北京市怀柔区2021届高三一模数学试卷（含答案与解析）

北京市怀柔区2021届高三一模数学试卷（含答案与解析）

一、单选题

1．已知集合，则图中阴影部分的集合为（       ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点的关于实轴对称，若，则（       ）

A． B．5 C． D．3

3．在的展开式中，的系数为（       ）

A．20 B． C． D．40

4．曲线与曲线的（       ）

A．焦距相等 B．实半轴长相等

C．虚半轴长相等 D．离心率相等

5．为了得函数的图象，只需把函数的图象（       ）

A．向左平移个单位 B．向左平移单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

6．某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．“”是直线与圆相交的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

8．设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中的数值不能确定的是（       ）

A． B． C． D．

9．已知函数，且关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（       ）(取)

A．15 B．16 C．17 D．18

二、填空题

11．函数的定义域为______.

12．若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点，则C的标准方程是___________.

13．在中，，则___________.

14．若函数的一个零点为，则常数的一个取值为___________.

15．如图，在直角梯形中，，P为线段上一个动点，设，对于函数给出下列四个结论：

①当时，函数的值域为；

②，都有成立；

③，函数的最大值都等于4；

④，函数的最小值为负数.

其中所有正确结论的序号是___________.

三、解答题

16．如图，在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

17．已知函数，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的单调递增区间；

（2）在区间的取值范围.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

18．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：

包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品

（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；

（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)

19．已知函数，其中.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；

（2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围.

20．已知椭圆过点，且，若直线与椭圆C交于M，N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线交于点A，B，其中O为原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若，求k的值.

21．定义满足以下两个性质的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.

（1）若等比数列为4阶“期待数列”，求的公比；

（2）若等差数列是阶“期待数列”(.k是正整数，求的通项公式；

（3）记阶“期待数列”的前n项和为(.k是不小于2的整数)，求证：.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据维恩图分析阴影部分，利用集合的交集计算即可.

【详解】

由维恩图可知，阴影部分为集合.

故选：B.

2．B

【解析】

【分析】

根据共轭复数的性质即可求解.

【详解】

因为复数对应的点的关于实轴对称，

所以互为共轭复数，

所以，

故选：B

3．C

【解析】

【分析】

根据二项式展开式的通项求的系数.

【详解】

由题得的展开式的通项为

令5-r=2,则r=3,所以的系数为

故答案为：C

4．A

【解析】

【分析】

根据双曲线的标准方程求出即可得出结论.

【详解】

由双曲线可知，，，

由双曲线可知，

所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等.

故选：A

5．A

【解析】

【分析】

设沿横轴所在直线平移个单位得求出，即可确定平移过程.

【详解】

设的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到的图象.

∴函数平移个单位后得到函数，，即，

∴，即，取，.

故选：A.

6．C

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据直四棱柱体积公式求解.

【详解】

解：由三视图还原原几何体如图所示：

该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，则其体积为．

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解

【详解】

当时，直线为，过圆心，故直线与圆相交，

当直线与圆相交时，圆心到直线的距离，化简得，显然恒成立，不能推出，

所以“”是直线与圆相交的充分不必要条件，

故选：A

8．D

【解析】

【分析】

根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项．

【详解】

解：因为，所以，所以，

所以，，，所以

故选：D

9．B

【解析】

【分析】

当时，，当时，，由题意可得，函数与直线有两个交点，数形结合求得实数的范围．

【详解】

方程恰有两个互异的实数解，转化为与的图象有2个不同的交点，

作函数与的图象如下，

由图可知，当时，方程恰有两个互异的实数解.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，作出图象是解决问题的关键，属于中档题．

10．C

【解析】

【分析】

根据分形的变化规律，得出一条长为a线段n次分形后变为长为的折线，建立不等关系，利用对数求解即可.

【详解】

设正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，

“二次分形”后折线长度为，“n次分形”后折线长度为，

所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足，

两边同时取常用对数得：，

即得：，

解得，

故至少需要17次分形，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，“二次分形”后折线长度为，“n次分形”后折线长度为是解题的关键.

11．

【解析】

根据函数解析式，列出不等式组求解即可.

【详解】

因为函数，

所以解得，

所以函数定义域为，

故答案为：

12．

【解析】

【分析】

利用待定系数法求出抛物线方程即可；

【详解】

解：因为抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，故设抛物线方程为，又抛物线过点，所以，即，所以抛物线方程为

故答案为：

13．2

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理计算可得；

【详解】

解：因为，，所以解得或（舍去）

故答案为：2

14．

【解析】

【分析】

根据零点的概念及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】

因为函数的一个零点为，

所以，

即，

所以时，满足条件，是常数的一个取值.

故答案为：

15．②③④

【解析】

【分析】

先利用垂直建立坐标系，根据长度写点的坐标，再化简函数，利用二次函数性质依次判断四个选项的正误即得结果.

【详解】

建立如图坐标系，

根据题意，，，

故，，故，

则，，

则，

当时，，，故当时，最小值为，当时，最大值为，即值域为，①错误；

时，，②正确；

，对称轴为，

当时，即，函数在上递减，故当时，取得最大值，当时，取得最小值；

当时，，根据抛物线对称性可知，当时，函数取得最大值，当时，取得最小值.

综上可知，，函数的最大值都等于4，故③正确；

取时，取得最小值，故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于建立适当的直角坐标系得到函数，才能结合二次函数的图象性质突破难点.

16．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.

【解析】

【分析】

(1)根据四棱柱的性质可得面面平行，由面面平行的性质即可求证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直；

（3）根据平面的法向量，利用法向量的夹角公式求二面角即可.

【详解】

（1）四棱柱中，

平面,

平面,

由正方形可知，,且平面，

平面,

,平面,平面,

平面平面，

平面,

平面

（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

，

,

,

,

, 即.

（3）设平面的法向量，

,

, 即，

令，则，

，

设平面的法向量，

，

，即 ，

令，则，

，

，

即二面角的余弦值为.

【点睛】

关键点点睛：根据四棱柱的性质及条件平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解是解题的关键，属于中档题.

17．选①，（1）单调递增区间，（2）；选②，（1）单调递增区间为，（2）；（3）选③，（1）单调递增区间为，（2）.

【解析】

【分析】

选①，根据辅助角公式化简函数为，（1）根据余弦函数的图象与性质求解单调区间；（2）根据自变量的范围，利用余弦函数的图象与性质即可求解；

选②，根据二倍角的正弦公式化简得，(1)利用正弦型函数图象与性质求单调区间；(2) 根据自变量范围求出的范围，利用正弦函数的图象性质求值域；

选③，根据辅助角公式化简可得，（1）利用正弦型函数的图象与性质求其单调区间；（2）根据自变量范围求出的范围，利用正弦函数求范围即可.

【详解】

选①：

，

（1）由知，单调递增区间

（2）当时，，所以.

选②：，

（1）令, 解得，

所以的单调递增区间为

（2）当时，，

所以，

所以.

选③：，

(1)令，解得，

所以的单调递增区间为，

（2）当时，，

所以，

所以

【点睛】

关键点点睛：根据所选条件，利用辅助角公式或者二倍角的正弦公式化简函数，根据正弦型函数图象与性质或余弦函数图象与性质，确定单调性及值域，属于中档题.

18．（1）；（2）分布列见解析；（3）分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得；

（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列；

（3）依题意，即可求出的分布列，再求出数学期望，即可得解；

【详解】

解：（1）样本中一共有件产品，包装质量在克的产品有件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率

（2）依题意的可能取值为、、；

，，

故的分布列为：

（3）由（2）可得

依题意，则的可能取值为，，

，，

故的分布列为：

所以

所以

19．（1）2（2）

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，令，即可求得的值；

（2）由题可知，在上恒成立，参变分离，利用导数求最值即可求解.

【详解】

（1）由题可知，则，解得．

（2）∵在上是减函数，

∴对恒成立，所以，

令，

则由得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

故只需

故的取值范围是．

【点睛】

关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在上小于等于零恒成立，采用了参变分离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量分离的方法，是解题的关键，属于中档题．

20．（1）（2）1

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆过点及求解即可；

（2）设，表示出点的坐标，联立直线与椭圆的方程，根据为的中点，化简求解即可.

【详解】

（1）椭圆过点，且

，

椭圆C的方程为

（2）如图，

设，

，， ，

，

由得 ，

，

，

，

为的中点，

，

即，

，

，

，

解得.

【点睛】

关键点点睛：根据条件得到点为的中点，根据此条件建立相关坐标之间的关系，是解决问题的关键，注意韦达定理在解题中的应用，属于中档题.

21．（1）公比为-1；（2）时，；时，；（3）证明见详解.

【解析】

【分析】

（1）先根据新定义得到对应关系式，再结合等比数列求和公式解得公比即可；

（2）先根据新定义得到对应关系式，结合等差数列求和公式和性质得到，再利用等差数列性质求绝对值之和解得d，根据求通项公式即可；

（3）先利用新定义计算数列中所有非负项之和和所有负数项之和，再求的最大值和最小值，即证结论.

【详解】

解：（1）依题意，等比数列为4阶“期待数列”，

故数列满足①，②.

易见，若公比q为1，则①式即，不符合题意，故，

故①式即，即，故，所以的公比为-1；

（2）依题意，等差数列是阶“期待数列”，设等差数列公差为d，

则数列满足①；②.

故①式即，即，即.

若时，有，，

则②式即，

故，即，得，

所以；

若时，有，，

则②式即，

故，即，得，

所以.

综上，时，；时，；

（3）设阶“期待数列”的所有非负项之和为A，所有负数项之和为B，

依题意数列满足①；②.

即，则解得，

当所有非负数项一起构成时，最大为，即；

当所有负数项一起构成时，最小为，即.

故，所以.

【点睛】

关键点点睛：

本题解题关键是理解并利用新定义解出每一问的关系式，再结合等差数列、等比数列相关公式即突破难点.