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九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质课时作业
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这是一份九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质课时作业，共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题三 反比例函数与几何综合专题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为( )
A． B． C．3.5 D．5
3．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
4．如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（ ）
A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
5．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣6
6．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是( )
A． B． C． D．12
7．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
8．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
10．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+ B．4+ C．4 D．-1+
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为_____．
13．如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是____．
14．如图，一次函数与轴、轴分别交于两点，以为一边在第二象限作正方形，反比例函数经过点．将正方形沿轴正方向平移个单位后，点恰好落在反比例函数上，则的值是_______．
15．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____．
16．图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为________．
17．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=____．
18．如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________.
19．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为_____；
20．如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于____．
（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是______________．
21．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为____．
22．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，连结DE．若四边形ODBE的面积为9，则△ODE的面积是________．
23．如图，反比例函数的图象与以原点为圆心的圆相交，其中，则图中阴影部分面积为________（结果保留π）.
24．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A(0，1)，点C、D在反比例函数y=(k＞0)的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为_____．
三、解答题
25．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．
26． 如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接．
求反比例函数和直线的表达式：
和的面积分别为求．
27．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
28．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1）________，点的坐标为________；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
参考答案
1．A
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，
∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°．
∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE．
∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4．
∵AB=5，
∴OB= =3．
在△ABO和△BCE中，
∵∠OAB=∠CBE，∠AOB=∠BEC，AB=BC，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，
∴点C的坐标为（3，1）．
∵反比例函数（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为．
故选A．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
2．B
【分析】设点D(m，)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.
解：设点D(m，)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：
∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，
∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，﹣1)，CG＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，
则点E(﹣，﹣5)，GE＝，
CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，
故选B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.
3．B
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线, 再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．
解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE，
设A（x，），则B（2x，），
故CD=，AD=，
∵△ADO的面积为1，
∴AD•OC=1，，
解得，
∴．
故选B．
考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．
4．C
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设C（a，b），证明△OAE≌△COF，求得A与D的坐标，再列出a、b的方程组求得a、b，便可求得k．
解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OA＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠AOE+∠OEA＝90°，
∴∠OEA＝∠COF，
在△OAE和△COF中，
，
∴△OAE≌△COF（AAS），
∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，
∴A（﹣b，a），
∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，
∴D是AC的中点，
∴∴D ，
∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝ ，即a2﹣b2＝4ab，
∵B点的纵坐标为4，
∴D点纵坐标为 ，即a+b＝4，
联立方程组 ，
解得， ，或（舍去），
∴k＝ab＝2﹣2．
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质和判定．解决本题的关键是借助正方形的性质找到对应点的联系．
5．A
【分析】连接EC，OA，设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），得到B点坐标，代入反比例函数解析式整理得到mn＝3k，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO=14，整理得到方程14＝﹣k﹣+，求解方程即可.
解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（，），
∵点B在y＝上，
∴`＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA，
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，
∴14＝﹣k﹣+，
∴k＝﹣12．
故选A．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何综合，解此题的关键在于准确理解题意，构造适当的辅助线进行解答.
6．C
【分析】设B点的坐标为（a，b），由BD=3AD，得D（，b），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE= 9求出k.
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴=k，
∴E（a， ），
∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-• -•-••（b-）=9，
∴k=，
故选：C
【点拨】考核知识点：反比例函数系数k的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
7．B
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
解：过点D做DF⊥BC于F，
由已知，BC=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=5，
∵BE=3DE，
∴设DE=x，则BE=3x，
∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，FD=3，
设OB=a，
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a=，
∴点C坐标为（5，）
∴k=.
故选B．
【点拨】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
8．C
【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.
解：如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．
【点拨】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
9．D
【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
解：作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
10．A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解：如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-|=，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选A．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
11．-6
解：因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
12．2
【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
解：如图，∵点C坐标为（2，﹣2），
∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，
∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，
故答案为2．
【点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及矩形的面积之比、反比例函数比例系数k的几何意义，解答的关键是理解系数k的几何意义和矩形的面积比的含义．
13．（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）
【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标.
解：如图
∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8．
∴反比例函数为
∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．
【点拨】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P点的所有情况都画出来．
14．1
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，先求出点A、B的坐标，然后利用正方形的性质、余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC，进而可利用全等三角形的性质求出点D、C的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，于是可得点G坐标，再根据平移的性质即可求出答案．
解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）．
则OB＝2，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
∵∠OBA＝∠DAF，∠BOA＝∠AFD，AB＝AD，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理可证：△OAB≌△EBC，
∴AF＝OB＝EC＝2，DF＝OA＝BE＝1，
∴D的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣2，3）．
将点D代入得：k＝﹣3，
则函数的解析式是：y＝﹣．
∴G的坐标是（﹣1，3），
∴当点C与G重合时，正方形沿x轴正方向平移了1个单位，即a＝1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C、D的坐标是解题的关键．
15．﹣3
解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB=5，BC=2﹣（﹣3）=2+3=5，AB⊥x轴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F，
则A′E=3，BE==4，
∵△A′BC′是△ABC旋转得到，
∴∠A′BE=∠C′BF，
在△A′BE和△C′BF中，
，
∴△A′BE≌△C′BF（AAS），
∴BF=BE=4，C′F=A′E=3，
∴OF=BF﹣OB=4﹣3=1，
∴点C′的坐标为（1，﹣3），
把（1，﹣3）代入y=得，=﹣3，
解得k=﹣3．
故答案是：﹣3．
16．8．
解：先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k=4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD=4a﹣a=3a，
∵△AOD的面积为3，
∴×3a×b=3，
∴ab=2，
∴k=4ab=4×2=8．
故答案为8
“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为8列出关系式是解题的关键．
17．=﹣.
解：试题分析：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC=a，∴A（a，a），
∵A在函数y1=（x＞0）的图象上，∴k1=a•a=a²，
Rt△BOC中，OB=2OC=2a，∴BC==3a，∴B（a，﹣3a），
∵B在函数y2=（x＞0）的图象上，∴k2=﹣3a·a=﹣3a²，∴=﹣；
故答案为﹣．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
18．（﹣1，﹣6）．
解：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，
根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为，
由A（2，3），可得OF=1，
当x=﹣1时，y=﹣+2=，即P（﹣1，），
∴PF=，
将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，
∴PD=HD，PG=EH=，
设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2﹣x=3﹣x，
在Rt△PDF中，PF2+DF2=PD2，即，
解得x=1，
∴OD=2﹣1=1，
即D（1，0），
根据点A（2，3）和点D（1，0），
可得直线AD的解析式为y=3x﹣3，解方程组：，
可得：或，
∴C（﹣1，﹣6），
故答案为（﹣1，﹣6）．
19．
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4，∵AB=5，∴OB= =3，在△ABO和△BCE中，∵∠OAB=∠CBE，∠AOB=∠BEC，AB=BC，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为．故答案为．
点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
20． ≤k≤18．
解：（1）如图，过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°．
∵四边形A′B′C′D′为正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
∵∠ED′A′=∠OC′D′，∠A′ED′=∠D′OC′，A′D′=D′C′，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS），
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．∵点A′、B′在反比例函数的图象上，
∴，解得：或（舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′==．
故答案为．
（2）设直线A′B′解析式为，直线C′D′解析式为，
∵点A′（1，2），点B′（2，1），点C′（1，0），点D′（0，1），
∴有和，解得：和，
∴直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1．
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．
当A点在直线C′D′上时，有2m=﹣m+1，解得：m=，
此时点A的坐标为（，），
∴k=×=；
当点D在直线A′B′上时，有n=3，此时点A的坐标为（3，6），
∴k=3×6=18．
综上可知：当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤k≤18．
故答案为≤k≤18．
21．1+.
解：试题分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中，，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN=，OM=AN=，
∴OD=+，OD=BD=﹣，
∴B（+，﹣），
∴双曲线y=（x＞0）同时经过点A和B，
∴（+）•（﹣）=k，
整理得：k2﹣2k﹣4=0，
解得：k=1±（负值舍去），
∴k=1+．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
22．
【分析】设B的坐标为（2a,2b）,E点坐标为（x,2b）,D点坐标为（2a,y）,因为D、E、M在反比例函数图象上，则ab=k，2bx=k, 2ay=k, 根据四边形ODBE的面积列式，求得k值，再由2bx×2ay=4abxy=k2=9, 求得xy的值，然后根据所求的结果求出△BED的面积，则△ODE的面积就是四边形ODBE的面积和△BED的面积之差.
解：设B的坐标为（2a,2b）, 则M点坐标为（a,b）,
∵M在AC上，
∴ab=k（k>0）,
设E点坐标为（x,2b）,D点坐标为（2a,y）,
则2bx=k, 2ay=k,
∴S四边形ODBE=2a×2b-×(2bx+2ay)=9,
即4k- (k+k)=9,
解得k=3,
∵2bx×2ay=4abxy=k2=9,
∴4abxy=9,
解得：xy=,
则S△BED=BE×BD=
,
∴ S△ODE = S四边形ODBE -S△BED=9-
【点拨】本题主要考查反比函数与几何综合，解题关键在于利用面积建立等式求出k.
23．
【分析】根据，即可求出圆的半径和∠AOB，根据反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积，利用扇形面积公式即可解答.
解：
如图，∵
∴∠AOD=60°，OA=2
∵A、B关于直线y=x对称，
∴∠AOB=2×(60°-45°)=30°
∵反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形
∴S阴影=S扇形AOB=
故答案为
【点拨】本题考查了反比例函数和圆，熟练掌握反比例函数的性质以及扇形的面积公式是解题关键.
24．
解：如图，作DF⊥y轴于F，过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G，CG交x轴于K，作BH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠OAE=90°，∵∠AEO+∠OAE=90°，∴∠DAF=∠AEO，
∵AB=2AD，E为AB的中点，∴AD=AE，
在△ADF和△EAO中，
∵∠DAF=∠AEO，∠AFD=∠AOE=90°，AD=AE，
∴△ADF≌△EAO（AAS），
∴DF=OA=1，AF=OE，∴D（1，k），∴AF=k﹣1，
同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，
∴BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k﹣1，
∴OK=2（k﹣1）+1=2k﹣1，CK=k﹣2，
∴C（2k﹣1，k﹣2），
∴（2k﹣1）（k﹣2）=k，
解得k1=，k2=，
∵k﹣1＞0，∴k=．
故答案为．
【点拨】本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
25．（1）y=；（2）．
【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD即可求得．
解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，
∴AB=OB=2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，
∴C（，1），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1=， ∴k=，
∴反比例函数的关系式为y=；
（2）∵OB=2，
∴D的横坐标为2，
代入y=得，y=， ∴D（2，）， ∴BD=，
∵AB=2， ∴AD=， ∴S△ACD=AD•BE=××，
∴S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣×2×2﹣．
【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
26．（1）反比例函数的解析式为，直线AB为；（2）
【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出．
解：由点在反比例函数图象上，
反比例函数的解析式为
将点代入得
设直线的表达式为
解得
直线的表达式为；
由点坐标得点到的距离为
设与轴的交点为可得如图：
由点知点到的距离分别为，3
.
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型．
27．（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.
解：分析：（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上
∴k=8
∴y1=
∵a=2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，
，
解得，
∴y2=x﹣2；
②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方，
∴由图象得：2＜x＜4；
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO，
∵O为AA′中点，
S△AOB=S△AOA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴，
解得k=6；
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）.
把A′代入到y=，得：﹣，
∴n=，
∴A′B解析式为y=﹣.
当x=a时，点D纵坐标为，
∴AD=
∵AD=AF，
∴点F和点P横坐标为，
∴点P纵坐标为.
∴点P在y1═（x＞0）的图象上.
点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
28．（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答
解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，；
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当a=1时，面积的最大值为．
【点拨】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
专题三 反比例函数与几何综合专题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为( )
A． B． C．3.5 D．5
3．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
4．如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（ ）
A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
5．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣6
6．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是( )
A． B． C． D．12
7．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
8．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
10．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+ B．4+ C．4 D．-1+
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为_____．
13．如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是____．
14．如图，一次函数与轴、轴分别交于两点，以为一边在第二象限作正方形，反比例函数经过点．将正方形沿轴正方向平移个单位后，点恰好落在反比例函数上，则的值是_______．
15．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____．
16．图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为________．
17．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=____．
18．如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________.
19．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为_____；
20．如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于____．
（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是______________．
21．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为____．
22．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，连结DE．若四边形ODBE的面积为9，则△ODE的面积是________．
23．如图，反比例函数的图象与以原点为圆心的圆相交，其中，则图中阴影部分面积为________（结果保留π）.
24．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A(0，1)，点C、D在反比例函数y=(k＞0)的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为_____．
三、解答题
25．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．
26． 如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接．
求反比例函数和直线的表达式：
和的面积分别为求．
27．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
28．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1）________，点的坐标为________；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
参考答案
1．A
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，
∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°．
∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE．
∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4．
∵AB=5，
∴OB= =3．
在△ABO和△BCE中，
∵∠OAB=∠CBE，∠AOB=∠BEC，AB=BC，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，
∴点C的坐标为（3，1）．
∵反比例函数（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为．
故选A．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
2．B
【分析】设点D(m，)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.
解：设点D(m，)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：
∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，
∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，﹣1)，CG＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，
则点E(﹣，﹣5)，GE＝，
CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，
故选B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.
3．B
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线, 再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．
解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE，
设A（x，），则B（2x，），
故CD=，AD=，
∵△ADO的面积为1，
∴AD•OC=1，，
解得，
∴．
故选B．
考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．
4．C
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设C（a，b），证明△OAE≌△COF，求得A与D的坐标，再列出a、b的方程组求得a、b，便可求得k．
解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OA＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠AOE+∠OEA＝90°，
∴∠OEA＝∠COF，
在△OAE和△COF中，
，
∴△OAE≌△COF（AAS），
∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，
∴A（﹣b，a），
∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，
∴D是AC的中点，
∴∴D ，
∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝ ，即a2﹣b2＝4ab，
∵B点的纵坐标为4，
∴D点纵坐标为 ，即a+b＝4，
联立方程组 ，
解得， ，或（舍去），
∴k＝ab＝2﹣2．
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质和判定．解决本题的关键是借助正方形的性质找到对应点的联系．
5．A
【分析】连接EC，OA，设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），得到B点坐标，代入反比例函数解析式整理得到mn＝3k，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO=14，整理得到方程14＝﹣k﹣+，求解方程即可.
解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（，），
∵点B在y＝上，
∴`＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA，
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，
∴14＝﹣k﹣+，
∴k＝﹣12．
故选A．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何综合，解此题的关键在于准确理解题意，构造适当的辅助线进行解答.
6．C
【分析】设B点的坐标为（a，b），由BD=3AD，得D（，b），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE= 9求出k.
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴=k，
∴E（a， ），
∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-• -•-••（b-）=9，
∴k=，
故选：C
【点拨】考核知识点：反比例函数系数k的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
7．B
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
解：过点D做DF⊥BC于F，
由已知，BC=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=5，
∵BE=3DE，
∴设DE=x，则BE=3x，
∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，FD=3，
设OB=a，
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a=，
∴点C坐标为（5，）
∴k=.
故选B．
【点拨】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
8．C
【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.
解：如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．
【点拨】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
9．D
【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
解：作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
10．A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解：如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-|=，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选A．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
11．-6
解：因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
12．2
【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
解：如图，∵点C坐标为（2，﹣2），
∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，
∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，
故答案为2．
【点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及矩形的面积之比、反比例函数比例系数k的几何意义，解答的关键是理解系数k的几何意义和矩形的面积比的含义．
13．（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）
【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标.
解：如图
∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8．
∴反比例函数为
∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．
【点拨】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P点的所有情况都画出来．
14．1
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，先求出点A、B的坐标，然后利用正方形的性质、余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC，进而可利用全等三角形的性质求出点D、C的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，于是可得点G坐标，再根据平移的性质即可求出答案．
解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）．
则OB＝2，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
∵∠OBA＝∠DAF，∠BOA＝∠AFD，AB＝AD，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理可证：△OAB≌△EBC，
∴AF＝OB＝EC＝2，DF＝OA＝BE＝1，
∴D的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣2，3）．
将点D代入得：k＝﹣3，
则函数的解析式是：y＝﹣．
∴G的坐标是（﹣1，3），
∴当点C与G重合时，正方形沿x轴正方向平移了1个单位，即a＝1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C、D的坐标是解题的关键．
15．﹣3
解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB=5，BC=2﹣（﹣3）=2+3=5，AB⊥x轴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F，
则A′E=3，BE==4，
∵△A′BC′是△ABC旋转得到，
∴∠A′BE=∠C′BF，
在△A′BE和△C′BF中，
，
∴△A′BE≌△C′BF（AAS），
∴BF=BE=4，C′F=A′E=3，
∴OF=BF﹣OB=4﹣3=1，
∴点C′的坐标为（1，﹣3），
把（1，﹣3）代入y=得，=﹣3，
解得k=﹣3．
故答案是：﹣3．
16．8．
解：先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k=4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD=4a﹣a=3a，
∵△AOD的面积为3，
∴×3a×b=3，
∴ab=2，
∴k=4ab=4×2=8．
故答案为8
“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为8列出关系式是解题的关键．
17．=﹣.
解：试题分析：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC=a，∴A（a，a），
∵A在函数y1=（x＞0）的图象上，∴k1=a•a=a²，
Rt△BOC中，OB=2OC=2a，∴BC==3a，∴B（a，﹣3a），
∵B在函数y2=（x＞0）的图象上，∴k2=﹣3a·a=﹣3a²，∴=﹣；
故答案为﹣．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
18．（﹣1，﹣6）．
解：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，
根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为，
由A（2，3），可得OF=1，
当x=﹣1时，y=﹣+2=，即P（﹣1，），
∴PF=，
将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，
∴PD=HD，PG=EH=，
设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2﹣x=3﹣x，
在Rt△PDF中，PF2+DF2=PD2，即，
解得x=1，
∴OD=2﹣1=1，
即D（1，0），
根据点A（2，3）和点D（1，0），
可得直线AD的解析式为y=3x﹣3，解方程组：，
可得：或，
∴C（﹣1，﹣6），
故答案为（﹣1，﹣6）．
19．
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4，∵AB=5，∴OB= =3，在△ABO和△BCE中，∵∠OAB=∠CBE，∠AOB=∠BEC，AB=BC，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为．故答案为．
点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
20． ≤k≤18．
解：（1）如图，过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°．
∵四边形A′B′C′D′为正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
∵∠ED′A′=∠OC′D′，∠A′ED′=∠D′OC′，A′D′=D′C′，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS），
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．∵点A′、B′在反比例函数的图象上，
∴，解得：或（舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′==．
故答案为．
（2）设直线A′B′解析式为，直线C′D′解析式为，
∵点A′（1，2），点B′（2，1），点C′（1，0），点D′（0，1），
∴有和，解得：和，
∴直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1．
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．
当A点在直线C′D′上时，有2m=﹣m+1，解得：m=，
此时点A的坐标为（，），
∴k=×=；
当点D在直线A′B′上时，有n=3，此时点A的坐标为（3，6），
∴k=3×6=18．
综上可知：当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤k≤18．
故答案为≤k≤18．
21．1+.
解：试题分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中，，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN=，OM=AN=，
∴OD=+，OD=BD=﹣，
∴B（+，﹣），
∴双曲线y=（x＞0）同时经过点A和B，
∴（+）•（﹣）=k，
整理得：k2﹣2k﹣4=0，
解得：k=1±（负值舍去），
∴k=1+．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
22．
【分析】设B的坐标为（2a,2b）,E点坐标为（x,2b）,D点坐标为（2a,y）,因为D、E、M在反比例函数图象上，则ab=k，2bx=k, 2ay=k, 根据四边形ODBE的面积列式，求得k值，再由2bx×2ay=4abxy=k2=9, 求得xy的值，然后根据所求的结果求出△BED的面积，则△ODE的面积就是四边形ODBE的面积和△BED的面积之差.
解：设B的坐标为（2a,2b）, 则M点坐标为（a,b）,
∵M在AC上，
∴ab=k（k>0）,
设E点坐标为（x,2b）,D点坐标为（2a,y）,
则2bx=k, 2ay=k,
∴S四边形ODBE=2a×2b-×(2bx+2ay)=9,
即4k- (k+k)=9,
解得k=3,
∵2bx×2ay=4abxy=k2=9,
∴4abxy=9,
解得：xy=,
则S△BED=BE×BD=
,
∴ S△ODE = S四边形ODBE -S△BED=9-
【点拨】本题主要考查反比函数与几何综合，解题关键在于利用面积建立等式求出k.
23．
【分析】根据，即可求出圆的半径和∠AOB，根据反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积，利用扇形面积公式即可解答.
解：
如图，∵
∴∠AOD=60°，OA=2
∵A、B关于直线y=x对称，
∴∠AOB=2×(60°-45°)=30°
∵反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形
∴S阴影=S扇形AOB=
故答案为
【点拨】本题考查了反比例函数和圆，熟练掌握反比例函数的性质以及扇形的面积公式是解题关键.
24．
解：如图，作DF⊥y轴于F，过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G，CG交x轴于K，作BH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠OAE=90°，∵∠AEO+∠OAE=90°，∴∠DAF=∠AEO，
∵AB=2AD，E为AB的中点，∴AD=AE，
在△ADF和△EAO中，
∵∠DAF=∠AEO，∠AFD=∠AOE=90°，AD=AE，
∴△ADF≌△EAO（AAS），
∴DF=OA=1，AF=OE，∴D（1，k），∴AF=k﹣1，
同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，
∴BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k﹣1，
∴OK=2（k﹣1）+1=2k﹣1，CK=k﹣2，
∴C（2k﹣1，k﹣2），
∴（2k﹣1）（k﹣2）=k，
解得k1=，k2=，
∵k﹣1＞0，∴k=．
故答案为．
【点拨】本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
25．（1）y=；（2）．
【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD即可求得．
解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，
∴AB=OB=2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，
∴C（，1），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1=， ∴k=，
∴反比例函数的关系式为y=；
（2）∵OB=2，
∴D的横坐标为2，
代入y=得，y=， ∴D（2，）， ∴BD=，
∵AB=2， ∴AD=， ∴S△ACD=AD•BE=××，
∴S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣×2×2﹣．
【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
26．（1）反比例函数的解析式为，直线AB为；（2）
【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出．
解：由点在反比例函数图象上，
反比例函数的解析式为
将点代入得
设直线的表达式为
解得
直线的表达式为；
由点坐标得点到的距离为
设与轴的交点为可得如图：
由点知点到的距离分别为，3
.
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型．
27．（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.
解：分析：（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上
∴k=8
∴y1=
∵a=2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，
，
解得，
∴y2=x﹣2；
②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方，
∴由图象得：2＜x＜4；
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO，
∵O为AA′中点，
S△AOB=S△AOA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴，
解得k=6；
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）.
把A′代入到y=，得：﹣，
∴n=，
∴A′B解析式为y=﹣.
当x=a时，点D纵坐标为，
∴AD=
∵AD=AF，
∴点F和点P横坐标为，
∴点P纵坐标为.
∴点P在y1═（x＞0）的图象上.
点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
28．（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答
解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，；
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当a=1时，面积的最大值为．
【点拨】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
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