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江苏版高考物理总复习第二章的相互作用第2讲力的合成与分解
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第2讲 力的合成与分解
一、力的合成
1.合力与分力
(1)定义:如果一个力① 产生的效果 跟几个力共同作用产生的效果相同,这一个力就叫那几个力的② 合力 ,那几个力就叫这个力的③ 分力 。
(2)关系:合力和分力是一种④ 等效替代 关系。
2.共点力
作用在物体的同一点,或作用线的⑤ 延长线 交于一点的几个力。如图均为共点力。
3.力的合成
(1)定义:求几个力的⑥ 合力 的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则:求互成角度的⑦ 两个力 的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作⑧ 平行四边形 ,这两个邻边之间的对角线就表示合力的⑨ 大小 和⑩ 方向 。如图甲所示。
②三角形定则:把两个矢量 首尾相连 从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
二、力的分解
1.定义:求一个力的 分力 的过程。力的分解是 力的合成 的逆运算。
2.遵循的原则: 平行四边形 定则或三角形定则。
三、矢量和标量
1.矢量:既有大小又有 方向 的物理量,叠加时遵循 平行四边形 定则,如速度、力等。
2.标量:只有大小没有 方向 的物理量,求和时按 代数 法则相加,如路程、时间等。
1.判断下列说法对错。
(1)两个分力大小一定时,两分力方向间的夹角θ越大,合力越小。 ( √ )
(2)合力一定时,两等大分力间的夹角θ越大,两分力越大。 ( √ )
(3)力的分解必须按效果进行分解。 ( ✕ )
(4)位移、速度、加速度、力和时间都是矢量。 ( ✕ )
(5)两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。 ( ✕ )
(6)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。 ( ✕ )
2.(人教版必修1·P64·T2改编)有两个力,它们的合力为0。现在把其中一个向东6N的力改为向南(大小不变),它们的合力大小为 ( )
A.6N B.62N C.12N D.0
答案 B
3.(人教版必修1·P66·T2改编)一个竖直向下的180N的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上并等于240N,则另一个分力的大小为 ( )
A.60N B.240N
C.300N D.420N
答案 C
考点一 力的合成
1.共点力合成的常用方法
(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法:几种特殊情况的共点力的合成。
类 型
作 图
合力的计算
互相垂直
F=F12+F22
tanθ=F1F2
两力等大,夹角为θ
F=2F1cosθ2
F与F1夹角为θ2
两力等大且
夹角为120°
合力与分力等大
(3)力的三角形定则:将表示两个力的线段保持原来的方向依次首尾相接,从第一个力的起点,到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图所示。
2.合力大小的范围
(1)两个共点力的合成:|F1-F2|≤F≤F1+F2。两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两个力共线反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两力共线同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合成。
①三个力共线且同向时,其合力最大为F=F1+F2+F3;
②以这三个力的大小为边,如果能组成封闭的三角形,则其合力最小值为零,若不能组成封闭的三角形,则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。
3.多个共点力的合成方法:依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力,再求这个合力与第三个力的合力,依次类推,求完为止。
例1 如图所示是剪式千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°,则下列判断正确的是 ( )
A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105N
C.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将减小
审题关键 (1)两个分力大小相等且夹角为120°时,合力与分力的大小关系如何?
提示:合力大小等于分力大小
(2)当合力一定时,夹角越小,则分力 。
提示:越小
答案 D 千斤顶受到的压力大小等于两臂受到的压力的合力,由于夹角θ=120°,所以两臂受到的压力大小均为1.0×105N,A错误;由牛顿第三定律可知,千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105N,B错误;若继续摇动把手,两臂间的夹角减小,而合力不变,故两分力减小,即两臂受到的压力减小,C错误,D正确。
解题感悟
1.合力与分力是一种等效替代关系,不可同时作为物体所受的力。
2.矢量是既有大小又有方向的物理量,但既有大小又有方向的物理量并不一定是矢量。如电流,有大小又有方向,但其运算法则满足算术法则,是标量。
3.解题中常用到的二级结论:
(1)两个力的合力的大小范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)两个分力F1和F2的合力为F,若已知合力(或一个分力)的大小和方向,又知另一个分力(或合力)的方向,则第三个力与已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值。
1.[两个力的合力]如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π),下列说法中正确的是 ( )
A.合力大小的变化范围是0≤F≤14N
B.合力大小的变化范围是2N≤F≤10N
C.这两个分力的大小分别为6N和8N
D.这两个分力的大小分别为2N和8N
答案 C
2.[多个力的合力]一物体位于光滑水平面上,同时受到三个水平共点力F1、F2和F3的作用,其大小分别为F1=42N、F2=28N、F3=20N,且F1的方向指向正北,下列说法中错误的是 ( )
A.这三个力的合力可能为零
B.F1、F2两个力的合力大小可能为20N
C.若物体处于匀速直线运动状态,则F2、F3的合力大小为48N,方向指向正南
D.若物体处于静止状态,则F2、F3的合力大小为42N,方向指向正南
答案 C
考点二 力的分解
考向一 力的分解的两种方案
1.按力的作用效果分解(思路图)
2.正交分解法
(1)定义:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点,在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上);在动力学中,往往以加速度方向所在直线和垂直加速度方向所在直线为坐标轴建立坐标系。
(3)方法:物体受到多个力F1、F2、F3…作用,求合力F时,可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…
y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
合力大小F=Fx2+Fy2
合力方向:与x轴夹角为θ,则tanθ=FyFx。
例2 如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物,在绳上距a端l2的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量之比m1∶m2为 ( )
A.5∶1 B.2∶1 C.5∶2 D.2∶1
答案 C 解法一 力的效果分解法
钩码对绳圈的拉力F等于钩码的重力m2g,将F沿ac和bc方向分解,两个分力分别为Fa、Fb,如图甲所示,其中Fb=m1g,由力的矢量三角形可得cosθ=FFb=m2gm1g,又由几何关系得cosθ=ll2+l22,联立解得m1∶m2=5∶2。
甲
解法二 正交分解法
绳圈受到Fa、Fb和钩码的拉力F三个力作用,如图乙所示,将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解,由竖直方向受力平衡得m1gcosθ=m2g;由几何关系得cosθ=ll2+l22,联立解得m1∶m2=5∶2。
乙
解题感悟
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法,一般情况下,物体只受三个力的情形下,力的效果分解法、合成法解题较为简单,在三角形中找几何关系,利用几何关系或三角形相似求解;而物体受三个以上力的情况多用正交分解法,但也要视题目具体情况而定。
1.[正交分解]如图所示,质量为m的木块在推力F作用下,在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ,那么木块受到的滑动摩擦力为 ( )
A.μmg B.μ(mg+Fsinθ)
C.μ(mg-Fsinθ) D.Fsinθ
答案 B
2.[作用效果分解](2019课标Ⅲ,16,6分)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件,为使工件保持固定,将其置于两光滑斜面之间,如图所示,两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上,倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时,圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2,则 ( )
A.F1=33mg,F2=32mg B.F1=32mg,F2=33mg
C.F1=12mg,F2=32mg D.F1=32mg,F2=12mg
答案 D 以工件为研究对象,受力分析如图所示,重力与F1、F2的合力等大反向,根据共点力平衡条件得F1mg=cos30°,F2mg=cos60°,则F1=32mg,F2=12mg,故只有D选项正确。
考向二 力的分解的唯一性和多解性及极值问题
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的方向
有唯一解
已知合力与两个分力的大小
在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向
有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向
在0<θ<90°时有三种情况:
①当F1=Fsinθ或F1>F时,有一组解
②当F1
例3 已知力F的一个分力F1跟F成30°角,大小未知,另一个分力F2的大小为33F,方向未知,则F1的大小可能是 ( )
A.33F B.32F
C.34F D.3F
答案 A 如图所示,因F2=33F>Fsin30°,故F1的大小有两种可能情况,有ΔF=F22-(Fsin30°)2=36F,则F1的大小分别为Fcos30°-ΔF和Fcos30°+ΔF,即F1的大小分别为33F和233F,A正确。
考向三 力的合成与分解的应用——绳上的“死结”和“活结”模型
“死结”模型
“活结”模型
“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线
例4 如图甲所示,细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体,∠ACB=30°;图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向的夹角为30°,在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)。重力加速度为g。求:
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比;
(2)轻杆BC对C端的支持力;
(3)轻杆HG对G端的支持力。
答案 (1)M12M2 (2)M1g,方向与水平方向成30°指向右上方 (3)3M2g,方向水平向右
解题感悟
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
(2)如果题目搭配杆出现,一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即动杆,“活结”搭配无转轴的杆即定杆。
1.[绳的“活结”模型]如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角α=60°。两小球的质量比m2m1为 ( )
A.33 B.23 C.32 D.22
答案 A 如图所示,由FN与FT水平方向合力为零可知,FN=FT;竖直方向有2FTcos30°=m1g,又FT=m2g,从而得2m2g×32=m1g,解得m2m1=33。
2.[绳的“死结”与“活结”综合模型]如图所示,A、B都是重物,A被绕过小滑轮P的细线所悬挂,B放在粗糙的水平桌面上;小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点;O'是三根线的结点,bO'水平拉着重物B,cO'沿竖直方向拉着弹簧;弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略,整个装置处于静止状态,g取10m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是203N,则下列说法中错误的是 ( )
A.弹簧的弹力为10N
B.重物A的质量为2kg
C.桌面对重物B的摩擦力为103N
D.OP与竖直方向的夹角为60°
答案 D O'点是三根线的结点,属于“死结”,而小滑轮重力及与细线间的摩擦力可忽略,故P处为“活结”。对P受力分析,由平衡条件得mAg=FO'a,FOP=2FO'acos30°,解得FO'a=20N,mA=2kg,B正确;OP的方向沿细线张角的角平分线方向,故OP与竖直方向间夹角为30°,D错误。对O'受力分析,由平衡条件得F弹=FO'asin30°,FO'b=FO'a·cos30°,对重物B有fB=FO'b,联立解得F弹=10N,fB=103N,A、C均正确。
A组 基础达标
1.(2020江苏苏中三市3月调研)帆船航行时,遇到侧风需要调整帆面至合适的位置,保证船能有足够的动力前进。一帆船航行时的俯视图,如图所示,风向与船航行方向垂直,关于帆面的a、b、c、d四个位置,可能正确的是 ( )
A.a B.b C.c D.d
答案 B 风对帆船的作用力垂直帆船,则由力的平行四边形定则可知,只有b的情况下,其中的一个分力沿着船的前进方向,如图所示,故B正确,A、C、D错误。
2.(2020江苏启东高三阶段调研)如图所示,一木箱放在水平面上,木箱质量为M,人的质量为m,人站在木箱里用力F向上推木箱,则下列说法正确的是 ( )
A.木箱底对人支持力大小为mg
B.人对木箱作用力的合力大小为mg+F
C.地面对木箱的支持力大小为Mg+mg
D.木箱对地面的压力大小为Mg+mg+F
答案 C 对人受力分析可知,人受到竖直向下的重力、箱顶对人竖直向下的作用力和箱底对人竖直向上的作用力,三力平衡,结合牛顿第三定律可知,木箱对人的支持力大小为mg+F,A错误;根据牛顿第三定律可知人对木箱的作用力与木箱对人的作用力等大反向,又因为木箱对人的作用力与人的重力等大反向,所以人对木箱作用力的合力大小为mg,B错误;对人和木箱整体受力分析可知,地面对木箱的支持力与木箱和人的重力等大反向,所以地面对木箱的支持力大小为Mg+mg,C正确;根据牛顿第三定律可知木箱对地面的压力与地面对木箱的支持力等大反向,所以木箱对地面的压力大小为Mg+mg,D错误。
3.我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗,如图所示,质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上,OA比OB长,O为结点。重力加速度大小为g,设OA、OB对O点的拉力分别为FA、FB,轻绳能够承受足够大的拉力,则下面说法中错误的是 ( )
A.FA小于FB
B.FA、FB的合力大于mg
C.调节悬点A的位置,可使FA、FB都大于mg
D.换质量更大的灯笼,FB的增加量比FA的增加量大
答案 B 对结点O受力分析,画出力的示意图如图,由图可知,FA小于FB,FA、FB的合力等于mg,选项A正确,B错误;调节悬点A的位置,当∠AOB大于某一值时,FA、FB都大于mg,选项C正确;换质量更大的灯笼,则重力mg增大,FB的增加量比FA的增加量大,选项D正确。
4.如图所示,甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶,已知甲的拉力大小为800N,方向与航向夹角为30°,乙的拉力大小为400N,方向与航向夹角为60°,要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶,则丙用力最小为 ( )
A.与F甲垂直,大小为400N
B.与F乙垂直,大小为2003N
C.与河岸垂直,大小约为746N
D.与河岸垂直,大小为400N
答案 C 甲、乙两人的拉力大小和方向一定,其合力为如图所示的F,要保持小船在河流中间沿题图所示虚线方向直线行驶,F与F丙的合力必沿题图中虚线方向,F丙与题图中虚线垂直时值最小,由图可知,F丙min=F乙sin60°+F甲sin30°=2003N+400N≈746N,C项正确。
5.如图所示,一只蜗牛正在葡萄枝上休息(静止),若葡萄枝的倾角为α,则葡萄枝对重为G的蜗牛的作用力大小为 ( )
A.Gsinα B.Gcosα
C.G D.小于G
答案 C
6.(2020安徽定远模拟)如图所示,一足够长的斜面体静置于粗糙水平地面上,一小物块沿着斜面体匀速下滑,现对小物块施加一水平向右的恒力F,当物块运动到最低点之前,下列说法正确的是 ( )
A.物块与斜面体间的弹力不变
B.物块与斜面体间的摩擦力先增大后减小
C.斜面体与地面间的弹力不变
D.斜面体与地面间的摩擦力始终为0
答案 D 设斜面的倾角为α,不加推力F时,物块匀速下滑,受重力、支持力和摩擦力,根据共点力平衡条件,支持力N=mgcosα,摩擦力f=mgsinα,而f=μN,解得μ=tanα;对物块施加一水平向右的恒力F后,支持力N'=mgcosα+Fsinα,变大,滑动摩擦力f'=μN',也变大,故A、B错误。不加推力F时,根据平衡条件,物块受的支持力和摩擦力的合力竖直向上,故根据牛顿第三定律,物块对斜面体的压力和摩擦力的合力竖直向下,故斜面体相对地面没有滑动趋势,故斜面体不受摩擦力;加上水平推力后,物块对斜面体的摩擦力和压力同比例增加,其合力方向依旧是竖直向上(大小变大,方向不变);同理,根据牛顿第三定律,物块对斜面体的压力和摩擦力的合力依旧是竖直向下(大小变大,方向不变),故斜面体相对地面仍然没有滑动趋势,故斜面体仍然不受摩擦力,但对地面压力变大了,故C错误,D正确。
7.小明想推动家里的衣橱,但使出了很大的力气也推不动,他便想了个妙招,如图所示,用A、B两块木板,搭成一个底角较小的人字形架,然后往中央一站,衣橱居然被推动了。下列说法中正确的是 ( )
A.这是不可能的,因为小明根本没有用力去推衣橱
B.这是不可能的,因为无论如何小明的力气也没那么大
C.这有可能,A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D.这有可能,但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
答案 C
8.(2020宁夏银川模拟)如图所示,战士在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练,设战士做匀速直线运动,运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ、所构成的平面与水平面间的夹角恒为α,轮胎重为G,地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为f,则每根绳的拉力大小为 ( )
A.f2cosθ2·cosα B.f2sinθ·sinα
C.f2cosθ2·sinα D.f 2+G22cosθ2·cosα
答案 A 设每根绳子的拉力为T,则两根绳子拉力的合力为2Tcosθ2;在水平方向上,有f=2Tcosθ2· cosα,解得T=f2cosθ2·cosα,故选A。
9.(2020陕西延安质检)如图所示,不可伸长的轻绳一端固定于墙上O点,拉力T通过一轻质定滑轮和轻质动滑轮作用于绳另一端,则质量为m的重物在拉力T作用下缓慢上升的过程中,拉力T(不计一切摩擦) ( )
A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定
答案 A 对重物和轻质动滑轮进行受力分析,如图所示,有Tcosα=12mg,在重物上升过程中,α增大,cosα减小,故T增大,A正确。
10.如图所示,一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上,一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起使绳与竖直方向的夹角为θ=30°,且绳绷紧,则练功队员对沙袋施加的作用力大小为(重力加速度为g) ( )
A.mg2 B.32mg C.33mg D.3mg
答案 A 建立如图所示直角坐标系,对沙袋进行受力分析。将F和FT正交分解,有
Fcos30°-FTsin30°=0
FTcos30°+Fsin30°-mg=0
联立解得F=mg2,故选项A正确。
11.如图所示,轻细绳CO与竖直方向成30°角,A、B两物体用跨过轻质光滑滑轮(可看成质点)的轻细绳相连,整个系统保持静止。已知物体B的重力mBg=100N,地面对物体B的支持力FN=80N。求:
(1)物体A的重力大小;
(2)物体B与地面间的摩擦力大小;
(3)轻细绳CO受到的拉力大小。
答案 (1)40N (2)203N (3)403N
解析 (1)(2)(3)画出定滑轮的轴心O的受力分析示意图,选取直角坐标系,如图甲所示,根据平衡条件得FT1sinα-FT2sin30°=0,FT2cos30°-FT1cosα-FT3=0,其中FT1=FT3=mAg,联立解得α=60°
画出物体B的受力分析示意图,选取直角坐标系,如图乙所示,根据平衡条件得Ff-FT1sinα=0,FN+FT1cosα-mBg=0,联立并代入数据解得FT1=40N,FT2=403N,Ff=203N,mAg=40N
甲
乙
B组 综合提升
12.如图所示,两个小球a、b质量均为m,用细线相连并悬挂于O点,现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F,使整个装置处于静止状态,且Oa与竖直方向夹角为 θ=45°,已知弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g,则弹簧形变量不可能是 ( )
A.2mgk B.2mg2k C.42mg3k D.2mgk
答案 B 对a球进行受力分析,利用图解法可判断当弹簧上的拉力F与细线垂直时,拉力F最小,为2mgsinθ=2mg,再根据胡克定律得,最小形变量Δx=2mgk,则形变量小于2mgk是不可能的,由图可知在条件允许的情况下,拉力可以一直增大。则可知B项不可能。
13.一重为G的圆柱体工件放在V形槽中,槽顶角α=60°,槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ=0.25,则:(sin37°=0.6,cos37°=0.8)
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图)水平把工件从槽中拉出来,人要施加多大的拉力?
(2)现把整个装置倾斜,使圆柱体的轴线与水平方向成37°角,且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等,发现圆柱体能自动沿槽下滑,求此时工件和槽之间的摩擦力大小。
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体的受力可知,沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力,由题给条件知,F=f合。将重力进行分解如图
因为α=60°,所以G=F1=F2
由f合=μF1+μF2,得F=0.5G
(2)把整个装置倾斜,则工件重力压紧斜面的分力F'1=F'2=Gcos37°=0.8G,此时工件和槽之间的摩擦力大小f'=2μF'1=0.4G
一、力的合成
1.合力与分力
(1)定义:如果一个力① 产生的效果 跟几个力共同作用产生的效果相同,这一个力就叫那几个力的② 合力 ,那几个力就叫这个力的③ 分力 。
(2)关系:合力和分力是一种④ 等效替代 关系。
2.共点力
作用在物体的同一点,或作用线的⑤ 延长线 交于一点的几个力。如图均为共点力。
3.力的合成
(1)定义:求几个力的⑥ 合力 的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则:求互成角度的⑦ 两个力 的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作⑧ 平行四边形 ,这两个邻边之间的对角线就表示合力的⑨ 大小 和⑩ 方向 。如图甲所示。
②三角形定则:把两个矢量 首尾相连 从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
二、力的分解
1.定义:求一个力的 分力 的过程。力的分解是 力的合成 的逆运算。
2.遵循的原则: 平行四边形 定则或三角形定则。
三、矢量和标量
1.矢量:既有大小又有 方向 的物理量,叠加时遵循 平行四边形 定则,如速度、力等。
2.标量:只有大小没有 方向 的物理量,求和时按 代数 法则相加,如路程、时间等。
1.判断下列说法对错。
(1)两个分力大小一定时,两分力方向间的夹角θ越大,合力越小。 ( √ )
(2)合力一定时,两等大分力间的夹角θ越大,两分力越大。 ( √ )
(3)力的分解必须按效果进行分解。 ( ✕ )
(4)位移、速度、加速度、力和时间都是矢量。 ( ✕ )
(5)两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。 ( ✕ )
(6)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。 ( ✕ )
2.(人教版必修1·P64·T2改编)有两个力,它们的合力为0。现在把其中一个向东6N的力改为向南(大小不变),它们的合力大小为 ( )
A.6N B.62N C.12N D.0
答案 B
3.(人教版必修1·P66·T2改编)一个竖直向下的180N的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上并等于240N,则另一个分力的大小为 ( )
A.60N B.240N
C.300N D.420N
答案 C
考点一 力的合成
1.共点力合成的常用方法
(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法:几种特殊情况的共点力的合成。
类 型
作 图
合力的计算
互相垂直
F=F12+F22
tanθ=F1F2
两力等大,夹角为θ
F=2F1cosθ2
F与F1夹角为θ2
两力等大且
夹角为120°
合力与分力等大
(3)力的三角形定则:将表示两个力的线段保持原来的方向依次首尾相接,从第一个力的起点,到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图所示。
2.合力大小的范围
(1)两个共点力的合成:|F1-F2|≤F≤F1+F2。两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两个力共线反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两力共线同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合成。
①三个力共线且同向时,其合力最大为F=F1+F2+F3;
②以这三个力的大小为边,如果能组成封闭的三角形,则其合力最小值为零,若不能组成封闭的三角形,则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。
3.多个共点力的合成方法:依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力,再求这个合力与第三个力的合力,依次类推,求完为止。
例1 如图所示是剪式千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°,则下列判断正确的是 ( )
A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105N
C.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将减小
审题关键 (1)两个分力大小相等且夹角为120°时,合力与分力的大小关系如何?
提示:合力大小等于分力大小
(2)当合力一定时,夹角越小,则分力 。
提示:越小
答案 D 千斤顶受到的压力大小等于两臂受到的压力的合力,由于夹角θ=120°,所以两臂受到的压力大小均为1.0×105N,A错误;由牛顿第三定律可知,千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105N,B错误;若继续摇动把手,两臂间的夹角减小,而合力不变,故两分力减小,即两臂受到的压力减小,C错误,D正确。
解题感悟
1.合力与分力是一种等效替代关系,不可同时作为物体所受的力。
2.矢量是既有大小又有方向的物理量,但既有大小又有方向的物理量并不一定是矢量。如电流,有大小又有方向,但其运算法则满足算术法则,是标量。
3.解题中常用到的二级结论:
(1)两个力的合力的大小范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)两个分力F1和F2的合力为F,若已知合力(或一个分力)的大小和方向,又知另一个分力(或合力)的方向,则第三个力与已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值。
1.[两个力的合力]如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π),下列说法中正确的是 ( )
A.合力大小的变化范围是0≤F≤14N
B.合力大小的变化范围是2N≤F≤10N
C.这两个分力的大小分别为6N和8N
D.这两个分力的大小分别为2N和8N
答案 C
2.[多个力的合力]一物体位于光滑水平面上,同时受到三个水平共点力F1、F2和F3的作用,其大小分别为F1=42N、F2=28N、F3=20N,且F1的方向指向正北,下列说法中错误的是 ( )
A.这三个力的合力可能为零
B.F1、F2两个力的合力大小可能为20N
C.若物体处于匀速直线运动状态,则F2、F3的合力大小为48N,方向指向正南
D.若物体处于静止状态,则F2、F3的合力大小为42N,方向指向正南
答案 C
考点二 力的分解
考向一 力的分解的两种方案
1.按力的作用效果分解(思路图)
2.正交分解法
(1)定义:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点,在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上);在动力学中,往往以加速度方向所在直线和垂直加速度方向所在直线为坐标轴建立坐标系。
(3)方法:物体受到多个力F1、F2、F3…作用,求合力F时,可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…
y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
合力大小F=Fx2+Fy2
合力方向:与x轴夹角为θ,则tanθ=FyFx。
例2 如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物,在绳上距a端l2的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量之比m1∶m2为 ( )
A.5∶1 B.2∶1 C.5∶2 D.2∶1
答案 C 解法一 力的效果分解法
钩码对绳圈的拉力F等于钩码的重力m2g,将F沿ac和bc方向分解,两个分力分别为Fa、Fb,如图甲所示,其中Fb=m1g,由力的矢量三角形可得cosθ=FFb=m2gm1g,又由几何关系得cosθ=ll2+l22,联立解得m1∶m2=5∶2。
甲
解法二 正交分解法
绳圈受到Fa、Fb和钩码的拉力F三个力作用,如图乙所示,将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解,由竖直方向受力平衡得m1gcosθ=m2g;由几何关系得cosθ=ll2+l22,联立解得m1∶m2=5∶2。
乙
解题感悟
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法,一般情况下,物体只受三个力的情形下,力的效果分解法、合成法解题较为简单,在三角形中找几何关系,利用几何关系或三角形相似求解;而物体受三个以上力的情况多用正交分解法,但也要视题目具体情况而定。
1.[正交分解]如图所示,质量为m的木块在推力F作用下,在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ,那么木块受到的滑动摩擦力为 ( )
A.μmg B.μ(mg+Fsinθ)
C.μ(mg-Fsinθ) D.Fsinθ
答案 B
2.[作用效果分解](2019课标Ⅲ,16,6分)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件,为使工件保持固定,将其置于两光滑斜面之间,如图所示,两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上,倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时,圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2,则 ( )
A.F1=33mg,F2=32mg B.F1=32mg,F2=33mg
C.F1=12mg,F2=32mg D.F1=32mg,F2=12mg
答案 D 以工件为研究对象,受力分析如图所示,重力与F1、F2的合力等大反向,根据共点力平衡条件得F1mg=cos30°,F2mg=cos60°,则F1=32mg,F2=12mg,故只有D选项正确。
考向二 力的分解的唯一性和多解性及极值问题
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的方向
有唯一解
已知合力与两个分力的大小
在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向
有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向
在0<θ<90°时有三种情况:
①当F1=Fsinθ或F1>F时,有一组解
②当F1
例3 已知力F的一个分力F1跟F成30°角,大小未知,另一个分力F2的大小为33F,方向未知,则F1的大小可能是 ( )
A.33F B.32F
C.34F D.3F
答案 A 如图所示,因F2=33F>Fsin30°,故F1的大小有两种可能情况,有ΔF=F22-(Fsin30°)2=36F,则F1的大小分别为Fcos30°-ΔF和Fcos30°+ΔF,即F1的大小分别为33F和233F,A正确。
考向三 力的合成与分解的应用——绳上的“死结”和“活结”模型
“死结”模型
“活结”模型
“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线
例4 如图甲所示,细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体,∠ACB=30°;图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向的夹角为30°,在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)。重力加速度为g。求:
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比;
(2)轻杆BC对C端的支持力;
(3)轻杆HG对G端的支持力。
答案 (1)M12M2 (2)M1g,方向与水平方向成30°指向右上方 (3)3M2g,方向水平向右
解题感悟
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
(2)如果题目搭配杆出现,一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即动杆,“活结”搭配无转轴的杆即定杆。
1.[绳的“活结”模型]如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角α=60°。两小球的质量比m2m1为 ( )
A.33 B.23 C.32 D.22
答案 A 如图所示,由FN与FT水平方向合力为零可知,FN=FT;竖直方向有2FTcos30°=m1g,又FT=m2g,从而得2m2g×32=m1g,解得m2m1=33。
2.[绳的“死结”与“活结”综合模型]如图所示,A、B都是重物,A被绕过小滑轮P的细线所悬挂,B放在粗糙的水平桌面上;小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点;O'是三根线的结点,bO'水平拉着重物B,cO'沿竖直方向拉着弹簧;弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略,整个装置处于静止状态,g取10m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是203N,则下列说法中错误的是 ( )
A.弹簧的弹力为10N
B.重物A的质量为2kg
C.桌面对重物B的摩擦力为103N
D.OP与竖直方向的夹角为60°
答案 D O'点是三根线的结点,属于“死结”,而小滑轮重力及与细线间的摩擦力可忽略,故P处为“活结”。对P受力分析,由平衡条件得mAg=FO'a,FOP=2FO'acos30°,解得FO'a=20N,mA=2kg,B正确;OP的方向沿细线张角的角平分线方向,故OP与竖直方向间夹角为30°,D错误。对O'受力分析,由平衡条件得F弹=FO'asin30°,FO'b=FO'a·cos30°,对重物B有fB=FO'b,联立解得F弹=10N,fB=103N,A、C均正确。
A组 基础达标
1.(2020江苏苏中三市3月调研)帆船航行时,遇到侧风需要调整帆面至合适的位置,保证船能有足够的动力前进。一帆船航行时的俯视图,如图所示,风向与船航行方向垂直,关于帆面的a、b、c、d四个位置,可能正确的是 ( )
A.a B.b C.c D.d
答案 B 风对帆船的作用力垂直帆船,则由力的平行四边形定则可知,只有b的情况下,其中的一个分力沿着船的前进方向,如图所示,故B正确,A、C、D错误。
2.(2020江苏启东高三阶段调研)如图所示,一木箱放在水平面上,木箱质量为M,人的质量为m,人站在木箱里用力F向上推木箱,则下列说法正确的是 ( )
A.木箱底对人支持力大小为mg
B.人对木箱作用力的合力大小为mg+F
C.地面对木箱的支持力大小为Mg+mg
D.木箱对地面的压力大小为Mg+mg+F
答案 C 对人受力分析可知,人受到竖直向下的重力、箱顶对人竖直向下的作用力和箱底对人竖直向上的作用力,三力平衡,结合牛顿第三定律可知,木箱对人的支持力大小为mg+F,A错误;根据牛顿第三定律可知人对木箱的作用力与木箱对人的作用力等大反向,又因为木箱对人的作用力与人的重力等大反向,所以人对木箱作用力的合力大小为mg,B错误;对人和木箱整体受力分析可知,地面对木箱的支持力与木箱和人的重力等大反向,所以地面对木箱的支持力大小为Mg+mg,C正确;根据牛顿第三定律可知木箱对地面的压力与地面对木箱的支持力等大反向,所以木箱对地面的压力大小为Mg+mg,D错误。
3.我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗,如图所示,质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上,OA比OB长,O为结点。重力加速度大小为g,设OA、OB对O点的拉力分别为FA、FB,轻绳能够承受足够大的拉力,则下面说法中错误的是 ( )
A.FA小于FB
B.FA、FB的合力大于mg
C.调节悬点A的位置,可使FA、FB都大于mg
D.换质量更大的灯笼,FB的增加量比FA的增加量大
答案 B 对结点O受力分析,画出力的示意图如图,由图可知,FA小于FB,FA、FB的合力等于mg,选项A正确,B错误;调节悬点A的位置,当∠AOB大于某一值时,FA、FB都大于mg,选项C正确;换质量更大的灯笼,则重力mg增大,FB的增加量比FA的增加量大,选项D正确。
4.如图所示,甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶,已知甲的拉力大小为800N,方向与航向夹角为30°,乙的拉力大小为400N,方向与航向夹角为60°,要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶,则丙用力最小为 ( )
A.与F甲垂直,大小为400N
B.与F乙垂直,大小为2003N
C.与河岸垂直,大小约为746N
D.与河岸垂直,大小为400N
答案 C 甲、乙两人的拉力大小和方向一定,其合力为如图所示的F,要保持小船在河流中间沿题图所示虚线方向直线行驶,F与F丙的合力必沿题图中虚线方向,F丙与题图中虚线垂直时值最小,由图可知,F丙min=F乙sin60°+F甲sin30°=2003N+400N≈746N,C项正确。
5.如图所示,一只蜗牛正在葡萄枝上休息(静止),若葡萄枝的倾角为α,则葡萄枝对重为G的蜗牛的作用力大小为 ( )
A.Gsinα B.Gcosα
C.G D.小于G
答案 C
6.(2020安徽定远模拟)如图所示,一足够长的斜面体静置于粗糙水平地面上,一小物块沿着斜面体匀速下滑,现对小物块施加一水平向右的恒力F,当物块运动到最低点之前,下列说法正确的是 ( )
A.物块与斜面体间的弹力不变
B.物块与斜面体间的摩擦力先增大后减小
C.斜面体与地面间的弹力不变
D.斜面体与地面间的摩擦力始终为0
答案 D 设斜面的倾角为α,不加推力F时,物块匀速下滑,受重力、支持力和摩擦力,根据共点力平衡条件,支持力N=mgcosα,摩擦力f=mgsinα,而f=μN,解得μ=tanα;对物块施加一水平向右的恒力F后,支持力N'=mgcosα+Fsinα,变大,滑动摩擦力f'=μN',也变大,故A、B错误。不加推力F时,根据平衡条件,物块受的支持力和摩擦力的合力竖直向上,故根据牛顿第三定律,物块对斜面体的压力和摩擦力的合力竖直向下,故斜面体相对地面没有滑动趋势,故斜面体不受摩擦力;加上水平推力后,物块对斜面体的摩擦力和压力同比例增加,其合力方向依旧是竖直向上(大小变大,方向不变);同理,根据牛顿第三定律,物块对斜面体的压力和摩擦力的合力依旧是竖直向下(大小变大,方向不变),故斜面体相对地面仍然没有滑动趋势,故斜面体仍然不受摩擦力,但对地面压力变大了,故C错误,D正确。
7.小明想推动家里的衣橱,但使出了很大的力气也推不动,他便想了个妙招,如图所示,用A、B两块木板,搭成一个底角较小的人字形架,然后往中央一站,衣橱居然被推动了。下列说法中正确的是 ( )
A.这是不可能的,因为小明根本没有用力去推衣橱
B.这是不可能的,因为无论如何小明的力气也没那么大
C.这有可能,A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D.这有可能,但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
答案 C
8.(2020宁夏银川模拟)如图所示,战士在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练,设战士做匀速直线运动,运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ、所构成的平面与水平面间的夹角恒为α,轮胎重为G,地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为f,则每根绳的拉力大小为 ( )
A.f2cosθ2·cosα B.f2sinθ·sinα
C.f2cosθ2·sinα D.f 2+G22cosθ2·cosα
答案 A 设每根绳子的拉力为T,则两根绳子拉力的合力为2Tcosθ2;在水平方向上,有f=2Tcosθ2· cosα,解得T=f2cosθ2·cosα,故选A。
9.(2020陕西延安质检)如图所示,不可伸长的轻绳一端固定于墙上O点,拉力T通过一轻质定滑轮和轻质动滑轮作用于绳另一端,则质量为m的重物在拉力T作用下缓慢上升的过程中,拉力T(不计一切摩擦) ( )
A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定
答案 A 对重物和轻质动滑轮进行受力分析,如图所示,有Tcosα=12mg,在重物上升过程中,α增大,cosα减小,故T增大,A正确。
10.如图所示,一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上,一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起使绳与竖直方向的夹角为θ=30°,且绳绷紧,则练功队员对沙袋施加的作用力大小为(重力加速度为g) ( )
A.mg2 B.32mg C.33mg D.3mg
答案 A 建立如图所示直角坐标系,对沙袋进行受力分析。将F和FT正交分解,有
Fcos30°-FTsin30°=0
FTcos30°+Fsin30°-mg=0
联立解得F=mg2,故选项A正确。
11.如图所示,轻细绳CO与竖直方向成30°角,A、B两物体用跨过轻质光滑滑轮(可看成质点)的轻细绳相连,整个系统保持静止。已知物体B的重力mBg=100N,地面对物体B的支持力FN=80N。求:
(1)物体A的重力大小;
(2)物体B与地面间的摩擦力大小;
(3)轻细绳CO受到的拉力大小。
答案 (1)40N (2)203N (3)403N
解析 (1)(2)(3)画出定滑轮的轴心O的受力分析示意图,选取直角坐标系,如图甲所示,根据平衡条件得FT1sinα-FT2sin30°=0,FT2cos30°-FT1cosα-FT3=0,其中FT1=FT3=mAg,联立解得α=60°
画出物体B的受力分析示意图,选取直角坐标系,如图乙所示,根据平衡条件得Ff-FT1sinα=0,FN+FT1cosα-mBg=0,联立并代入数据解得FT1=40N,FT2=403N,Ff=203N,mAg=40N
甲
乙
B组 综合提升
12.如图所示,两个小球a、b质量均为m,用细线相连并悬挂于O点,现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F,使整个装置处于静止状态,且Oa与竖直方向夹角为 θ=45°,已知弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g,则弹簧形变量不可能是 ( )
A.2mgk B.2mg2k C.42mg3k D.2mgk
答案 B 对a球进行受力分析,利用图解法可判断当弹簧上的拉力F与细线垂直时,拉力F最小,为2mgsinθ=2mg,再根据胡克定律得,最小形变量Δx=2mgk,则形变量小于2mgk是不可能的,由图可知在条件允许的情况下,拉力可以一直增大。则可知B项不可能。
13.一重为G的圆柱体工件放在V形槽中,槽顶角α=60°,槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ=0.25,则:(sin37°=0.6,cos37°=0.8)
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图)水平把工件从槽中拉出来,人要施加多大的拉力?
(2)现把整个装置倾斜,使圆柱体的轴线与水平方向成37°角,且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等,发现圆柱体能自动沿槽下滑,求此时工件和槽之间的摩擦力大小。
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体的受力可知,沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力,由题给条件知,F=f合。将重力进行分解如图
因为α=60°,所以G=F1=F2
由f合=μF1+μF2,得F=0.5G
(2)把整个装置倾斜,则工件重力压紧斜面的分力F'1=F'2=Gcos37°=0.8G,此时工件和槽之间的摩擦力大小f'=2μF'1=0.4G
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