易错07 平面直角坐标系中规律问题易错-2021-2022学年七年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）

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2021-2022学年七年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）
易错07 平面直角坐标系中规律问题易错
【典型例题】
1．（2020·山西晋中市·八年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是______．

【答案】（763，-1）
【分析】
观察题图可知，先根据P3(1，0)， P6 (2，0)，即可得到P3n(n，0)，P3n+1(n，-1)，再根据P3×673(673，0) ，可得P2019 (673，0)，进而得到P2020(673，-1)．
【详解】
由图可知P3(1，0)， P6 (2，0)，···，P3n(n，0)，P3n+1(n，-1)，
∵3×673=2019，
∴P3×673(673，0) ，即P2019 (673，0)，
∴P2020(673，-1)．
故答案为：（763，-1）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形的变化规律得到P3n(n，0)．



【专题训练】
一、 选择题
1．（2021·福建三明市·八年级期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，…，．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求，，，，发现循环规律即可解题．
【详解】
解：点的坐标为，
的终结点为的坐标为（-1，2），
点的终结点为的坐标为（1，4），
点的终结点为的坐标为（3，2），
点的终结点为的坐标为（1，0），
观察发现，P点坐标四个一循环，
2021÷4=505……1，
点的坐标与的坐标相同，
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键．
2．（2021·四川达州市·八年级期末）如图，一个质点从原点开始，在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即…，且每秒移动一个单位，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据点的运动规律得出走到（n,n）时需n（n+1）秒，且当n为奇数时，下一秒运动方向向下，n为偶数时，下一秒运动方向向左，再进一步分析即可．
【详解】
观察图象可知，
走到（1,1）时需2秒（1×2+1）；
走到（2,2）时需6秒（2×3）；
走到（3,3）时需12秒（3×4）；
….
走到（n,n）时需n（n+1）秒，且当n为奇数时，下一秒运动方向向下，n为偶数时，下一秒运动方向向左，
∵7×8=56，
∴下一秒向下，走7个单位后（即63秒）到达（7,0），
∴第秒时质点所在位置的坐标是(8,0)，
故选：D．
【点睛】
本题考查坐标系中点的规律题，此类问题中，不仅要注意特殊的（如：拐点、坐标轴上的点）的坐标与时间的关系，还要注意此时点运动的方向．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】
∵ 矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇，
此时相遇点的坐标为：（-1，-1），
故选：D．
【点睛】
本题考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点．
4．（2021·河南郑州市·九年级期末）在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2021秒时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，观察，发现规律： ， ， ， ， ，…，∴ ， ，，，∵2021＝4×505＋1，∴为 ．
故选:C．
【点睛】
本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律．
5．（2020·珠海市紫荆中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，1） B．（1，1） C．（1，0） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【分析】
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】
解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
BC＝1﹣（﹣2）＝3，
CD＝1﹣（﹣1）＝2，
DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为：2+3+2+3＝10，
2025÷10＝202…5，
∴细线另一端在绕四边形第203圈的第5个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是（﹣1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2019个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
6．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点的纵坐标是（ ）

A．1 B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】
观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，-2，0，2，0，六个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【详解】
观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，-2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，2），
第6次接着运动到点（6，0），
第7次接着运动到点（7，1），
…，
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，-2，0，2，0，六个数一个循环，
所以2021÷6=336…5，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型－点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
7．（2021·合肥市第四十五中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知分析得出横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而计算即可．
【详解】
解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（−1，1），
第2次接着运动到点（−2，0），
第3次接着运动到点（−3，2），
第4次运动到点（−4，0），
第5次接着运动到点（−5，1），…，
∴横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2021次运动后，动点P的纵坐标为：2021÷4＝505……1，
故纵坐标为四个数中第1个，即为1，
∴经过第2021次运动后，动点P的坐标是：（−2021，1），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
8．（2021·全国八年级）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点（　　　）

A．（3，44） B．（4，45） C．（44，3） D．（45，4）
【答案】A
【分析】
由题目中所给的跳蚤运动的特点找出规律，即可解答．
【详解】
由图可得，（0，1）表示1＝12次后跳蚤所在位置；
（0，2）表示8＝（2＋1）2−1次后跳蚤所在位置；
（0，3）表示9＝32次后跳蚤所在位置；
（0，4）表示24＝（4＋1）2−1次后跳蚤所在位置；
…
∴（0，44）表示（44＋1）2−1＝2024次后跳蚤所在位置，
则（3，44）表示第2021次后跳蚤所在位置．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
二、填空题
9．（2021·安徽宿州市·八年级期末）在一单位为1的方格纸上，有一列点，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点…则的坐标为_________．

【答案】（1012，0）
【分析】
观察图形结合点A1、A5、A9的坐标，即可得出变化规律“A4n+1（2n+2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出点A2021的坐标．
【详解】
解：观察，发现：A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0），…，
∴A4n+1（2n+2，0）（n为自然数）．
∵2021=505×4+1，
∴A2021的坐标为（1012，0）．
故答案为：（1012，0）．
【点睛】
本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“A4n+1（2n+2，0）（n为自然数）”是解题的关键．
10．（2020·成都市新都区新川外国语学校八年级月考）如图，已知A1(1，0)、A2(1，1)、A3(﹣1，1)、A4(﹣1，﹣1)、A5(2，﹣1)、…．则点A2020的坐标为_____．

【答案】(﹣505，﹣505)
【分析】
根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（A1和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2020的坐标．
【详解】
解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，
∵2020÷4＝505，
∴点A2020在第三象限，
∴A2020是第三象限的第505个点，
∴点A2020的坐标为：(﹣505，﹣505)．
故答案为：(﹣505，﹣505)．
【点睛】
本题主要考查点的坐标和规律探索，难度一般，根据题意和图像总结出规律是解决本题的关键．
11．（2021·全国八年级）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转，点依次落在点，，，，…的位置，那么的坐标是________．

【答案】
【分析】
先分别求出的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
由题意得：，，，，，，，，，
观察可知，，
归纳类推得：的坐标为，其中n为正整数，
∵，
∴的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的坐标的规律性，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
12．（2020·青岛市即墨区实验学校八年级期中）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放． 点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边"OA1→A1Ａ２→A２A3→A３A4→A4A5…．"的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数）；则点P2021的横坐标为_______

【答案】．
【分析】
先分别求出A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、……的坐标，据此发现每个点的横坐标为序号的一半，据此解答即可．
【详解】
解：根据题意可知，，，，，，，……
由此可知，每个点的横坐标为序号的一半，
∴点P2021的横坐标为：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查探索规律，解题的关键是根据题意发现规律．
13．（2019·黑龙江绥化市·八年级期末）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A2020的坐标是________．

【答案】（1010,0）
【分析】
这是一个关于坐标点的周期问题，先找到蚂蚁运动的周期，蚂蚁每运动4次为一个周期，题目问点的坐标，即，相当于蚂蚁运动了505个周期，再从前4个点中找到与之对应的点即可求出点的坐标.
【详解】
通过观察蚂蚁运动的轨迹可以发现蚂蚁的运动是有周期性的，
蚂蚁每运动4次为一个周期，
可得：，
即点是蚂蚁运动了505个周期，
此时与之对应的点是，
点的坐标为（2，0），
则点的坐标为（1010，0）
【点睛】
本题是一道关于坐标点的规律题型，解题的关键是通过观察得到其中的周期，再结合所求点与第一个周期中与之对应点，即可得到答案.
14．（2020·武汉六中上智中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），经过第1次变换后所得的坐标是，则经过第2020次变换后所得的点坐标是_____．

【答案】（a，b）．
【分析】
利用已知得出图形的变换规律，进而得出经过第2020次变换后所得A点坐标与第4次变换后的坐标相同求出即可．
【详解】
解：∵在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，
∴对应图形4次循环一周，
∵2020÷4=505，
∴经过第2020次变换后所得A点坐标与第4次变换后的坐标相同，故其坐标为：（a，b）．
故答案为：（a，b）．
【点睛】
此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称点的性质，得出A点变化规律是解题关键．
15．（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期中）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，将进行n次变换，得到，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是__________．

【答案】
【分析】
根据图形写出点A系列的坐标与点B系列的坐标，根据具体数值找到规律即可．
【详解】
∵，，，，，，，，，
∴的横坐标与的横坐标相同，纵坐标为3，点的横坐标为，纵坐标为0，
∴的坐标是，
∴．
【点睛】
依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关键．
16．（2020·全国九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是__．

【答案】（2021，1）
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】
半径为1个单位长度的半圆的周长为2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2021÷4＝505余1，∴P的坐标是（2021，1），故答案为：（2021，1）．
【点睛】
此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
17．（2020·河北保定市·七年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是_______；经过第次运动后，动点的坐标是_______．

【答案】
【分析】
分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【详解】
分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∵1000=4×250，
∴当第250循环结束时，点P位置在（1000，0），
∵2019=4×504+3，
∴当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），
在此基础之上运动三次到（2019，2），
故答案为（1000，0）；（2019，2）．
【点睛】
本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
18．（2020·河南焦作市·七年级期末）直角坐标系内，一动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（-1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，-2），……，按这样的运动规律，动点第2021次运动到的点的坐标为____________．

【答案】(2020,1)
【分析】
由图中点的坐标可得：每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2021除以4，再由商和余数的情况确定运动后点的坐标．
【详解】
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次运动为第505循环组的第1次运动，
横坐标为505×4=2020，纵坐标为1，
∴点的坐标为（2020，1）．
故答案为：（2020，1）．
【点睛】
考查了点的坐标规律，解题关键是观察点的坐标变化，并寻找规律．
三、解答题
19．（2021·青岛实验学校九年级期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，按照这个规律解决下列问题：


写出点的坐标；
点的位置在_____________填“x轴上方”“x轴下方”或“x轴上”；
试写出点的坐标是正整数．
【答案】
解：（1）由数轴可得：，，，；
（2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，，
与的纵坐标相同，在x轴上方，
故答案为：x轴上方；
（3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环，
∴点的坐标是正整数为A（n-1,0）或或或．
【点睛】
本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键．