期末测试01 -2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）

2020—2021学年高一数学下学期

期末测试01

                       满分： 100分            时间：  60分钟          

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。

1．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）

A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个

C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个  D．λ+μ=的的点P有且只有一个

【答案】C

【详解】

如图建系，取，∵，

∴，

动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，

当时，有且，∴，∴，

当时，有且，则，∴，∴，

当时，有且，则，∴，∴，

当时，有且，则，∴，∴，

综上，，

选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；

选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误；

选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；

选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故D错误；

故选：C.

2．在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由正弦定理可得,,

以BC所在直线为轴，则,

则表示轴上的点P与A和的距离和，

利用对称性，关于轴的对称点为，

可得的最小值为=.

3．已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，，， 则由余弦定理有：

，即，

∴由正弦定理知△的外接圆半径：，

由题意知：面，又，三棱锥的外接球半径：

，

由球的体积公式，有：，

故选：C

4．已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.

详解：由数据1，2，3，4，x（0<x<5）的平均数，

可得2+=x，所以x=，从这5个数中任取2个，结果有：

共10种，这2个数字之积大于5的结果有：

，共5种，

所以所求概率为.

本题选择B选项.

5．若为纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题得，

因为为纯虚数，

则，所以.

故选：C

6．在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（  ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】

分析：由图形得到复数，，，然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点.

详解：由题图知则，

所以其在复平面内对应的点为，在第三象限.

故选C

7．在复平面内，一个正方形OACB的三个顶点A，B，O对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的顶点C对应的复数为(　　)

A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i

【答案】D

【详解】

：∵ ，
∴ 对应的复数为：1+2i-2+i=-1+3i，
∴点C对应的复数为-1+3i．
故选D．

8．在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在（    ）

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部

【答案】A

【详解】

连接，，，

，，平面，

平面，

平面，所以，平面平面，

过点在平面内作直线，垂足为点，

平面平面，平面平面，，平面，

所以，平面，则点即为点，因此，点在直线上.

故选：A.

9．已知平面图形，为矩形，，是以为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将沿着翻折至，当四棱锥体积的最大值为，此时四棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

取的中点，连接，由于是以为顶点的等腰直角三角形，则，

设，则，

设二面角的平面角为，则四棱锥的高为，

当时，，

矩形的面积为，，解得.

将四棱锥补成长方体，

所以，四棱锥的外接球直径为，则，

因此，四棱锥的外接球的表面积为.

故选：C.

10．在下面四个正方体中，点、、均为所在棱的中点，过、、作正方体截面，则下列图形中，平面不与直线垂直的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

对于A选项，连接，假设平面，

在正方体中，平面，平面，，所以，为直角三角形，且为锐角，

因为、分别为、的中点，则，所以，与不垂直，

这与平面矛盾，故假设不成立，即与平面不垂直；

对于B选项，连接、，如下图所示：

因为四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，，

、分别为、的中点，则，可得，

同理可证，

，平面；

对于C选项，连接、、、、，取的中点，连接、，

因为四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，，

、分别为、的中点，，，

在正方形中，、分别为、的中点，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，且，

同理可证四边形为平行四边形，且，

所以，且，所以，四边形为平行四边形，

易得，所以，四边形为菱形，所以，，

，平面；

对于D选项，连接、，

因为四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，，

、分别为、的中点，则，，同理可证，

，平面.

故选：A.

11．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，，，，，，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．频率分布直方图中a的值为

B．样本数据低于130分的频率为

C．总体的中位数（保留1位小数）估计为分

D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等

【答案】C

【详解】

由频率分布直方图得：

，

解得，故A错误；

样本数据低于130分的频率为：，故B错误；

的频率为：，

的频率为：，

总体的中位数保留1位小数估计为：分，故C正确；

样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，

总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等，故D错误.

故选：C.

12．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是

A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件

C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为

【答案】D

【详解】

对于A,,则概率为,选项错误;

对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;

对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;

对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;

综上可得,选D.

第Ⅱ卷（非选择题 共40分）

二、填空题：本题共计4小题，共计16分。

13．在中，有以下四个说法：

①若为锐角三角形，则；

②若，则；

③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；

④存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；

其中正确的说法有______（把你认为正确的序号都填在横线上）.

【答案】②③

【详解】

对于①：为锐角三角形，则，即，又在上单调递增，所以，故①不正确；

对于②：若，又，，所以，又在内单调递减，

所以，所以，所以，

即，所以，故②正确；

对于③：设三边长为，n为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，若C=2A,从而，

而 ，，所以，解得（舍去），

所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故③正确；

对于④：若C=3A，由正弦定理得，

，由此两式消去得，

又由余弦定理得，即，而该方程无正整数解，所以这样的三角形不存在，故④不正确；

故答案为：②③.

14．如图，已知在正方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：

①无论在如何移动，四棱锥的体积恒为定值；

②截面四边形的周长的最小值是；

③当点不与，重合时，在棱上恒存在点，使得平面；

④存在点，使得平面；其中正确的命题是______．

【答案】①②④

【详解】

解:①由题意可得∥，∥，如图建立坐标系:

，四边形为平行四边形

又（ 为到平面距离）且

上点到平面距离相等

无论在上何处，不变

不变

不变

故①正确

②由①知：四边形的周长

设，则，

等价于上点到与距离

此时

周长最小为

故②正确

③在上寻找一点，使到的距离为距离

∥，且在平面中

但当时，，与矛盾

故③错误;

④当与重合时，显然，

平面

故④正确

综上可得:正确为①②④.

故答案为:①②④.

15．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）

①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.

则肯定进入夏季的地区有_____．

【答案】①③

【详解】

①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；

②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；

③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．

则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．

16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①；

②；

③事件与事件相互独立；

④是两两互斥的事件；

⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关

【答案】②④

【详解】

由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；

由题意得，故②正确；

,①⑤错；

因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④

故答案为：②④

三、解答题：本题共计4小题，共计24分。

17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．

（1）设复数，求；

（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】

∵，∴.∴.

又∵为纯虚数，∴，解得．∴.

（1），∴；

（2）∵，∴，

又∵复数所对应的点在第一象限，

∴，解得：．

18．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.

（1）求证：；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【详解】

（1）在棱柱中，面，面，

面面，由线面平行的性质定理有，

又，故；

（2）证明：在底面中，，，.

， ，

又因为侧棱底面，则底面

面，

又，面

过点作于，连接，则是二面角的平面角．

，，

则，故，

，．

设，则．

，

故，故．

19．已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.

（1）求；

（2）证明：；

（3）当重合时，求的面积.

【答案】（1）； （2）证明见解析；（3）.

【详解】

（1）在中，因为，且，

可得，

则，所以.

（2）由（1）与已知，可得，

由余弦定理可得，

又因为，则，

则，所以.

（3）由已知可得，

因为，所以，

，

因为

，

所以，

当重合时，，解得，解得，

此时，

所以，

可得，

所以.

20．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆O的半径为，设，，圆锥的侧面积为（S圆锥的侧面积（R-底面圆半径，I-母线长））

（1）求S关于的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度

【答案】（1），（）；（2）

【详解】

解：（1）根据题意，设交于点D，过O作，垂足为E，

在中，，，

在中，，

所以，（）.

（2）由（1）得：，

设，（），

则，令，可得，

当时，，函数在区间上单调递增，

当时，，函数在区间上单调递减，

所以在时取得极大值，也是最大值；

所以当，即时，侧面积S取得最大值，

此时等腰三角形的腰长；

答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为.