在平面上的射影不在上，所以，

因为，，平面，平面，所以即为二面角的平面角，，

在与中，，而，所以，

即，

设到底面的距离为，因为，所以，，，所以，

综上所述：，故②正确；

当翻转角度很小时，可以想象而，不满足，故③不正确，

故答案为：①②

15．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.

【答案】

【详解】

设，(，且)

则原方程变为.

所以，①且，②；

（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；

从而，此时或3，故满足条件；

（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，

所以.

综上满足条件的所以复数的和为.

故答案为：

16．如图在等边中，D、E为边AB、AC上的点，且满足，，F，G分别为BC，DE的中点，则___________．

【答案】．

【详解】

因为F，G分别为BC，DE的中点，所以，

由图可得，，

两式相加得，即，

所以，

所以．

故答案为：．

三、解答题：本题共计4小题，共计24分。

17．如图所示，在直角梯形中，，M为线段的中点，将沿折起，得到几何体．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）已知，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【详解】

（Ⅰ）证明，取中点，连结，，是中点，，，

是中位线，，由题意得，，，，平面，平面，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的图像，在等腰直角三角形中，易得，，由（Ⅰ）得，又由，根据勾股定理，可得中，，又由，由（Ⅰ）得，，，所以，面，所以，面，则为与平面所成角，

又由，，所以，，

，直线与平面所成角的正弦值为

18．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（1）求图中a的值；

（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数）

（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率.

【答案】（1）a0.030；（2）54分；（3）.

【详解】

（1）由题意，(0.0100.0150.015a0.0250.005)101，所以a0.030；

（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，

假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，易得，

则有(0.0050.0250.0300.015)10(60x)0.0150.85， 解得x≈53.33(分)，

所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上；

（3）由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，

则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人

记得分在[50,60)内的3位学生为a，b，c，得分在[40,50)内的2位学生为D，E，

则从5人中任选2人，样本空间可记为

{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE},共包含10个样本

用A表示“这2人中恰有一人得分在[40,50)内”，

则A{aD，aE，bD，bE，cD，cE}，A包含6个样本，

故所求概率.

19．已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）记复数，求复数的模．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】

（Ⅰ）因为是关于x的方程的一个根，由方程复数根性质得也是方程的根.

，

，

（Ⅱ）

20．在中，满足，M是中点．

（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；

（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值．

【答案】（1）（2）

【详解】

（1）因为，所以，

设向量与向量的夹角为，

则

.

（2）因为，M是中点，，

所以，

设，则，

所以

，

因为，所以当时，取得最小值.

所以的最小值为.