高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线习题，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左､右焦点，若，则（ ）
A．12B．16C．18D．20
3．如图，设F1，F2分别为等轴双曲线x2－y2＝a2的左，右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，则cs∠MAN等于（ ）
A．B．－C．D．－
4．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交于，两点，交轴于点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_________.
6．已知、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且，若的面积为16，则_________.
三、解答题
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．
参考答案
1．【答案】A【解析】根据题意,双曲线,其焦点在轴上,且,,则,
则双曲线的右焦点坐标为,渐近线方程为,即,
则右焦点到渐近线的距离,则要求圆的圆心为,半径,则要求圆的方程为,故选A
2．【答案】A【解析】不妨设，因为双曲线的一条渐近线的方程为，
所以即，所以双曲线的方程为，所以点，
所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，
所以，.故选A.
3．【答案】D【解析】等轴双曲线的两条渐近线方程为，所以，则，，则；
4．【答案】A【解析】设为坐标原点，直线AB倾斜角为，,
，，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，
由双曲线的性质，可知，，，两边平方得，
，即，，即.
5．【答案】2【解析】由l过两点（a,0），（0，b），得l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为，得将b＝代入平方后整理，得解关于的一元二次方程得或
∵e＝，∴e＝或e＝2.又0.
∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.故填2
6．【答案】4【解析】设，，，得，∴，
的面积为，∴∴，∴，∴．
7．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）根据题意可得的左顶点为，
设直线方程为，与另一条渐近线联立求得交点坐标为，
所以对应三角形的面积为；
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，即，
由得，设，，则，，
则，
故；
（3）当直线ON垂直于x轴时，，，
则O到直线MN的距离为．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为（显然），
则直线的方程为.
由与椭圆方程联立，
得，，所以.
同理.
设O到直线MN的距离为d，
则由，
得．
综上，O到直线MN的距离是定值.