易错11 二元一次方程组的实际应用问题易错-2021-2022学年七年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）

2021-2022学年七年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）

易错11 二元一次方程组的实际应用问题易错

【典型例题】

1．（2020·陕西西安市·八年级期末）口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售、两种品牌口罩，购买2盒品牌和3盒品牌的口罩共需480元；购买3盒品牌和1盒品牌的口罩共需370元．

（1）求这两种品牌口罩的单价．

（2）学校开学前夕，该药店对学生进行优惠销售这两种口罩，具体办法如下：品牌口罩按原价的八折销售，品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售．当学生李明到该药店需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算?

【答案】（1）种品牌口罩单价为元， 两种品牌口罩单价为元；（2）买种品牌的口罩更合算，理由见解析．

【分析】

（1）设种品牌口罩单价为元， 种品牌口罩单价为元，根据题意得列二元一次方程组，利用代入消元法解方程即可；

（2）分别计算购买种口罩、种口罩的总花费，再作比较得出答案．

【详解】

解：（1）设种品牌口罩单价为元， 两种品牌口罩单价为元，根据题意得，

由②得，③

把③代入①得，

把代入③得

经检验，符合题意，

答：种品牌口罩单价为元， 两种品牌口罩单价为元．

（2）若李明到该药店购买种品牌口罩盒，

总花费：（元）；

若李明到该药店购买种品牌口罩盒，

 ，

总花费：（元），

 ，

买种品牌的口罩更合算，

答：买种品牌的口罩更合算．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【专题训练】

一、选择题

1．（2021·太原市第三十七中学校八年级期末）春节将至，某超市准备用价格分别是36元和20元的两种糖果混合成的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元．若设需要36元的糖果，20元的糖果，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由题意得等量关系：两种糖果混合成的什锦糖；36元/kg的糖果的费用＋20元/kg的糖果的费用＝100kg×28，即可得出方程组．

【详解】

解：设需要36元/kg的糖果，20元/kg的糖果，由题意得：

．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

2．（2020·甘肃兰州市·兰州十一中九年级月考）为美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木，其中甲种花木每棵100元，乙种花木每棵80元，若甲种花木的数量是乙种花木的3倍，且两种花木共花费19000元．设购买甲种花木x棵，乙种花木y棵，根据题意，可列方程组（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．

【详解】

解：由题意可得，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查列二元一次方程组，理解题意，找准数量关系是解题关键．

3．（2021·重庆北碚区·西南大学附中七年级期末）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．

【详解】

解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可得

故选：A

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

4．（2020·沙坪坝区·重庆一中九年级一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人？该物品价值多少元？若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据“每人出8元，则多了3元；每人出7元，则少了4元”可得方程组．

【详解】

解：设有x人，物品价值y元，

根据题意，可列方程组为：，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．

5．（2021·陕西铜川市·八年级期末）足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为负的场数为，则可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设这个队胜场，负场，根据总场数是8场及胜场得分减去负场得分等于12分，列出方程组即可．

【详解】

解：设这个队胜场，负场，

根据题意，得．

故答案为：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

二、填空题

6．（2021·山东菏泽市·八年级期末）如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买1束鲜花和1个礼盒的总价为____元．

【答案】88

【分析】

设1束鲜花x元，一个礼盒y元．根据题意可列方程组，求出x、y再相加即可．

【详解】

设1束鲜花x元，一个礼盒y元．

则有：，

解得：，

所以1束鲜花33元，一个礼盒55元．

所以购买1束鲜花和一个礼盒的总价为33+55=88元．

故答案为88．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解答本题的关键．

7．（2020·湖北荆州市·七年级期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为_____万元．

【答案】40

【分析】

设该公司申请的甲种贷款的数额为x万元，申请的乙种贷款的数额为y万元，根据该公司申请的甲、乙两种贷款共68万元且每年需付出3.2万元利息，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设该公司申请的甲种贷款的数额为x万元，申请的乙种贷款的数额为y万元，

依题意得：，

解得：．

故答案为：40．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8．（2020·广东广州市·七年级期末）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？根据题意，求得大马有________匹 ．

【答案】25

【分析】

设有匹大马，匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组求解．

【详解】

解：设有匹大马，匹小马，根据题意得：

，

解得．

答：有25匹大马，75匹小马．

故答案为：25．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，选择合适的等量关系，列出方程组．

9．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，用8块相同长方形地砖拼成一块宽为60厘米大的长方形地面，则大长方形的面积为_____．

【答案】5400cm2

【分析】

设每块地砖的长为xcm，宽为ycm，根据图中关系可得x+y=60，x=3y，求两方程的解即可．

【详解】

解：设每块地砖的长为xcm，宽为ycm，

根据题意得，

解这个方程组，得，

∴这个大长方形的长为45×2=90cm，

∴大长方形的面积为90×60=5400（cm²），

故答案为：5400cm2．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用，正确理解图意并列出方程组是解题的关键．

10．（2021·上海九年级专题练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，根据题意，列出的方程组是__________．

【答案】

【分析】

设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】

解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，

依题意，得：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

三、解答题

11．（2021·广东深圳市·八年级期末）根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2：5．该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶

【分析】

设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解．

【详解】

解：设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶

由题意得

解得

答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．

12．（2021·山东菏泽市·八年级期末）我市某中学组织学生参加夏令营活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座客车，则多出1辆车，且空出30个座位没人座．试问：此次参加夏令营的学生共有多少人？原计划租45座客车多少辆？

【答案】这批学生人数是330人，原计划租用45座客车7辆．

【分析】

设这批学生共x人，原计划租用45座客车y辆．根据题意可列出方程组，解出x、y即可．

【详解】

解：设这批学生共x人，原计划租用45座客车y辆．

根据题意，得

解得，

答：这批学生人数是330人，原计划租用45座客车7辆．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解答本题的关键．

13．（2021·湖南邵阳市·七年级期末）2020年新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资．某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每人每小时可加工口罩70个，B组工人每人每小时可加工口罩50个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300个．试问：A、B两组工人各多少人？

【答案】A组工人有90人，B组工人有60人

【分析】

设A组工人有x人，B组工人有y人，根据A、B两组工人共150人每小时可加工口罩9300个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

设A组工人有x人，B组工人有y人，

依题意得：，

解得：．

答：A组工人有90人，B组工人有60人．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找出两个等量关系，然后列方程组．当然本题也可用一元一次方程来解决．

14．（2021·西安市曲江第一中学八年级期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计租车方案．

【答案】（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）故共有三种租车方案，分别为：①A型车4辆，B型车6辆；②A型车8辆，B型车3辆；③A型车12辆，B型车0辆．

【分析】

（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）由（1）的结论结合某物流公司现有36吨货物，即可得出3a+4b=36，即，由a、b均为正数即可得出租车方案．

【详解】

解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，

根据题意得：，

解得：，

答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；

（2）由题意可得：3a+4b=36，

∴，

∵a，b均为整数，

∴有、和三种情况，

故共有三种租车方案，分别为：

①A型车4辆，B型车6辆；

②A型车8辆，B型车3辆；

③A型车12辆，B型车0辆．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货36吨，找出3a+4b=36．

15．（2020·日照市新营中学七年级期中）某制衣厂现有22名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的村衫和裤子．每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．

（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子配套，一件衬衫配两条裤子，则应各安排多少人分别制作衬衫和裤子？（此问题用列方程组方法求解）．

（2）已知制作件衬衫可获得利润35元，制作一条裤子可获得利润15元，在（1）的条件下，求该厂每天制作衬衫和裤子所获得的利润共是多少元？

【答案】（1）应安排10人制作衬衫，安排12人制作裤子；（2）1950元

【分析】

（1）设应安排x人制作衬衫，安排y人制作裤子，根据制作衬衫和裤子的共22人且制作裤子的总数量是制作衬衫总数量的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总利润=每件的利润×制作的总数量，即可求出结论．

【详解】

解：（1）设应安排x人制作衬衫，安排y人制作裤子，

依题意，得：，

解得：．

答：应安排10人制作衬衫，安排12人制作裤子．

（2）35×3×10+15×5×12=1950（元）．

答：在（1）的条件下，该厂每天制作衬衫和裤子所获得的利润共是1950元．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

16．（2020·广西南宁市·南宁二中七年级月考）某次篮球联赛部分积分如下：

根据表格提供的信息解答下列问题：

（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？

（2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．

【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分；（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据表格中的数据列出方程组，解之即可；

（2）设胜场数是a，负场数是（14-a），结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于它的负场总积分，列一元一次方程求解即可．

【详解】

解：（1）设胜一场积x分，负一场积y分，

依题意得：，

解得：，

∴胜一场积2分，负一场积1分．

（2）若胜场总积分等于负场总积分，

设胜场数是a，负场数是（14-a），依题意得：

2a=14-a，

解得：a=，又a为整数，

∴胜场总积分不能等于负场总积分．

【点睛】

本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，恰当地设未知数并正确地列方程是解题的关键．

17．（2020·四川广安市·九年级二模）抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．

（1）求1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2）该物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．

【答案】（1）1辆型车装满货物一次可运3吨，1辆型车装满货物一次可运4吨；（2）共有3种租车方案：方案一，型车9辆，型车1辆；方案二，型车5辆，型车4辆；方案三，型车1辆，型车7辆，最省钱的租车方案是型车1辆，型车7辆，最少租车费为940元

【分析】

（1）设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意得：，解方程组即可；

（2）根据题意得：，求方程正整数解，解得，可知共有3种租车方案：求出每种方案费用比较即可．

【详解】

解：（1）设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，

根据题意得：，

解得，

答：1辆型车装满货物一次可运3吨，1辆型车装满货物一次可运4吨．

（2）根据题意得：，

，

要为正整数，

，

共有3种租车方案：

方案一，型车9辆，型车1辆；

方案二，型车5辆，型车4辆；

方案三，型车1辆，型车7辆．

方案一需租金：（元），

方案二需租金：（元），

方案三需租金：（元），

，

最省钱的租车方案是方案三：型车1辆，型车7辆，最少租车费为940元．

【点睛】

本题考查列二元一次方程组解应用题，二元一次方程的正整数解，方案设计，费用最小，掌握列二元一次方程组解应用题，二元一次方程的正整数解，方案设计，费用最小，关键是求出二元一次方程的正整数解．

18．（2020·浙江杭州市·七年级期中）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．

（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；

（2）当销售总收入为16760元时，

①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；

②若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．

【答案】（1）a=20；（2）①圆篮共包装了44篮，方篮共包装了36篮；②b=9或18

【分析】

（1）根据“销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元”，列出关于a的方程，即可求解；

（2）①设圆篮包装了x篮，方篮包装了y篮，列出关于x，y的方程组，即可求解；②设此时出售了m篮圆篮和n篮方篮杨梅，列出关于m，n的方程组，求出b的范围，进而即可求解．

【详解】

（1）根据题意得：160a+270a=8600，解得：a=20；

（2）①设圆篮包装了x篮，方篮包装了y篮，

根据题意得：，

解得：，

答：圆篮共包装了44篮，方篮共包装了36篮；

②设此时出售了m篮圆篮和n篮方篮杨梅，

根据题意得：，

解关于m，n的方程组得：，

∵n为正整数，

∴＞0且b是9的倍数，

解得：且b是9的倍数，

∴b=9或18．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，通过等量关系，列出方程（组）是解题的关键．