人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程当堂达标检测题

这是一份人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若点M到两坐标轴的距离的积为2008，则点M的轨迹方程是( )
A．xy＝2008 B．xy＝－2008
C．xy＝±2008 D．xy＝±2008(x>0)
答案：C
2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设P点的坐标为(x，y)，则eq \r(x－12＋y＋22)＝3eq \r(x2＋y2)，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
答案：A
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得：x2＋y2＝4.
∵M、N、P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
4．已知A、B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA与MB的斜率之积为－eq \f(4,9)，则M的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(100,9))＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)
C.eq \f(x2,\f(225,4))＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,\f(225,4))＋eq \f(y2,25)＝1(x≠0)
解析：设M的坐标为(x，y)，则kMA＝eq \f(y＋5,x)，kMB＝eq \f(y－5,x).
由题知eq \f(y＋5,x)·eq \f(y－5,x)＝－eq \f(4,9)(x≠0)，
即eq \f(x2,\f(225,4))＋eq \f(y2,25)＝1(x≠0)．
答案：D
5．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且eq \(AM,\s\up6(→))＝4eq \(MB,\s\up6(→))，则点M的轨迹方程是( )
A．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64
C．x2＋16y2＝8 D．16x2＋y2＝8
解析：设M(x，y)、A(a,0)、B(0，b)，
则a2＋b2＝100.∵eq \(AM,\s\up6(→))＝4eq \(MB,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(a,1＋4)，,y＝\f(4b,1＋4)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5x，,b＝\f(5,4)y.))代入a2＋b2＝100，
得25x2＋eq \f(25,16)y2＝100，即16x2＋y2＝64.
答案：B
6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，eq \f(y,2))，C(x，y)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则动点C的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：∵A(－2，y)，B(0，eq \f(y,2))，C(x，y)
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－eq \f(y,2))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(x，eq \f(y,2))．
∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
得2·x－eq \f(y,2)·eq \f(y,2)＝0得y2＝8x.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．圆心为(1,2)且与直线5x－12y－7＝0相切的圆的方程是________．
解析：圆心到直线的距离等于半径，则
r＝eq \f(|5×1－12×2－7|,\r(52＋122))＝eq \f(26,13)＝2，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
答案：(x－1)2＋(y－2)2＝4
8．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，则直角顶点M的轨迹方程是________．
图1
解析：设点M的坐标为(x，y)．由AM⊥BM，得kAM·kBM＝－1，即eq \f(y,x＋a) · eq \f(y,x－a)＝－1，
化简得x2＋y2＝a2.
因为M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y≠0，
从而x≠±a，所以所求轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
答案：x2＋y2＝a2(x≠±a)
9．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶2两部分，则点Q的轨迹方程为__________．
解析：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．
∵Q分线段OP为1∶2，∴eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(QP,\s\up6(→)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\f(1,2)x1,1＋\f(1,2))，,y＝\f(\f(1,2)y1,1＋\f(1,2))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3x，,y1＝3y.))
∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0.把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0为所求轨迹方程．
答案：2x＋4y＋1＝0
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知点M到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等，求点M的轨迹方程．
图2
解：设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q是点M到直线y＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得eq \r(x2＋y－12)＝|y＋1|，将上式两边平方，得x2＋(y－1)2＝(y＋1)2，化简，得y＝eq \f(1,4)x2.①
下面证明方程①是所求轨迹的方程．
(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,1)，即xeq \\al(2,1)＋(y1－1)2＝(y1＋1)2，eq \r(x\\al(2,1)＋y1－12)＝|y1＋1|，|M1F|＝|M1Q1|.其中Q1是点M1到直线y＝－1的垂线的垂足，因此点M1是曲线上的点．
由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．
11．(15分)已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，
|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M的轨迹方程．
解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x，y)为轨迹上任意一点，则|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝eq \r(x＋42＋y2)，|MB|＝eq \r(x－42＋y2)，|MC|＝eq \r(x2＋y－22)，|MD|＝eq \r(x2＋y＋22).
所以eq \r([x＋42＋y2][x－42＋y2])
＝eq \r([x2＋y－22][x2＋y＋22]).
化简，得y2－x2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y2－x2＋6＝0.
图3
12．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BP,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(→))，试求动点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，
则eq \(BC,\s\up6(→))＝(x′，－y′)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(x－x′，y)，
由eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(→))，得(x′，－y′)＝eq \f(1,2)(x－x′，y)，
即x′＝eq \f(x,3)，y′＝－eq \f(y,2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(y,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)，0)).
又A(－3,0)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(y,2)))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3y,2))).
由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BP,\s\up6(→))，得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，∴3x－eq \f(3,4)y2＝0，得y2＝4x，
即为动点P的轨迹方程．