专题4.2-5全等三角形的性质及应用（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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专题4.2-5全等三角形的性质及应用
典例体系（本专题共72题52页）

一、知识点
1全等三角形
（1） 形状、大小相同的图形能够完全重合；
（2） 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（3） 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（4） 平移、翻折、旋转前后的图形全等；
（5） 对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；
（6） 对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；
（7） 对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；
（8） 全等表示方法：用“”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字
母写在对应的位置上）
（9） 全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等；
2三角形全等的判定
（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；
（2）三角形全等的判定：
①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SSS”）
②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）
③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）
④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）
二、考点点拨与训练
考点1：全等三角形的性质
典例：（2020·古田县第十中学初一期中）如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D=____，∠EAD=______．

【答案】40° 110°
【解析】解：△ABC中，∠C＝40°，∠B＝30°
∵△ABC≌△AED，
∴∠D＝∠C＝40°，∠E＝∠B＝30°，
∴∠EAD＝180°−∠D−∠E＝110°，
故答案为：40°，110°．
方法或规律点拨
本题用考查知识点为：全等三角形的性质及对应角的找法．书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置，也可根据此点来找全等三角形的对应关系．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中．
巩固练习
1．（2020·广东省初三一模）如图，，，，则（ ）

A．70° B．45° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠B＝∠D＝100°，
∴∠AED＝180°−40°−100°＝40°，
故选：C．
2．（2020·南通市八一中学初一月考）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的．
故选：D．
3．（2018·上海初一期末）如图，已知两个三角形全等，那么∠1的度数是（ ）

A．72°； B．60°； C．58°； D．50°．
【答案】D
【解析】根据三角形内角和可知，第一个三角形的第三个角的度数为 ，
由全等三角形的性质可知， ，
故选：D．
4．（2020·上海初三二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
【答案】D
【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．
故选：D．

5．（2020·偃师市实验中学初二月考）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝ 度．
【答案】120
【解析】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=25°，
∴∠CAE=∠O+∠D=95°，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°．
6．（2020·江苏省初二期末）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为　 　．

【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．
故答案为130°．
考点2：应用“SSS”判断三角形全等
典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知，，，求证：.

【答案】证明见解析.
【解析】
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，
∵∠3=∠BAD+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2.
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.
巩固练习
1．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
【答案】B
【解析】CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC；
又有AD=AD，
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即AD平分∠EDC；
在△ACD中，CD+AC>AD
所以ED+AC>AD.
综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30∘，题干没有此条件，B错误，
故选B.
2．（2018·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选D．
3．（2020·偃师市实验中学初二月考）用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解析】如图，是用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，连接DC、EC，

由作图过程可知：OD=OE，DC=EC，
∴在△ODC和△OEC中
，
∴△ODC≌△OEC（SSS）.
故选B.
4．（2018·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选D．
5．（2020·云南省初三二模）有一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：AC平分∠BAD．

【答案】见解析
【解析】证明：在ABC和ADC中，

∴ABC≌ADC（SSS）
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD．
6．（2020·湖北省初三其他）如图，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】证明：在与中，
,
∴；
∴，
∴，
∴．
7．（2020·江苏省初三一模）已知：如图，相交于点，过点作，垂足为．求证：．

【答案】见解析
【解析】证明：在△ABC与△BAD中，

∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠ABC＝∠BAC，
∴AO＝BO，
又∵OE⊥AB，
∴AE＝BE．
8．（2020·全国初一课时练习）如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC，

(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
【答案】（1）见解析；（2）构造全等三角形.
【解析】(1)如图,连接OE.

在△EAO和△ECO中,
所以△EAO≌△ECO(SSS).
所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).
(2) 在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形.
考点3：应用“SAS”判断三角形全等
典例：（2020·江苏省中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】解：（1）∵AE∥BF，
∴∠A=∠DBF，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
又∵AE=BF，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠F；
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠D=∠ACE=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.
方法或规律点拨
本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.
巩固练习
1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：

则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选：B．
2．（2020·山东初二期末）如图，AB∥CD，CE∥BF，A、 E、F、D在一直线上，BC与AD交于点O，且OE=OF，则图中有全等三角形的对数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：①∵CE∥BF，
∴∠OEC＝∠OFB，
又∵OE＝OF，∠COE＝∠BOF，
∴△OCE≌△OBF，
∴OC＝OB，CE＝BF；
②∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，
又∵OB＝OC，
∴△AOB≌△DOC；
③∵AB∥CD，CE∥BF，
∴∠D＝∠A，∠CED＝∠COD，
又∵CE＝BF，
∴△CDE≌△BAF.
故选B.
3．（2020·济南市长清区实验中学初一期中）如图，点E、F在BC上，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：∠A=∠D．

【答案】见详解
【解析】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D．
4．（2020·江苏中考真题）如图，，，．，与交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】（1）∵，，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又．
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故=180°-∠BFO=90°．

5．（2020·江苏中考真题）如图，已知，，．


求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
6．（2020·重庆初三）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．

（1）若∠G=29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB=AD+CD．
【答案】（1）58°；（2）详见解析
【解析】证明：（1）∵AB∥CD，∴ ∠BAG=∠G, ∠BAD=∠ADC．
∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．
∴∠ADC=∠BAD=2∠G ．
∵∠G=29°，∴∠ADC=58°．
（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．
∵∠BAG=∠G， ∴∠DAG=∠G．
∴AD=GD．
∵点F是BC的中点，∴BF=CF．
在△ABF和△GCF中，
∵
∴△ABF≌△GCF．
∴AB=GC．
∴AB=GD+CD=AD+CD．
7．（2020·福州四十中金山分校初二月考）如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点 P 在线段 AB 上以 1的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 （s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，或
【解析】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°，
在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
(2)①若△ACP≌△BPQ，
则AC= BP，AP= BQ，

解得;
②若△ACP≌△BQP，
则AC= BQ，AP= BP，

解得：
综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.
考点4：应用“ASA” 或“AAS”判断三角形全等
典例：（2020·山东省初一期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，
①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BE CF，EF |BE - AF|
（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；
（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．

【答案】（1）①=，= ②两结论依然成立，证明见解析 （2）EF=BE+AF
【解析】（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°
∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°
∴∠BCF=∠CAF
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
∴
②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA
∴∠CAF=∠BCE
∵CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
∴
（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA
∴∠B=∠ACF
∵CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
EF=EC+CF=AF+BE
方法或规律点拨
本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．
巩固练习
1．（2020·江苏初三二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，.求证：.

【答案】证明见解析．
【解析】证明：，
.
又，，
，
.
2．（2020·湖北省初三月考）如图，于点于点， 求证：．

【答案】详见解析
【解析】证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
3．（2020·重庆市育才中学初二期末）如图△ABC中，点E在AB上，连接CE，满足AC＝CE，线段CD交AB于F，连接AD．
（1）若∠DAF＝∠BCF，∠ACD＝∠BCE，求证：AD＝BE；
（2）若∠ACD＝24°，EF＝CF，求∠BAC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）52°．
【解析】解：（1），，
，
又，，
，
；
（2），
，
，
，
又，
中，．
4．（2020·浙江初一月考）△ADE中，AE=AD，∠EAD=90°．

（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD=6，试求四边形CEDB的面积．
【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；（3）18.
(1)AB=AC.
理由如下：
∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC=∠AED,∠ADB=∠ADE
∵∠AED=∠ADE
∴∠AEC=∠ADB
在△AEC和△ADB中，
∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB=AC；
(2)BE=CD且BE⊥CD.
理由如下：
∵∠EAD=∠BAC
∴∠EAB=∠DAC
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴EB=CD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°
∴∠DOE=90°
∴BE⊥CD；
(3)四边形CEDB的面积=×BE×CD= =18.
5．（2020·山东省初二期中）（1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取两点、，使得，，求证：．
（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，并使，，通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析．
【解析】（1）∵在正三角形中，，
∴
又∵
∴
在和中，

∴≌()
∴，
∴
（2）猜想：
证明：∵在正三角形中，
∴
∵
∴
∴
在和中

∴≌()
∴，
∴
考点5：应用“HL”判断三角形全等
典例：（2020·辽宁初三一模）如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF＋EF＝DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；
【解析】（1）如图①所示，连接BF，

∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）如图②所示：

延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）如图③所示：

连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
方法或规律点拨
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东初二期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=

A．40° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【解析】解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选B．
2．（2020·甘肃靖远五中初二期中）如图，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】添加的条件是AB＝CD；理由如下:
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
∵，
∴，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∴Rt△ABE＝R△DCF(HL)
所以A选项是正确的.
3．（2020·山西省初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，在AC上取一点E使EC=BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF=AB，若EF=12cm，则AE的长为（ ）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】C
【解析】∵EF⊥AC，
∴∠CEF=90°，
在Rt△ABC和Rt△FCE中，
∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL），
∴AC=FE=12cm，
∵EC=BC=5cm，
∴AE=AC-EC=12-5=7cm，
故选：C．
4．（2019·陕西省陕西师大附中初一期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．

【答案】75°
【解析】解：延长AE交DC边于点F，如图：

∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
故答案为：75°．
5．（2020·山西初三二模）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？并说明理由。

【答案】∠ABC+∠DFE=90°，理由见解析．
【解析】解：∠ABC+∠DFE=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
6．（2020·云南初三一模）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：AB＝CD．

【答案】见解析
【解析】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝DC．
7．（2020·河南省实验中学初二月考）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【解析】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，

∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
8．（2019·湖北初二期中）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．

求证：（1）△ABC≌△DEF ；（2）AB∥DE．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF ∴∠ACB=∠DFE=90°
又∵BC=EF AC=DF
∴△ABC≌△DEF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠B=∠DEF
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
考点6：基本尺规作图
典例：（2020·北京初三二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．

已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线，使直线直线．
作法：如图，

①在直线上任取一点，作射线；
②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依据1)．
，
．
，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．
【答案】（1）作图见解析；（2）等边对等角；同位角相等，两直线平行
【解析】解：（1）根据题中画图过程可得：
如图，PQ即为所作图形；

（2）由作图可知平分，
．
又，
．（等边对等角）．
，
．
，
∴直线直线．（同位角相等，两直线平行）．
方法或规律点拨
本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.
巩固练习
1．（2020·陕西省初一月考）已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )

A．以点C为圆心，OD的长为半径的弧
B．以点C为圆心，OM的长为半径的弧
C．以点E为圆心，DM的长为半径的弧
D．以点E为圆心，CE的长为半径的弧
【答案】C
【解析】根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选C．
2．（2020·山东省初一期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是（ ）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解析】
解：连接NE，
根据做法可知：CE＝OD，EN＝DM，CN＝OM
∴△CEN≌△ODM（SSS），
∴∠ECN＝∠DOM
即∠BCN＝∠AOC
故选：B．
3．（2020·辽宁省初三二模）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；
④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；
故选：D．
4．（2020·河北省初三一模） 下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
【答案】C
【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
5．（2020·河北省初三一模）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）

① ② ③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
6．（2020·内蒙古自治区中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是(　　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，
而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故选：B．
7．（2020·河北省初三二模）图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：

（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；
（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；
（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；
（3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．
故选C．
8．（2019·河北省金华中学初二期中）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）

A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【答案】C
【解析】解：观察的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,
故已知条件为：两角及夹边，
故选C.
9．（2020·北京垂杨柳中学初一期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知：∠O，
求作：一个角，使它等于∠O.
作法：如图：

①在∠O的两边上分别任取一点A，B；
②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为
圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
③连结AC,BC ，所以∠C即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结AB，
∵OA=AC，OB= ， ，
∴≌（ ）（填推理依据）．
∴∠C=∠O．
【答案】（1）见解析；（2）BC，AB= AB，边边边
【解析】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）BC，AB= AB，边边边
考点7：利用尺规作图作三角形
典例：（2019·北京市第五十四中学初二期中）数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a、b，利用尺规作图作Rt△ABC，使线段a、b分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：
请你回答下列问题：
（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是_____；（只填序号）
①以B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D．
②画直线BF．
③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F．
④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，联结AC．
⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB=a
（2）∠ABC=90°的理由是_____．

【答案】（1）⑤①③②④；（2）到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．
【解析】解：（1）根据尺规作图的方法可知作图的顺序为：⑤①③②④，
故答案为⑤①③②④；
（2）根据作图方法可知BC是线段AD的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可知∠ABC=90°，
故∠ABC=90°的理由是：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．
方法或规律点拨
本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·广东省初一期末）尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC，使其两条直角边分别等于已知线段m，n．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】解：如图，Rt△ABC即为所求，

2．（2020·山东省初三二模）如图，已知：点P和直线BC．
求作：等腰直角三角形MPQ，是，点M落在BC上．

【答案】见解析
【解析】解：作PF⊥BC交BC于点E，以点E为圆心EP为半径画弧交BC于M、Q，连接PM、PQ，△PMQ即为所求．

3．（2020·山东省初三期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝c，AB＝2c．

【答案】见解析
【解析】如图所示，Rt△ABC即为所求．

4．（2019·宝鸡高新第一中学初一期末）已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B=∠α，AB=2a，BC=b．(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)

【答案】见解析
【解析】解：如图，△ABC为所作．

5．（2020·山东省青岛三十九中初一期中）（用直尺和圆规作图）
已知：线段，求作：，使.

【答案】见解析
【解析】作法：如图，

①以点O为圆心，长为半径画弧，分别交∠O的两边于点E，F；
②画一条射线AP，以点A为圆心，长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
6．（2019·三明市第十二中学初一月考）如图，已知△ABC，用直尺与圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC．（不要写作法，保留作图痕迹．）

【答案】见解析
【解析】
图形如下：

7．（2020·山东省青岛第二十六中学初一期中）已知：线段，，求作：，使，．

【答案】答案见解析
【解析】如图所示：△ABC即为所求.

8．（2020·青岛超银中学初三月考）已知：线段，，求作，，使，，．

【答案】见解析．
【解析】解：任意画一条直线，
任取一点，过作的垂线，
以为圆心，为半径，画弧，交直线于点，
以为圆心，以为半径画弧，交直线于点，
连接、、三点即可，，,
∴即为所求．

考点8：利用全等三角形性质解决问题
典例：（2020·福建省南安国光中学九年级月考）如图，已知△ABC．
(1)利用尺规作图，在给出的图中作AC的延长线CE，使CE=CA，在线段AE与点B相异的一侧作∠CEM=∠A；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中图中，延长BC交EM于点D，求证：△ABC≌△EDC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】
解：（1）如图所示，∠CEM即为所求；

（2）证明：在和中，，
∴≌（ASA）．
方法或规律点拨
本题考查了基本作图及全等三角形的判定，掌握基本尺规作图的作法，熟练应用全等三角形的判定定理是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国七年级课时练习）如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？

【答案】详见解析
【详解】

解:小军的作法有道理,理由如下:
过点B作BG∥AC交EF的延长线于点G,连接BE
∵ 点E、F分别是AC、BC的中点
∴ AE=CE, BF=CF
∵ BG∥AC
∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (两直线平行,内错角相等)
∵
∴ △ECF≌△GBF (两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)
∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的对应边相等)
∵ EF=GF ,EF+GF=EG
∴ EG=2EF
∵ CE=BG, AE=CE
∴ AE=BG
∵ 在△AEB和△GBE中,
∴ △AEB≌△GBE (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)
∴ AB=GE (全等三角形的对应边相等)
∵ GE=2EF, AB=GE
∴ AB=2EF
故小军的做法是有道理的；
取直接能到达A，B两点的C点，延长BC，AC，使，，
连接DE，
在△ABC和△EDC中,

则，所以．

2．（2020·山东东营市·）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．

(1)DE=AB吗？请说明理由；
(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？
【答案】（1）DE=AB．理由见解析；（2）AB =8m．
【详解】
（1）
解：由题意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE=AB．
（2）由（1）知AB =DE=8m．
3．（2020·河北唐山市·八年级期中）已知：如图，，点是延长线上的一点，且.

求作：，使，且点与点在同侧.（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
解：如图，即为所求作的三角形．

（作法不唯一）
4．（2021·广东九年级专题练习）已知：是的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的周长．

【答案】(1)见解析；（2）8
【详解】
解：（1）如图，为所作；

（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
5．（2021·江苏省泰兴市河失初级中学八年级月考）如图所示，已知△ABC.
（1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线；
（要求：不写作法，但需要保留画图痕迹）
（2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明.

【答案】（1）见解析 （2）BE=CF.
【详解】解：（1）


（2）BE=CF.
连接PB和PC
∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE=PF.
∵l2垂直平分BC边,
∴PC=PB.
由HL证明△PFC≌△PEB
∴BE=CF.
7．（2020·重庆市万州南京中学八年级期中）如图，已知△ABC≌△EBD，

（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
【答案】（1）2；（2）78°．
【详解】（1）∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=6,
∵AD=AB-BD，BD=4，

∴AD=6-4=2；
（2）∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，
∴∠ACE=30°+48°
=78°．
8．（2021·山东聊城市·八年级期末）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，．若的长为5，求的长．

【答案】15．
【详解】解：∵，且，，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠BAE=∠ACF，∠ABE=∠CAF．
在和中，
∴.
∴
∵，的长为5，
∴，，
∴．
9．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，点A、F、C、D在一条直线上，．

（1）求证：；
（2）求证：．
9．（2021·广西北海市·八年级期末）某中学八年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘两端的距离．某同学设计了如下测量方案：先取一个可直接到达池塘的两端的点，的点，连接，，分别延长至点，至点，使得，．再测出的长度即可知道之间的距离．他的方案可行吗？请说明理由．

【答案】可行；理由见解析
【详解】解：可行．理由如下：
在和中，

．
10．（2021·全国八年级）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．

【答案】点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等，理由见解析
【详解】解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，
∵△PEC与△QFC全等，
∴斜边CP＝CQ，
有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，

CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，
∴6﹣t＝8﹣3t，
∴t＝1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，

∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，
∴t＝3.5；
③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；

理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，

∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，
∴t﹣6＝6
∴t＝12
∵t＜14
∴t＝12符合题意
答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．
11．（2020·山西大同市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC外部，且AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为D、E．

（1）求证：△BEC≌△CDA；
（2）若AD＝1.7cm，DE＝2.5cm，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）4.2cm
【详解】
解：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠D＝90°，
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△BEC≌△CDA；
（2）∵△BEC≌△CDA
∴AD＝CE＝1.7cm，
∴BE＝CD＝CE＋DE＝1.7＋2.5＝4.2cm．
12．（2021·陕西）如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．

【答案】见解析
【详解】
解：在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长．
在△ABC和△ECD中

∴△ABC≌△ECD（ASA）
∴AB=DE．
13．（2021·陕西）如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．
要求：（1）画出设计的测量示意图；
（2）写出测量方案的理由．

【答案】（1）画图见解析；（2）理由见解析．
【详解】解：（1）如图所示；

分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，
使其相交于点C，
使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，
测得PQ即可得出AB的长度．
（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，
又∠PCQ=∠BCA，
∴在△PCQ与△BCA中，

∴△PCQ≌△BCA（SAS），
∴AB=PQ．
14．（2021·湖南怀化市·）明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

【答案】两堵木墙之间的距离为30cm．
【详解】
解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．