《中考大一轮数学复习》课件 课时8 一元二次方程及其应用

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基础知识回顾1. 一元二次方程(1)定义：在整式方程中，只含__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________的方程叫做一元二次方程．(2)一元二次方程的一般形式是__________．其中__________叫做二次项，__________叫做一次项，__________叫做常数项；______________叫做二次项的系数，________叫做一次项的系数．温馨提示判断方程是否为一元二次方程，应先整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a≠0.
2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如x2＝n或(x＋m)2＝n(n≥0)的方程可用直接开平方法．(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为________；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为________；③配方，即方程两边都加上____________；④化原方程为(x＋m)2＝n的形式；⑤如果是非负数，即n≥0，就可以用直接开平方求出方程的解．如果n<0，则原方程无解．(3)公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是____．(4)因式分解法：一般步骤是：①将方程的右边化为________；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于________，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．　　温馨提示①用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式．②用配方法时二次项系数要化为1.
3. 用一元二次方程解决问题(1)列方程解决问题的一般步骤：①“审”题；②“设”未知数，建立相等的数量关系；③“列”出含有未知数的方程；④“解”方程；⑤“检”验，要检验方程的根是否符合题意；⑥“答”．(2)常见题型：①平均增长(降低)率问题；②营销问题；③面积问题；④数字问题；⑤几何问题；⑥开放题型的讨论．
1. (2012·山东临沂)用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　)A. (x＋2)2＝1　　B. (x－2)2＝1 C. (x＋2)2＝9　　D. (x－2)2＝92. (2012·江苏淮安)方程x2－3x＝0的解为(　　)A. x＝0 　　B. x＝3 C. x1＝0，x2＝－3 　　D. x1＝0，x2＝33. 方程3x(x＋1)＝0的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是________．4. (2013·安徽)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是(　　)A. 438×(1＋x)2＝389 B. 389×(1＋x)2＝438C. 389×(1＋2x)＝438 D. 438×(1＋2x)＝3895. (2013·浙江丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)A. x－6＝－4　　B. x－6＝4 C. x＋6＝4　　D. x＋6＝－46. (2014·陕西省)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(　　)A. 1或4　　B. －1或－4 C. －1或4　　D. 1或－4
热点一　一元二次方程的定义热点搜索　涉及一元二次方程定义的问题关键是牢记并理解一元二次方程的定义，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件．典例分析1　已知(m－1)x|m|＋1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．解析　依题意得|m|＋1＝2，即|m|＝1，解得m＝±1；又∵m－1≠0，∴m≠1，故m＝－1.
点对点训练1. (2011·甘肃兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　　)A. x2＋＝0B. ax2＋bx＋c＝0C. (x－1)(x＋2)＝1D. 3x2－2xy－5y2＝02. 关于x的方程(m－3)xm2－8m＋17＋6x－1＝0是一元二次方程的条件是(　　)A. m＝2　　B. m＝3C. m＝5　　D. m＝3或m＝53. (2012·广西柳州)一元二次方程3x2＋2x－5＝0 的一次项系数是________．
热点二　一元二次方程解的概念热点搜索　使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也称一元二次方程的根．已知一元二次方程的根，可将其代入原方程中求出相应常量的值；由方程的根来写一元二次方程，可借助于因式分解法的逆用，如：一元二次方程的根为a，b，则原方程可写为(x－a)(x－b)＝0即可．典例分析2　(2013·湖北黄冈)已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　　)A. 2　　B. 3C. 4　　D. 8解析　由题意，把x＝2代入原方程得：22－6×2＋c＝0，解得c＝8，把c＝8代入方程得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.故选C.
点对点训练4. 已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是(　　)A. ab 　　B. C. a＋b　　D. a－b5. 已知关于x的一元二次方程有一个根为1，那么这个方程是________________．6. (2012·山东枣庄)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是__________．
热点三　解一元二次方程热点搜索　解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法．方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法；形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程可用直接开平方法；二次项系数为1，一次项系数为偶数时可用配方法；配方法及公式法是“万能”的方法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法．典例分析3　(2013·广东广州)解方程：x2－10x＋9＝0.解析　解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．可以运用配方法、求根公式法和因式分解法等三种方法求解．解　方法一(配方法)：将方程x2－10x＋9＝0变形为：x2－10x＝－9配方，x2－10x＋25＝－9＋25整理，得(x－5)2＝16解得，x1＝1，x2＝9方法二(求根公式法)：因为a＝1，b＝－10，c＝9Δ＝100－36＝64>0由求根公式解得，x1＝1，x2＝9方法三(因式分解法)：将方程x2－10x＋9＝0变形为：(x－1)(x－9)＝0解得，x1＝1，x2＝9
点对点训练7. (2012·贵州黔西南州)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2―10x＋21＝0的解，则第三边的长为(　　)A. 7　　B. 3C. 7或3　　D. 无法确定8. (2012·吉林)若方程x2－x＝0的两根为x1，x2(x1解：(1)2.6(1＋x)2(2)根据题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率是10%.
典例分析4　(2013·江苏连云港)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解析　(1)根据两个正方形的面积之和等于58 cm2，列一元二次方程求解．(2)根据两正方形的面积之和等于48 cm2得一元二次方程，再根据方程有没有实数解判定是否正确．解　(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm.由题意得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.4×3＝12，4×7＝28.所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段．(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．
点对点训练11. (2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 
解：(1)设捐款增长率为x，则10000(1＋x)2＝12100解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)答：捐款的增长率为10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310(元)答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13310元．
12. (2013·山东威海)在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x.(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)
解：(1)根据小亮的设计方案列方程，得：(52－x)(48－x)＝2300.解这个方程，得：x1＝2，x2＝98(舍去)．∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m.(2)作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°.∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形．∴BC＝AD.由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝AD＝2.在Rt△ADI中，AI＝2sin60°＝.∵∠HEJ＝60°，∴HJ＝2sin60°＝，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋()2＝2299(m2)．
13. (2014·贵州安顺)天山旅行社为吸引顾客组团去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：某单位组织员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游？
解：设该单位这次共有x名员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，因为1000×25＝25000<27000，所以员工人数一定超过25人． 可列方程[1000－20×(x－25)]x＝27000.整理，得：x2－75x＋1350＝0，解得：x1＝45，x2＝30.当x1＝45时，1000－20×(x－25)＝600<700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20×(x－25)＝900>700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游．
易错题跟踪1. 方程x(x－1)＝2的解是(　　)A. x＝－1 B. x1＝2，x2＝3C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝－1，x2＝22. (2014·广西桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．(1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率．(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？
解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x，依据题意得150(1＋x)2＝216，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为20%.(2)该品牌电动车2月份的销量为150×(1＋20%)＝180(辆)，∴该品牌电动车1至3月份的销量为150＋180＋216＝546(辆)，∴该经销商1至3月共盈利为546×(2800－2300)＝273000(元)．答：该经销商1至3月共盈利为273000元．