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2021年湖北省恩施州利川市中考数学适应性试卷 解析版
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这是一份2021年湖北省恩施州利川市中考数学适应性试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了﹣2的绝对值为，九年级10名同学的年龄如下表，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省恩施州利川市中考数学适应性试卷
一.选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷的相应位置上）
1．﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．“新冠病毒”的平均直径为0.0000001米．用科学记数法表示“0.0000001”正确的是（ ）
A．1×10﹣7 B．1.0×10﹣6 C．10﹣7 D．1×10﹣6
3．九年级10名同学的年龄如下表：
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（个）
1
4
4
1
则这10名同学年龄的中位数和平均数是（ ）
A．15和15 B．15.5和15.5 C．15.5和16 D．16和16
4．下列几何图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
6．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣2y＝xy B．2x2+3x2＝5x4
C．（2xy3）2＝4x2y6 D．x4÷x3＝x7
7．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28° B．32° C．58° D．60°
8．如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（ ）
A．﹣2a B．2a C． D．
9．两年前生产1套学生课桌凳的成本是200元．随着生产技术的进步，现在生产1套相同的课桌凳的成本是128元．求生产成本的年平均下降率x，列方程正确的是（ ）
A．200（1﹣x2）＝128 B．200（1﹣x）2＝128
C．200（1﹣2x）＝128 D．200（1﹣2x2）＝128
10．一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，她与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣4和3，下列判断中：①a＞0；②abc＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a＝b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（本大题共有4个小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷的相应位置上）
13．分解因式：2x3﹣8x＝ ．
14．一圆锥体的主视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面展开图（扇形）的半径是 ．
15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、O、C在坐标轴上，点B的坐标为（，1），若将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A′处，则点A′的坐标是 ．
16．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第99个数是 ．
三.解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC交AD于F，连接CF．求证：四边形CDEF是菱形．
19．（8分）为了了解学生对音、体、美的喜欢情况，对学生进行抽样调查（问卷说明：在音、体、美中，每个学生选且只选一种自己最喜欢的学科），并将这些调查情况整理绘制成如下不完整的两幅统计图．请你根据相关信息，解答下列问题：
（1）求抽样调查的样本数是多少？
（2）求体育所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）补全条形统计图；
（4）从接受抽样调查的学生中随机选取一人，求是喜欢音乐的学生的概率．
20．（8分）如图所示，一艘轮船从A处出发向正东方向匀速航行，领航员在A处观测到灯塔C位于北偏东45°，30min后轮船航行到B处，再观测时，灯塔C位于北偏东30°，且轮船与灯塔C相距20km．求轮船航行的速度是多少km/h？（结果精确到0.1km/h）（参考数据：＝1.414，＝1.732）
21．（8分）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），顶点A、C在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F，连接OE、CF交于M，△OEC的面积等于1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OAFM的面积．
22．（10分）某水果店用四种水果共60kg混合在一起，恰好制作成A、B、C三种型号的果篮20个销售．根据下表提供的信息，解答问题：
果篮型号
A
B
C
果篮净重（kg）
2
3
4
每个果篮的利润（元）
12
10
16
（1）设制作A型果篮x个，制作B型果篮y个，求y与自变量x间的函数关系式；
（2）如果制作每种型号的果篮都不少于5个，那么制作果篮的方案有几种？并写出每种制作方案；
（3）若要使这批果篮销售的利润最大，应采用哪种制作方案？并求出最大利润．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D点在AB边上，E点在BC边上，以AD为直径的⊙O过E点，与AC边相交于点F，DE＝EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为3，求CF的长．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求A、B、C点的坐标；
（3）求证：△ACB是直角三角形；
（4）P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
2021年湖北省恩施州利川市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷的相应位置上）
1．﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
2．“新冠病毒”的平均直径为0.0000001米．用科学记数法表示“0.0000001”正确的是（ ）
A．1×10﹣7 B．1.0×10﹣6 C．10﹣7 D．1×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7．
故选：A．
3．九年级10名同学的年龄如下表：
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（个）
1
4
4
1
则这10名同学年龄的中位数和平均数是（ ）
A．15和15 B．15.5和15.5 C．15.5和16 D．16和16
【分析】根据中位数、平均数的意义和计算方法进行计算即可．
【解答】解：将这10名同学的年龄从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是15岁和16岁，
因此中位数是＝15.5（岁），
平均数为（14×1+15×4+16×4+17×21）÷10＝15.5（岁），
故选：B．
4．下列几何图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：B．
6．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣2y＝xy B．2x2+3x2＝5x4
C．（2xy3）2＝4x2y6 D．x4÷x3＝x7
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．3x与﹣2y不能合并，故本选项不符合题意；
B．2x2+3x2＝5x2，故本选项不符合题意；
C．（2xy3）2＝4x2y6，故本选项符合题意；
D．x4÷x3＝x，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28° B．32° C．58° D．60°
【分析】先利用外角和内角的关系求出∠4，再利用平行线的性质求出∠2．
【解答】解：∵∠3＝∠1＝28°，∠4＝∠3+∠A，
∴∠4＝28°+30°＝58°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝58°．
故选：C．
8．如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（ ）
A．﹣2a B．2a C． D．
【分析】设B点的横坐标为x，由于在x轴的下方作△AOB的位似图形，相似比为2，将△AOB放大，得到△A′OB′，根据位似变换的坐标特点得到A′点的横坐标．
【解答】解：∵在x轴的下方作△AOB的位似图形，AB：A′B′＝1：2，
∴相似比为2，
∵点A的横坐标是a，
∴点A的对应点A′的横坐标是：﹣2a．
故选：A．
9．两年前生产1套学生课桌凳的成本是200元．随着生产技术的进步，现在生产1套相同的课桌凳的成本是128元．求生产成本的年平均下降率x，列方程正确的是（ ）
A．200（1﹣x2）＝128 B．200（1﹣x）2＝128
C．200（1﹣2x）＝128 D．200（1﹣2x2）＝128
【分析】若这种课桌凳的年平均下降率为x，根据两年前生产1套的成本是200元，随着生产技术的进步，现在生产1套的成本是128元可列方程．
【解答】解：设这种课桌凳的年平均下降率为x，
200（1﹣x）2＝128．
故选：B．
10．一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，让2个球都是红球的情况数除以总情况数即为所求的可能性．
【解答】解：
∴P（2个球都是红球）＝＝．
故选：C．
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证得△ABC是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可．
【解答】解：连接AC，BD，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，OA＝1，OB＝OD，
∴OB＝OD＝，
∴BD＝2，
∴CD＝BC＝2，∠BAD＝120°，
∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×2＝﹣2．
故选：C．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，她与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣4和3，下列判断中：①a＞0；②abc＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a＝b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向可判断①，由抛物线经过（﹣4，0），（3，0）可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再由抛物线与y轴交点位置可得c＜0，从而判断②③⑤，由抛物线与x轴有2个交点可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线经过（﹣4，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴①正确，②正确，⑤正确．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，④正确．
故选：D．
二.填空题（本大题共有4个小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷的相应位置上）
13．分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
14．一圆锥体的主视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面展开图（扇形）的半径是 5 ．
【分析】观察图形可知，圆锥体主视图的三角形底边长等于底面圆的直径，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：由图形可知，圆锥体主视图的三角形底边长等于底面圆的直径，
6÷2＝3，
则该几何体的侧面展开图（扇形）的半径是＝5．
故答案为：5．
15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、O、C在坐标轴上，点B的坐标为（，1），若将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A′处，则点A′的坐标是 （，） ．
【分析】作A1D⊥OA于D．根据OA＝，AB＝1，得∠AOB＝30°；根据折叠，得∠A1OB＝30°，OA1＝OA＝；再进一步利用解直角三角形的知识进行求解．
【解答】解：作A1D⊥OA于D．
∵点B的坐标为（，1），
∴OA＝，AB＝1，
∴∠AOB＝30°．
根据题意，得：
∠A1OB＝30°，OA1＝OA＝．
在直角三角形A1DO中，∠A1OD＝60°，
∴OD＝，A1D＝，
即点A1（，）．
故答案为：（，）．
16．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第99个数是 14 ．
【分析】根据每个数n都连续出现n次，设这一组数的第99个数是x，则：1+2+3+4+…+x＝99，解方程即可得出答案．
【解答】解：设这一组数的第99个数是x，
因为每个数n都连续出现n次，可得：
1+2+3+4+…+x＝99，
＝99，
∵＝105，
∴105﹣14＝91，
故第92个数为开始为14，
∴第99个数是14．
三.解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值求出并代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式的值＝．
18．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC交AD于F，连接CF．求证：四边形CDEF是菱形．
【分析】由角平分线的性质得到DC＝DE，进而由“HL”定理证得Rt△ACD≌Rt△AED，得到∠3＝∠4，由平行线的性质及等腰三角形的判定得到EF＝DE＝DC，EF∥DC，由菱形的判定即可得到四边形CDEF是菱形．
【解答】证明：如图，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DC＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠3＝∠4，
∵EF∥BC，
∴∠3＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∴EF＝DE，
∴EF∥DC，EF＝DE＝DC，
∴四边形CDEF是菱形．
19．（8分）为了了解学生对音、体、美的喜欢情况，对学生进行抽样调查（问卷说明：在音、体、美中，每个学生选且只选一种自己最喜欢的学科），并将这些调查情况整理绘制成如下不完整的两幅统计图．请你根据相关信息，解答下列问题：
（1）求抽样调查的样本数是多少？
（2）求体育所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）补全条形统计图；
（4）从接受抽样调查的学生中随机选取一人，求是喜欢音乐的学生的概率．
【分析】（1）根据音乐和体育的总人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用360°乘以体育人数所占的百分比即可；
（3）求出美术的人数，即可补全统计图；
（4）用音乐的人数除以总人数，即可得出喜欢音乐的学生的概率．
【解答】解：（1）抽样调查的样本数是：（30+15）÷（1﹣10%）＝50；
（2）体育所在扇形的圆心角的度数是：×360°＝108°；
（3）美术的人数有：50×10%＝5（人），
补全条形统计图如图所示；
（4）喜欢音乐的学生的概率是＝0.6．
20．（8分）如图所示，一艘轮船从A处出发向正东方向匀速航行，领航员在A处观测到灯塔C位于北偏东45°，30min后轮船航行到B处，再观测时，灯塔C位于北偏东30°，且轮船与灯塔C相距20km．求轮船航行的速度是多少km/h？（结果精确到0.1km/h）（参考数据：＝1.414，＝1.732）
【分析】如图，作CD⊥AB于D，依题意有：∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，依题意有：∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，
∴BD＝BC＝×20＝10（km），
∴AD＝CD＝（km），
∴AB＝AD﹣BD＝（）km，
则，
即轮船航行的速度是14.6km/h．
21．（8分）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），顶点A、C在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F，连接OE、CF交于M，△OEC的面积等于1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OAFM的面积．
【分析】（1）根据三角形的面积可得点E的坐标，再根据点E的坐标可得反比例函数的解析式；
（2）首先求出点F的坐标，根据利用待定系数法求出OE和CF的关系式，联立方程组可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）由题意知C（0，2），OC＝2，
∵△OEC的面积等于1，
即×OC×EC＝1，
∴EC＝1，
∴E（1，2），且在反比例函数的图象上，
∴，求得k＝2，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由F在的图象上，求得F（2，1），
设OE为y＝k1x，
由（1）知E（1，2），求得k1＝2，
即OE为y＝2x．
设CF为y＝k2x+b，由（1）知C（0，2），F（2，1），
得，
解得，
即CF为．
联立得，
解得M（，），
∴，
∴．
22．（10分）某水果店用四种水果共60kg混合在一起，恰好制作成A、B、C三种型号的果篮20个销售．根据下表提供的信息，解答问题：
果篮型号
A
B
C
果篮净重（kg）
2
3
4
每个果篮的利润（元）
12
10
16
（1）设制作A型果篮x个，制作B型果篮y个，求y与自变量x间的函数关系式；
（2）如果制作每种型号的果篮都不少于5个，那么制作果篮的方案有几种？并写出每种制作方案；
（3）若要使这批果篮销售的利润最大，应采用哪种制作方案？并求出最大利润．
【分析】（1）表示制作C型果篮为（20﹣x﹣y）个，然后根据四种水果的总量为60千克列出方程整理即可得解．
（2）根据装运每种型号的果篮都不少于5个列出不等式组，然后根据x是正整数确定安排方案即可．
（3）根据总利润等于三种果篮的利润之和列式整理，再根据一次函数的最值问题确定安排方案．
【解答】解：（1）根据题意，制作C型果篮为（20﹣x﹣y）个，则有：2x+3y+4（20﹣x﹣y）＝60，即y＝﹣2x+20．
（2）由（1）知，制作A、B、C型果篮的个数分别为x、﹣2x+20、x，由题意得：，解得：．
∵x为整数，∴x的值为5、6、7，∴制作果篮的方案共有3种，即：
方案一：制作A型5个，B型10个，C型5个．
方案二：制作A型6个，B型8个，C型6个．
方案三：制作A型7个，B型6个，C型7个．
（3）设利润为W（元）则：
W＝12x+10（﹣2x+10）+16x，
＝8x+200．
∵k＝8＞0
∴W的值随x的增大而增大，要使W最大，由（1）知y＝﹣2x+20，则0≤x≤10，
∴当x＝10时，W最大＝8×10+200＝280．
∴当制作A型10个，B型0个，C型10个时，获得最大利润280元．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D点在AB边上，E点在BC边上，以AD为直径的⊙O过E点，与AC边相交于点F，DE＝EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为3，求CF的长．
【分析】（1）如图，连接半径OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，求得∠OAE＝∠FAE，根据平行线的性质得到OE⊥BC，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）如图，作DH⊥BC于H，根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BD＝2，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接半径OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OAE＝∠FAE，
∴∠OEA＝∠FAE，
∴OE∥AC，AC⊥BC，
∴OE⊥BC，
∵OE为圆O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，作DH⊥BC于H，
∵sin∠B＝，OE＝OD＝OA＝3，
∴，
解得OB＝5，
故BD＝2，
∴，
∴．
由（1）知DH∥OE∥AC，且OD＝OA，
∴EH＝EC，
又∵DE＝EF，
∴Rt△EDH≌Rt△EFC（HL），
∴．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求A、B、C点的坐标；
（3）求证：△ACB是直角三角形；
（4）P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数确定抛物线的函数解析式；
（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系写出带你A、B、C的坐标；
（3）利用勾股定理的逆定理证明；
（4）需要分类讨论：分当P点在AB（x轴）下方和当P点在AB（x轴）上方两种情况，利用平行四边形的对边平行且相等的性质解答．
【解答】（1）解：依题意得：，
解得．
∴即为所求；
（2）解：由知，令x＝0，得y＝﹣2；
令y＝0，即，
解得x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）；
（3）证明：如图，由（2）知OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴AB＝OA+OB＝5．
又由勾股定理得：AC＝，BC＝．
∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（4）解：如图，①当P点在AB（x轴）下方时，
则当PC∥AB，且PC＝AB时，四边形ABCP为平行四边形，
过C点向右作PC∥AB，此时P1（﹣5，﹣2）．
过C点向左作PC∥AB，此时P2（5，﹣2）；
②当P点在AB（x轴）上方时，
则当AB和CP为对角线时，四边形ABCP为平行四边形，
作P3D⊥AB于D，连接P3C交AB于E，则P3D＝OC＝2，OE＝，
∴OD＝3，即P3（3，2）（此时为特殊的平行四边形）．
∴满足要求的P点有3个，分别为P1（﹣5，﹣2），P2（5，﹣2），P3（3，2）．
2021年湖北省恩施州利川市中考数学适应性试卷
一.选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷的相应位置上）
1．﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．“新冠病毒”的平均直径为0.0000001米．用科学记数法表示“0.0000001”正确的是（ ）
A．1×10﹣7 B．1.0×10﹣6 C．10﹣7 D．1×10﹣6
3．九年级10名同学的年龄如下表：
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（个）
1
4
4
1
则这10名同学年龄的中位数和平均数是（ ）
A．15和15 B．15.5和15.5 C．15.5和16 D．16和16
4．下列几何图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
6．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣2y＝xy B．2x2+3x2＝5x4
C．（2xy3）2＝4x2y6 D．x4÷x3＝x7
7．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28° B．32° C．58° D．60°
8．如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（ ）
A．﹣2a B．2a C． D．
9．两年前生产1套学生课桌凳的成本是200元．随着生产技术的进步，现在生产1套相同的课桌凳的成本是128元．求生产成本的年平均下降率x，列方程正确的是（ ）
A．200（1﹣x2）＝128 B．200（1﹣x）2＝128
C．200（1﹣2x）＝128 D．200（1﹣2x2）＝128
10．一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，她与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣4和3，下列判断中：①a＞0；②abc＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a＝b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（本大题共有4个小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷的相应位置上）
13．分解因式：2x3﹣8x＝ ．
14．一圆锥体的主视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面展开图（扇形）的半径是 ．
15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、O、C在坐标轴上，点B的坐标为（，1），若将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A′处，则点A′的坐标是 ．
16．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第99个数是 ．
三.解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC交AD于F，连接CF．求证：四边形CDEF是菱形．
19．（8分）为了了解学生对音、体、美的喜欢情况，对学生进行抽样调查（问卷说明：在音、体、美中，每个学生选且只选一种自己最喜欢的学科），并将这些调查情况整理绘制成如下不完整的两幅统计图．请你根据相关信息，解答下列问题：
（1）求抽样调查的样本数是多少？
（2）求体育所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）补全条形统计图；
（4）从接受抽样调查的学生中随机选取一人，求是喜欢音乐的学生的概率．
20．（8分）如图所示，一艘轮船从A处出发向正东方向匀速航行，领航员在A处观测到灯塔C位于北偏东45°，30min后轮船航行到B处，再观测时，灯塔C位于北偏东30°，且轮船与灯塔C相距20km．求轮船航行的速度是多少km/h？（结果精确到0.1km/h）（参考数据：＝1.414，＝1.732）
21．（8分）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），顶点A、C在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F，连接OE、CF交于M，△OEC的面积等于1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OAFM的面积．
22．（10分）某水果店用四种水果共60kg混合在一起，恰好制作成A、B、C三种型号的果篮20个销售．根据下表提供的信息，解答问题：
果篮型号
A
B
C
果篮净重（kg）
2
3
4
每个果篮的利润（元）
12
10
16
（1）设制作A型果篮x个，制作B型果篮y个，求y与自变量x间的函数关系式；
（2）如果制作每种型号的果篮都不少于5个，那么制作果篮的方案有几种？并写出每种制作方案；
（3）若要使这批果篮销售的利润最大，应采用哪种制作方案？并求出最大利润．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D点在AB边上，E点在BC边上，以AD为直径的⊙O过E点，与AC边相交于点F，DE＝EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为3，求CF的长．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求A、B、C点的坐标；
（3）求证：△ACB是直角三角形；
（4）P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
2021年湖北省恩施州利川市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷的相应位置上）
1．﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
2．“新冠病毒”的平均直径为0.0000001米．用科学记数法表示“0.0000001”正确的是（ ）
A．1×10﹣7 B．1.0×10﹣6 C．10﹣7 D．1×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7．
故选：A．
3．九年级10名同学的年龄如下表：
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（个）
1
4
4
1
则这10名同学年龄的中位数和平均数是（ ）
A．15和15 B．15.5和15.5 C．15.5和16 D．16和16
【分析】根据中位数、平均数的意义和计算方法进行计算即可．
【解答】解：将这10名同学的年龄从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是15岁和16岁，
因此中位数是＝15.5（岁），
平均数为（14×1+15×4+16×4+17×21）÷10＝15.5（岁），
故选：B．
4．下列几何图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：B．
6．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣2y＝xy B．2x2+3x2＝5x4
C．（2xy3）2＝4x2y6 D．x4÷x3＝x7
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．3x与﹣2y不能合并，故本选项不符合题意；
B．2x2+3x2＝5x2，故本选项不符合题意；
C．（2xy3）2＝4x2y6，故本选项符合题意；
D．x4÷x3＝x，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28° B．32° C．58° D．60°
【分析】先利用外角和内角的关系求出∠4，再利用平行线的性质求出∠2．
【解答】解：∵∠3＝∠1＝28°，∠4＝∠3+∠A，
∴∠4＝28°+30°＝58°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝58°．
故选：C．
8．如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（ ）
A．﹣2a B．2a C． D．
【分析】设B点的横坐标为x，由于在x轴的下方作△AOB的位似图形，相似比为2，将△AOB放大，得到△A′OB′，根据位似变换的坐标特点得到A′点的横坐标．
【解答】解：∵在x轴的下方作△AOB的位似图形，AB：A′B′＝1：2，
∴相似比为2，
∵点A的横坐标是a，
∴点A的对应点A′的横坐标是：﹣2a．
故选：A．
9．两年前生产1套学生课桌凳的成本是200元．随着生产技术的进步，现在生产1套相同的课桌凳的成本是128元．求生产成本的年平均下降率x，列方程正确的是（ ）
A．200（1﹣x2）＝128 B．200（1﹣x）2＝128
C．200（1﹣2x）＝128 D．200（1﹣2x2）＝128
【分析】若这种课桌凳的年平均下降率为x，根据两年前生产1套的成本是200元，随着生产技术的进步，现在生产1套的成本是128元可列方程．
【解答】解：设这种课桌凳的年平均下降率为x，
200（1﹣x）2＝128．
故选：B．
10．一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，让2个球都是红球的情况数除以总情况数即为所求的可能性．
【解答】解：
∴P（2个球都是红球）＝＝．
故选：C．
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证得△ABC是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可．
【解答】解：连接AC，BD，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，OA＝1，OB＝OD，
∴OB＝OD＝，
∴BD＝2，
∴CD＝BC＝2，∠BAD＝120°，
∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×2＝﹣2．
故选：C．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，她与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣4和3，下列判断中：①a＞0；②abc＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a＝b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向可判断①，由抛物线经过（﹣4，0），（3，0）可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再由抛物线与y轴交点位置可得c＜0，从而判断②③⑤，由抛物线与x轴有2个交点可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线经过（﹣4，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴①正确，②正确，⑤正确．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，④正确．
故选：D．
二.填空题（本大题共有4个小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷的相应位置上）
13．分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
14．一圆锥体的主视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面展开图（扇形）的半径是 5 ．
【分析】观察图形可知，圆锥体主视图的三角形底边长等于底面圆的直径，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：由图形可知，圆锥体主视图的三角形底边长等于底面圆的直径，
6÷2＝3，
则该几何体的侧面展开图（扇形）的半径是＝5．
故答案为：5．
15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、O、C在坐标轴上，点B的坐标为（，1），若将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A′处，则点A′的坐标是 （，） ．
【分析】作A1D⊥OA于D．根据OA＝，AB＝1，得∠AOB＝30°；根据折叠，得∠A1OB＝30°，OA1＝OA＝；再进一步利用解直角三角形的知识进行求解．
【解答】解：作A1D⊥OA于D．
∵点B的坐标为（，1），
∴OA＝，AB＝1，
∴∠AOB＝30°．
根据题意，得：
∠A1OB＝30°，OA1＝OA＝．
在直角三角形A1DO中，∠A1OD＝60°，
∴OD＝，A1D＝，
即点A1（，）．
故答案为：（，）．
16．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第99个数是 14 ．
【分析】根据每个数n都连续出现n次，设这一组数的第99个数是x，则：1+2+3+4+…+x＝99，解方程即可得出答案．
【解答】解：设这一组数的第99个数是x，
因为每个数n都连续出现n次，可得：
1+2+3+4+…+x＝99，
＝99，
∵＝105，
∴105﹣14＝91，
故第92个数为开始为14，
∴第99个数是14．
三.解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值求出并代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式的值＝．
18．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC交AD于F，连接CF．求证：四边形CDEF是菱形．
【分析】由角平分线的性质得到DC＝DE，进而由“HL”定理证得Rt△ACD≌Rt△AED，得到∠3＝∠4，由平行线的性质及等腰三角形的判定得到EF＝DE＝DC，EF∥DC，由菱形的判定即可得到四边形CDEF是菱形．
【解答】证明：如图，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DC＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠3＝∠4，
∵EF∥BC，
∴∠3＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∴EF＝DE，
∴EF∥DC，EF＝DE＝DC，
∴四边形CDEF是菱形．
19．（8分）为了了解学生对音、体、美的喜欢情况，对学生进行抽样调查（问卷说明：在音、体、美中，每个学生选且只选一种自己最喜欢的学科），并将这些调查情况整理绘制成如下不完整的两幅统计图．请你根据相关信息，解答下列问题：
（1）求抽样调查的样本数是多少？
（2）求体育所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）补全条形统计图；
（4）从接受抽样调查的学生中随机选取一人，求是喜欢音乐的学生的概率．
【分析】（1）根据音乐和体育的总人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用360°乘以体育人数所占的百分比即可；
（3）求出美术的人数，即可补全统计图；
（4）用音乐的人数除以总人数，即可得出喜欢音乐的学生的概率．
【解答】解：（1）抽样调查的样本数是：（30+15）÷（1﹣10%）＝50；
（2）体育所在扇形的圆心角的度数是：×360°＝108°；
（3）美术的人数有：50×10%＝5（人），
补全条形统计图如图所示；
（4）喜欢音乐的学生的概率是＝0.6．
20．（8分）如图所示，一艘轮船从A处出发向正东方向匀速航行，领航员在A处观测到灯塔C位于北偏东45°，30min后轮船航行到B处，再观测时，灯塔C位于北偏东30°，且轮船与灯塔C相距20km．求轮船航行的速度是多少km/h？（结果精确到0.1km/h）（参考数据：＝1.414，＝1.732）
【分析】如图，作CD⊥AB于D，依题意有：∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，依题意有：∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，
∴BD＝BC＝×20＝10（km），
∴AD＝CD＝（km），
∴AB＝AD﹣BD＝（）km，
则，
即轮船航行的速度是14.6km/h．
21．（8分）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），顶点A、C在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F，连接OE、CF交于M，△OEC的面积等于1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OAFM的面积．
【分析】（1）根据三角形的面积可得点E的坐标，再根据点E的坐标可得反比例函数的解析式；
（2）首先求出点F的坐标，根据利用待定系数法求出OE和CF的关系式，联立方程组可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）由题意知C（0，2），OC＝2，
∵△OEC的面积等于1，
即×OC×EC＝1，
∴EC＝1，
∴E（1，2），且在反比例函数的图象上，
∴，求得k＝2，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由F在的图象上，求得F（2，1），
设OE为y＝k1x，
由（1）知E（1，2），求得k1＝2，
即OE为y＝2x．
设CF为y＝k2x+b，由（1）知C（0，2），F（2，1），
得，
解得，
即CF为．
联立得，
解得M（，），
∴，
∴．
22．（10分）某水果店用四种水果共60kg混合在一起，恰好制作成A、B、C三种型号的果篮20个销售．根据下表提供的信息，解答问题：
果篮型号
A
B
C
果篮净重（kg）
2
3
4
每个果篮的利润（元）
12
10
16
（1）设制作A型果篮x个，制作B型果篮y个，求y与自变量x间的函数关系式；
（2）如果制作每种型号的果篮都不少于5个，那么制作果篮的方案有几种？并写出每种制作方案；
（3）若要使这批果篮销售的利润最大，应采用哪种制作方案？并求出最大利润．
【分析】（1）表示制作C型果篮为（20﹣x﹣y）个，然后根据四种水果的总量为60千克列出方程整理即可得解．
（2）根据装运每种型号的果篮都不少于5个列出不等式组，然后根据x是正整数确定安排方案即可．
（3）根据总利润等于三种果篮的利润之和列式整理，再根据一次函数的最值问题确定安排方案．
【解答】解：（1）根据题意，制作C型果篮为（20﹣x﹣y）个，则有：2x+3y+4（20﹣x﹣y）＝60，即y＝﹣2x+20．
（2）由（1）知，制作A、B、C型果篮的个数分别为x、﹣2x+20、x，由题意得：，解得：．
∵x为整数，∴x的值为5、6、7，∴制作果篮的方案共有3种，即：
方案一：制作A型5个，B型10个，C型5个．
方案二：制作A型6个，B型8个，C型6个．
方案三：制作A型7个，B型6个，C型7个．
（3）设利润为W（元）则：
W＝12x+10（﹣2x+10）+16x，
＝8x+200．
∵k＝8＞0
∴W的值随x的增大而增大，要使W最大，由（1）知y＝﹣2x+20，则0≤x≤10，
∴当x＝10时，W最大＝8×10+200＝280．
∴当制作A型10个，B型0个，C型10个时，获得最大利润280元．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D点在AB边上，E点在BC边上，以AD为直径的⊙O过E点，与AC边相交于点F，DE＝EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为3，求CF的长．
【分析】（1）如图，连接半径OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，求得∠OAE＝∠FAE，根据平行线的性质得到OE⊥BC，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）如图，作DH⊥BC于H，根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BD＝2，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接半径OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OAE＝∠FAE，
∴∠OEA＝∠FAE，
∴OE∥AC，AC⊥BC，
∴OE⊥BC，
∵OE为圆O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，作DH⊥BC于H，
∵sin∠B＝，OE＝OD＝OA＝3，
∴，
解得OB＝5，
故BD＝2，
∴，
∴．
由（1）知DH∥OE∥AC，且OD＝OA，
∴EH＝EC，
又∵DE＝EF，
∴Rt△EDH≌Rt△EFC（HL），
∴．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求A、B、C点的坐标；
（3）求证：△ACB是直角三角形；
（4）P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数确定抛物线的函数解析式；
（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系写出带你A、B、C的坐标；
（3）利用勾股定理的逆定理证明；
（4）需要分类讨论：分当P点在AB（x轴）下方和当P点在AB（x轴）上方两种情况，利用平行四边形的对边平行且相等的性质解答．
【解答】（1）解：依题意得：，
解得．
∴即为所求；
（2）解：由知，令x＝0，得y＝﹣2；
令y＝0，即，
解得x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）；
（3）证明：如图，由（2）知OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴AB＝OA+OB＝5．
又由勾股定理得：AC＝，BC＝．
∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（4）解：如图，①当P点在AB（x轴）下方时，
则当PC∥AB，且PC＝AB时，四边形ABCP为平行四边形，
过C点向右作PC∥AB，此时P1（﹣5，﹣2）．
过C点向左作PC∥AB，此时P2（5，﹣2）；
②当P点在AB（x轴）上方时，
则当AB和CP为对角线时，四边形ABCP为平行四边形，
作P3D⊥AB于D，连接P3C交AB于E，则P3D＝OC＝2，OE＝，
∴OD＝3，即P3（3，2）（此时为特殊的平行四边形）．
∴满足要求的P点有3个，分别为P1（﹣5，﹣2），P2（5，﹣2），P3（3，2）．
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