专题5.1-4轴对称图形及其性质（测试） -简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

专题5.1-4轴对称图形及其性质

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·浙江八年级开学考试）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标不是轴对称的是（    ）

A．注意安全 B．水深危险

C．必须戴安全帽 D．注意通风

【答案】D

【详解】

解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，

选项D不是轴对称图形．

故选：D．

2．（2021·全国八年级）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是(        )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：∵为镜像显示的时间，

∴对称轴为竖直方向的直线，

∵1、0的对称数字为、；的对称数字是；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，

∴这时的时刻应是，

故选：D．

3．（2021·四川广安市·八年级期末）如图，已知与关于直线l对称，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：∵与关于直线l对称，

∴△ABC≌△A′B′C′，

∴∠A＝∠A′＝25°，

∵∠B＝110°，

∴∠C＝180°−∠B−∠A＝180°−25°−110°＝45°．

故选B．

4．（2019·安徽合肥市·七年级期末）利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片折纸，如图，将纸片沿折叠后，、两点分别落在、的位置，若，则的度数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：由折叠可知，∠D′EF=∠DEF，

∵∠AED′=46°

∵∠D′EF=∠DEF=（180°-∠AED′）=67°

又∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠DEF=67°

故应选A.

5．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．

尺规作图具体步骤如下，

第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；

第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；

第3步：画射线．射线即为所求．

下列说法正确的是（    ）

A．有最小限制，无限制 B．的长

C．的长 D．连接，则垂直平分

【答案】B

【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．

故选：B．

6．（2019·浙江杭州市·八年级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若CD=3，则点D到AB的距离为（    ）

A．4 B．3 C．2.5 D．5

【答案】B

【详解】

作DE⊥AB于E，

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=3，

故选B

7．（2020·呼和浩特市启东中学八年级月考）三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【详解】

解：如下图所示，P1、P2、P3分别是三条公路围成的三角形外角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P1到三条公路的距离相等；P2到三条公路的距离相等；P3到三条公路的距离相等；P4是三条公路围成的三角形内角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P4到三条公路的距离相等．

∴可供选择的地址有4个

故选D．

8．（2020·辽宁本溪市·七年级期末）三角形的角平分线、中线、高线（       ）

A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段

C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段

【答案】A

【详解】由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；

A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；

B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；

C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；

D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；

故选：A．

9．（2020·广东广州市·执信中学八年级期中）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（　　）

A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m

【答案】D

【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，

∴点P到OB的距离等于m，

∵点Q是OB边上的一个动点，

∴PQ≥m．

故选：D．

10．（2021·河北秦皇岛市·八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋

【答案】B

【详解】解：如图所示，

，

球最后落入的球袋是2号袋，

故选：B．

11．（2020·全国八年级期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．110° B．115° C．125° D．130°

【答案】A

【详解】

∵O到三角形三边距离相等，

∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点，

∴AO，BO，CO都是角平分线，

∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，

∴∠OBC+∠OCB＝70°，

∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，

故选：A．

12．（2021·浙江七年级月考）将一张纸第一次翻折，折痕为折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2）第三次翻折使与重合，折痕（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4），此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：第一次折叠，可以不考虑；

第二次折叠，∠APQ+∠BPQ=180°；

第三次折叠，∠CPQ=×∠APQ；

第四次折叠，∠DPQ=×∠BPQ；

∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠APQ+∠BPQ=×180°=90°．

故选：B．

13．（2020·辽宁抚顺市·八年级期末）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（     ）

A．1000m B．800m C．200m D．1800m

【答案】C

【详解】如下图

过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．

∵AD平分∠CAB，AC⊥BC

∴DE=CD=BC-BD=1000-800=200（米）

故选：C．

14．（2020·浙江七年级期中）如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：设∠CBD＝β，则∠C'BD＝β，

∵，

∴∠A'BE＝β−α，

由折叠可得，∠ABE＝∠A'BE＝β−α，

∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，

∴β−α＋β＋β＝90°，

∴β＝，

故选C．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2019·福建莆田市·八年级期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____．

【答案】MLI7639

【详解】由图分析可得题中所给的号码与“MLI7639”成轴对称，则实际号码是：MLI7639．

故答案为：MLI7639

16．（2020·泰安第十中学七年级期中）如图，在3×3正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有______．

【答案】4．

【详解】

如图所示：当在空白处1到4个数字位置涂黑时，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形．

故答案为：4．

17．（2021·广东佛山市·九年级其他模拟）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________．

【答案】674

【详解】

解：根据题意可得如图所示：

由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次，

∴，

∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）；

故答案为674．

18．（2021·全国八年级单元测试）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．

【答案】12

【详解】解：作PH⊥OB于点H，

∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，

∴PH=DP=6，

∴△OPE的面积=×OE×PH=×4×6=12，

故答案为：12．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2021·广西贵港市·八年级期末）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图，已知点在内，分别在、边上求作点和点，使的周长最小．

【答案】见解析

【详解】解：如图：即为所求，

注：①作关于的对称点；

②作关于的对称点；
③连接P1P2．
④P1P2与AB的交点就是E，P1P2与BC的交点就是F．

20．（2020·全国七年级课时练习）下列图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴．

A．  B． C． D．

【答案】图案A、B、D是轴对称图形，对称轴见解析．

【详解】

图案C不是轴对称图形，图案A、B、D都是轴对称图形，对称轴如图所示：

21．（2020·浙江杭州市·）（2016年安吉路单元考）小河AB的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸AB上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．若要求水泵站到甲、乙两村庄的距离之和最小，水泵站M应建在河岸AB上的何处？（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出作图结果）

【答案】

【详解】

根据题意画出如下图所示，图中的点即为水泵站的位置：

22．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·七年级期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．

（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；

（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；

【答案】（1）90°；（2）105°．

【详解】

解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF

∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF

∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB

∵∠AEB＝180°

∴∠MEN＝×180°＝90°

（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG

∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG

∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）

∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°

∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°

∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．

23．（2021·河北九年级一模）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．

（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示___________的点重合；

（2）为数轴上一点，沿过点且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示－3的点与表示1的点重合时，

①点所表示的数为__________；

②若数轴上的，两点也同时重合，且，求点所表示的数．

【答案】（1）3；（2）①-1；②3.5或-5.5

【详解】

解：（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示3的点重合；

故答案为：3；

（2）①∵表示－3的点与表示1的点重合，

∴点表示的数是．

②∵，点表示的数是－1，

∴点表示的数是或．

24．（2021·浙江丽水市·九年级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．

（1）求证：△ABD≌△ACD'．

（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）．

【详解】

解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

在△ABD与中，

（2）

，∠BAC＝=100°，

以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

∠DAE．

25．（2020·浙江金华市·七年级开学考试）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图①､②､③､④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：

（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米．

（2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）．

【答案】（1）21；19；15；（2）（13−x）厘米．

【详解】

解：（1）图②中BE=AB-AM-EM=26-3-2=21厘米，

图③中BF=26-3-2-2=19 厘米，

图④中BM=26-3-2-2-2-2=15厘米，

故答案为：21；19；15；

（2）因为图④为轴对称图形

所以，，

即开始折叠时点M与点A的距离是（13−x）厘米．

26．（2020·兴县教育科技局教学研究室八年级期中）已知是的平分线，点是射线上一点，点C、D分别在射线、上，连接PC、PD．

（1）发现问题

如图①，当，时，则PC与PD的数量关系是________．

（2）探究问题

如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．

【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．

【详解】

解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

故答案为：PC=PD；

（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．

∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，

∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，

在△CFP和△DEP中，

，

∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．