专题5.1-4轴对称图形及其性质（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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专题5.1-4轴对称图形及其性质
典例体系（本专题共47题32页）

一、知识点
1、轴对称
（1）.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；
两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
（2）.两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；
轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；
（3）.轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。
（4）.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（5）.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对称的两个图形是全等的；
（6）.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
（7）.垂直平分线的尺规作图
2、作轴对称图形
（1）.作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；（注意取特殊点）
（2）.点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为：（x , -y）;点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为：（-x , y）;
二、考点点拨与训练
考点1：轴对称图形的识别
典例：（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：A选项能够关于一条直线对称，是轴对称图形，故A正确；
B选项不是轴对称图形，故B错误；
C选项不是轴对称图形，故C错误；
D选项不是轴对称图形，故D错误；
故选：A.
方法或规律点拨
本题考查了轴对称图形，理解其概念是判断轴对称图形的关键.
巩固练习
1．（2020·福建宁德初一期末）下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：第一个图形不是轴对称图形，
第二、三、四个图形是轴对称图形，
故选：A．
2．（2020·山东济南初一期末）汉字书法博大精深，下列汉字“行”的不同书写字体中，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（2020·河南郏县初一期末）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
4．（2020·山东槐荫初一期末）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
5．（2020·河南罗山初二期末）下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，
C中的图形是轴对称图形，
故选：C．
6．（2020·全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强，中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误.
故选B．
考点2：线段垂直平分线的性质
典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．

【答案】（1）5；（2）4
【解析】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．

方法或规律点拨
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（ ）

A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm
【答案】C
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC=17cm，
∴AD+DC=BD+DC=BC=12cm．
故选：C．
2．（2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】C
【解析】∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．
又∵BC＝8，
∴AC＝10（cm）．
故选：C．
3．（2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝_____．

【答案】1：3
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝S△BDE，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S△BDE＝S△BCE，
∴S△AED：S△ABC＝1：3，
故答案为：1：3．
4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.

【答案】3
【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是8cm，
∴BN+NC+BC=8（cm），
∴AN+NC+BC=8（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=8（cm），
又∵AC=5cm，
∴BC=8﹣5=3（cm）．
故答案为3．
5．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为 AB，AC 中点， 且 DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．

【答案】36
【解析】∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE＋∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC−（∠DAE＋∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
6．（2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.

【答案】（1）20°；（2）22.
【解析】解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,
∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°-40°=20°.
（2）∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，
∴△ABD的周长为22.
考点3：线段垂直平分线的判定
典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【答案】（1）65°（2）证明见解析
【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
方法或规律点拨
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（　 　）

A．△ABC三边的中线的交点上 B．△ABC三内角平分线的交点上
C．△ABC三内高线的交点上 D．△ABC三边垂直平分线的交点上
【答案】D
【解析】解：在三角形内，要找一点到三角形各顶点距离相等，只能是三边垂直平分线的交点上；
A．中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；
B．角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意；
D．△ABC三边垂直平分线的交点上，符合题意．
故选D．
2．（2020·湖北宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．

A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
【答案】A
【解析】
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
3．（2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：
①AD是∠BAC的平分线；
②CD是△ADC的高；
③点D在AB的垂直平分线上；
④∠ADC=61°．
其中正确的有（ ）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，
∴CD是△ADC的高，故②正确；
∵∠C=90°，∠B=32°，
∴∠CAB=58°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAB=29°，
∴AD≠BD，
∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；
∵∠CAD=29°，∠C=90°，
∴∠CDA=61°，故④正确；
共有3个正确，
故选：C．
4．（2019·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵
∴
∵BE平分
∴
∴
∴
∴，则①正确
∵
∴点E在线段BC的垂直平分线上，则②正确
∵
∴
∵
∴
∴，则③正确
∵
∴，则④错误
综上，正确的个数为3个
故选：B．
5．（2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；
（3）连接FG，CG．作射线OG．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°
C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG
【答案】D
【解析】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，
∴△OCF≌△OGF（SSS），
∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；
若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，
∴∠COG＝60°，
∴∠AOB＝∠COG＝30°，故B选项正确；
∵OC＝OE，FC＝FG，
∴OF垂直平分CG，故C选项正确；
∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；
故选：D．
6．（2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（ ）

A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定
【答案】D
【解析】因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系．
故选：D．
7．（2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。

【答案】见解析
【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
8．（2020·全国初二课时练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.

【答案】见解析
【解析】在Rt△AED和Rt△AFD中，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
又∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF．
9．（2020·北京朝阳初二期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【解析】（1）补全图形，如图1所示

（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短
故B,D之间直线最短，点P即为所求．

②证明：连接DE，DF．如图3所示

∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
考点4：角平分线性质定理及其应用
典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD

（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代数式表示)．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC的面积．
【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9
【解析】
解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；

（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；

（3）∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案为：9．

方法或规律点拨
本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
巩固练习
1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）

A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】解：在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝FG
∴CE+EF＝CE+EG
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度
CG＝

故选D．
2．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB
【答案】C
【解析】解：∵OP平分，，
∴，选项A正确；
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOPRt△BOP
∴，OA=OB，选项D正确；
∴PO平分∠APB，选项B正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项C错误．
故选：C．
3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 （ ）

A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝AB×DE＝×15×4＝30，
故选：B．

4．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）

A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
【答案】D
【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，
∴该超市是△ABC的内心，
∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．
故选：D．
5．（2020·河南省初三二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：C．
6．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　 　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
7．（2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
【答案】B
【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
8．（2019·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．

∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM=DN，
∴S△ABD：S△ADC=BD：DC=•AB•DN：•AC•DM=AB：AC=2：3，
设△ABC的面积为S．则S△ADC=S，S△BEC=S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴S-S=1，
∴S=10，
故选C．
9．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点I为△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为__________

【答案】2
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，BC=8，CA=6，AB=10，

∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，
∴IE=IF=ID，
设IE=x，
∵S△ABC=S△IAB+S△IAC+S△ICB，
∴×6×8=IF×10+IE×6+ID×8，
∴5x+3x+4x=24，
∴x=2，
∴点I到AB的距离等于2．
故答案为：2.
10．（2019·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到BC的距离_______．

【答案】4
【解析】如图，过点M作ME⊥AD于E，

∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴，
∴ME=4，
即点M到AD的距离为4．
故答案为：4．
11．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，的三边 的长分别为，其三条角平分线交于点，则=______．

【答案】
【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）
=AB：BC：AC=40：50：60=．
故答案为：．
12．（2019·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．

【答案】3
【解析】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=21，AB=6，BC=8，
∴×6×DE+×8×DF=21，
即7DE=21，
∴DE=3.
故答案为：3.
13．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
（1）求证：CF=EB．
（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ DC=DE，
∵ BD=DF，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB；
（2）由（1）知CF=EB=1，
∴AC=AF+FC=3，
又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE=3，
∴AB=AE+EB=3+1=4．
14．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知是的平分线，点是射线上一点，点C、D分别在射线、上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当，时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．

【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．
【解析】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
考点5：角平分线性质定理的逆定理及其应用
典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的中垂线DE交于点E，过点E作AC边的垂线，垂足为N，过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.
(1)求证：BM=CN；
(2)若，AB=2，AC=8，求BM的长.

【答案】(1)证明见解析；（2）3.
【解析】证明：连接BE，CE，如图，

∴DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，
在Rt△BME和Rt△CNE中，
BE＝CEEM＝EN，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴BM=CN
(2)由（1）得：EM=EN，
在Rt△AME和Rt△ANE中，
AE＝AEEM＝EN，
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL），
∴AM=AN，又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN
∴AB+BM=AC-CN
∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN
∴BM=CN =3
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用．
巩固练习
1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解析】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
2．（2020·湖北省中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
3．（2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则__________．

【答案】2cm
【解析】解：连接、、，如图，

点为的三条角平分线的交点，垂直，，，
，
设，则，
，
，解得，
即的长为．
故答案为：．
4．（2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．

【答案】证明见解析．
【解析】证明：连接BE，

∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．
5．（2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.

【答案】详见解析
【解析】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
6．（2019·云龙县第三中学初二期中）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．
求证：（1）∠FAD=∠EAD；
（2）BD=CD．

【答案】（1）证明见解析；证明见解析.
【解析】证明：(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠EAD；
(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE，
即∠ADB=∠ADC，
在△ABD≌△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD.
7．（2018·江苏省初二期中）已知：如图中，，，垂足分别为F、E，交于点D，，求证：D点在的平分线上．

【答案】证明见解析
【解析】
证明：连接AD，

∵，，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴D点在的平分线上．