专题07 相似三角形的基本模型 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题07 相似三角形的基本模型

【模型一】A字型

1.如图，在△ABC中，DE∥BC，，BC=12，则DE的长是（     ）
A．3          B．4         C．5          D．6

2.如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D，E，F分别在边AC，AB和BC上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF的面积是__________．

3．如图，在等腰△ABC中，底边BC=12cm，高AD=8cm，四边形PQRS是正方形.

(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？

(2)求正方形PQRS的边长.

【模型二】X字型

1.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（     ）
A．3∶2         B．3∶1          C．1∶1         D．1∶2

2.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（      ）
A．    B．    C．    D．   

3.如图，平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于F，若，AD的长为6，求BF的长及的值.

4．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F.

(1)求证：；

(2)求证： ；

(3)若，，求PC的长.

【模型三】旋转型

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'在AB上，A'B'交AC于F，则图中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其他线段）（      ）
A．1个             B．2个             C．3个             D．4个

2．如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（   ）

A．∠C=∠AED  B．∠B=∠D C．  D．

3．综合与实践﹣四边形旋转中的数学

“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．

任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．

（1）请直接写出CG的长是______．

（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．

（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．

任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．

（4）如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．

【模型四】“子母”型（大三角形中包含小三角形）

1.如图1，在△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长是（    ）

A．4             B．             C．6             D．

2.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（      ）
A．             B．
C．             D．

3．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．

4．如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为             .

【模型五】垂直型

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（     ）
A．1对              B．2对             C．3对            D．4对

2、如图，在矩形ABCD中，M是BC边上且与B，C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A，P，D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点P有_______个．

3．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝2，BC＝6，求BD的长．

【模型六】一线三等角型

1.如图，AB⊥BD，ED⊥CD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB的长是__________．

2.如图2，在边长为9的正△ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为_______．

3．如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，连接AD,DE，且∠B=∠ADE=∠C．

（1）证明：；

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B,C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．