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3.1 函数及其图象-中考数学一轮复习 知识点+练习
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这是一份3.1 函数及其图象-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含31函数及其图象-解析版docx、31函数及其图象-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
第三章 函数
3.1函数及其图象
一、课标解读
1. 坐标与图形位置
（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
（4）在平面内，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
2、坐标与图形运动
（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能画出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
2.函数
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
（3）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
二、知识点回顾
知识点1.平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征
(1)点P(x, y)在第一象限x>0，y>0;
(2)点P(x，y)在第二象限x<0, y>0;
(3)点P(x, y)在第三象限x< 0，y<0;
(4)点P(x, y)在第四象限x>0，y< 0.
坐标轴_上点的坐标特征
(1)点P(x， y)在x轴上y =0;
(2)点P(x，y)在y轴上x =0;
(3)点P(x, y)在原点x=0，y=0
注意:坐标轴上的点不属于任何象限.原点既在x轴上，又在y轴上.
2.象限角平分线上点的坐标特征
(1)第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等;
(2)第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数.
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
(1)平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；
(2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；
知识点2.平面直角坐标系中点的坐标变换
1.平面直角坐标系中点的对称与平移
(1)点A(a, b)关于x轴的对称点为 (a， -b)(2)点A(a, b)关于y轴的对称点为(-a,b);
(3)点A(a, b)关于原点的对称点为 (a,-b)
归纳:关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，关于原点对称都变号.
(4)点P(a，b)关于直线y=x的对称点是 (b, a) ;
(5)点P(a, b)关于直线y=-x的对称点是(-b,-a)
2.点的平移的坐标特征
(x，y)(x－a，y)；(x，y) (x+a，y)；
左右平移：加减在横坐标上，左减右加，纵坐标不变．
(x，y) (x，y+a)；(x，y) (x，y-a)
上下平移：加减在纵坐标上，上加下减，横坐标不变.
知识点3.平面直角坐标系中的距离
(1)点P(a, b)到x轴的距离为|b|
(2)点P(a, b)到y轴的距离为|a|
(3)点P(a, b)到原点的距离为
(4)在x轴上或在平行于x轴的直线上的两点P1(a1，b1), P2(a2，b2)间的距离为|a2- a1|;
(5)在y轴上或在平行于y轴的直线上的两点P1 (a1，b1), P2(a1，b2)间的距离为|b2-b1|；
(6)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)所连线段的中点坐标为(，)；
(7)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)之间的距离P1P2＝.
知识点4函数的定义
1.函数:一般地， 在某个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数.
2.函数的三种表示方法:列表法、图象法、解析式法.
函数解析式的形式
自变量的取值范围
整式型
全体实数
分式型
B≠0
二次根式型
A≥0
零次幂或负整数次幂
底数不为零
分式与二次根式结合型
B≠0且A≥0
B>0
三、热点训练
热点1：平面直角坐标系中的坐标特征
一练基础
1．（2021·福建·厦门市第九中学二模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021·台湾·模拟预测）如图的坐标平面上有A、B、C、D四点根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校模拟预测）对任意实数x，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2021·辽宁·沈阳市杏坛中学九年级期末）已知点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离是3，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）若点在第二象限内，则点在第 __象限．
二练巩固
6．（2021·青海·中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是______．
7．（2021·全国·九年级专题练习）已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）
A．(3，7) B．(5，3)
C．(7，3) D．(8，2)
9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·重庆·一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位得点，再将向上平移个单位得点，若点落在第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
三练拔高
11．（2021·广西柳江·二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·河南三门峡·二模）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
14．（2021·湖北天门·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．
15．（2021·浙江鹿城·二模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点，，请在所给网格区域内按要求画以A，B，C，D为顶点的整点平行四边形．
（1）在图1中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍；
（2）在图2中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍．
热点2：函数的基本概念
一练基础
1．（2020·河北·模拟预测）在圆的面积计算公式S=中，变量是（ ）
A．S B．R C．π，R D．S，R
2．（2021·全国·九年级专题练习）下列各式，不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江浙江·九年级期末）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝2x B． C．y＝5000x D．
4．（2021·全国·九年级专题练习）变量x，y的一些对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣8
﹣1
0
1
8
27
…
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（ ）
A．75 B．﹣75 C．125 D．﹣125
5．（2021·广东·执信中学模拟预测）半径为2的扇形，设其圆心角的度数为n，面积S随着n的变化而变化，则面积S关于圆心角度数n的函数解析式为__________
二练巩固
6．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）在函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北蔡甸·二模）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
…
0
1
2
…
…
4
1
…
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2021·湖北黄石·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝10时，t为3.25秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
10．（2021·广东·惠州一中一模）在函数中，自变量的取值范围是___________．
三练拔高
11．（2021·陕西·模拟预测）变量的一些对应值如下表：
···
···
···
···
根据表格中的数据规律，当时，的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·上海徐汇·九年级期末）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
13．（2021·江苏省天一中学三模）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x(单位：公里)：
乘车距离x
x≤6
6＜x≤12
12＜x≤22
22＜x≤32
x＞32
票价（元）
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是___元．
14．（2020·北京怀柔·模拟预测）如图，在半中，P是直径AB上一动点，且，过点P作交半于点C，P为垂足，连接BC，过点P作于点D．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
0.37
0.88
1.59
2.01
2.44
3.00
3.58
4.37
5.03
5.51
1.45
2.12
2.65
2.83
2.95
3.00
2.95
2.67
2.21
1.65
1.40
1.96
2.27
2.31
2.27
2.13
1.87
1.39
0.89
0.48
在AP，CP，PD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量， ________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当时，AP的长度约为________．
15．（2020·北京·一模）如图，半圆O的直径AB＝6cm，点M在线段AB上，且BM＝1cm，点P是上的动点，过点A作AN⊥直线PM，垂足为点N．
小东根据学习函数的经验，对线段AN，MN，PM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AN，MN，PM的长度的几组值，如表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AN/cm
0.00
3.53
4.58
5.00
4.58
4.00
0.00
MN/cm
5.00
3.53
2.00
0.00
2.00
3.00
5.00
PM/cm
1.00
1.23
1.57
2.24
3.18
3.74
5.00
在AN，MN，PM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AN＝MN时，PM的长度约为 cm．
热点3：函数的图象的分析与判断
一练基础
1．（2021·湖北·华中科技大学附属中学一模）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，图中哪个图像能大致表示水的最大深度和时间之间的函数关系（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川巴中·中考真题）小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
3．（2021·重庆市第七中学校九年级阶段练习）甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在两地之间），当甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻乙的速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回，两车与C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲车的速度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·台湾·模拟预测）已知缆车从起点行驶到终点需花费8分钟，如图表示行驶过程中缆车的海拔高度与行驶时间的关系根据如图判断，下列叙述何者正确？（ ）
A．终点的海拔高度比起点高300公尺，行驶时间的前4分钟都在上升
B．终点的海拔高度比起点高300公尺，行驶时间的末4分钟都在上升
C．终点的海拔高度比起点高350公尺，行驶时间的前4分钟都在上升
D．终点的海拔高度比起点高350公尺，行驶时间的末4分钟都在上升
5．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）在矩形ABCD中，如图1，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向运动至点A处停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝5时，点P应运动到（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
二练巩固
6．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，这是一张从某大桥正侧面拍摄的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为80米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．在桥拱正下方部分的桥面EF的实际长度约为50米．
B．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为18米．
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为11米．
D．桥面上BF段的实际长度约20米．
7．（2021·青海西宁·中考真题）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
9．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校一模）有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法
（1）施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；
（2）施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；
（3）施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米；
（4）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则每条路面铺设任务的长度为110米．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
三练拔高
11．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．
12．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）等腰梯形中，，，点沿运动，同时点沿运动，运动速度均为每秒1个单位，当两点相遇时，运动停止，则的面积与运动时间秒之间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·江苏南通·中考真题）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）
①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
15．（2021·江苏常州·中考真题）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021·山东历下·三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2＋t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为cm；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
第三章 函数
3.1函数及其图象
一、课标解读
1. 坐标与图形位置
（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
（4）在平面内，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
2、坐标与图形运动
（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能画出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
2.函数
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
（3）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
二、知识点回顾
知识点1.平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征
(1)点P(x, y)在第一象限x>0，y>0;
(2)点P(x，y)在第二象限x<0, y>0;
(3)点P(x, y)在第三象限x< 0，y<0;
(4)点P(x, y)在第四象限x>0，y< 0.
坐标轴_上点的坐标特征
(1)点P(x， y)在x轴上y =0;
(2)点P(x，y)在y轴上x =0;
(3)点P(x, y)在原点x=0，y=0
注意:坐标轴上的点不属于任何象限.原点既在x轴上，又在y轴上.
2.象限角平分线上点的坐标特征
(1)第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等;
(2)第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数.
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
(1)平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；
(2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；
知识点2.平面直角坐标系中点的坐标变换
1.平面直角坐标系中点的对称与平移
(1)点A(a, b)关于x轴的对称点为 (a， -b)(2)点A(a, b)关于y轴的对称点为(-a,b);
(3)点A(a, b)关于原点的对称点为 (a,-b)
归纳:关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，关于原点对称都变号.
(4)点P(a，b)关于直线y=x的对称点是 (b, a) ;
(5)点P(a, b)关于直线y=-x的对称点是(-b,-a)
2.点的平移的坐标特征
(x，y)(x－a，y)；(x，y) (x+a，y)；
左右平移：加减在横坐标上，左减右加，纵坐标不变．
(x，y) (x，y+a)；(x，y) (x，y-a)
上下平移：加减在纵坐标上，上加下减，横坐标不变.
知识点3.平面直角坐标系中的距离
(1)点P(a, b)到x轴的距离为|b|
(2)点P(a, b)到y轴的距离为|a|
(3)点P(a, b)到原点的距离为
(4)在x轴上或在平行于x轴的直线上的两点P1(a1，b1), P2(a2，b2)间的距离为|a2- a1|;
(5)在y轴上或在平行于y轴的直线上的两点P1 (a1，b1), P2(a1，b2)间的距离为|b2-b1|；
(6)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)所连线段的中点坐标为(，)；
(7)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)之间的距离P1P2＝.
知识点4函数的定义
1.函数:一般地， 在某个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数.
2.函数的三种表示方法:列表法、图象法、解析式法.
函数解析式的形式
自变量的取值范围
整式型
全体实数
分式型
B≠0
二次根式型
A≥0
零次幂或负整数次幂
底数不为零
分式与二次根式结合型
B≠0且A≥0
B>0
三、热点训练
热点1：平面直角坐标系中的坐标特征
一练基础
1．（2021·福建·厦门市第九中学二模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021·台湾·模拟预测）如图的坐标平面上有A、B、C、D四点根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校模拟预测）对任意实数x，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2021·辽宁·沈阳市杏坛中学九年级期末）已知点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离是3，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）若点在第二象限内，则点在第 __象限．
二练巩固
6．（2021·青海·中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是______．
7．（2021·全国·九年级专题练习）已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）
A．(3，7) B．(5，3)
C．(7，3) D．(8，2)
9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·重庆·一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位得点，再将向上平移个单位得点，若点落在第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
三练拔高
11．（2021·广西柳江·二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·河南三门峡·二模）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
14．（2021·湖北天门·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．
15．（2021·浙江鹿城·二模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点，，请在所给网格区域内按要求画以A，B，C，D为顶点的整点平行四边形．
（1）在图1中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍；
（2）在图2中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍．
热点2：函数的基本概念
一练基础
1．（2020·河北·模拟预测）在圆的面积计算公式S=中，变量是（ ）
A．S B．R C．π，R D．S，R
2．（2021·全国·九年级专题练习）下列各式，不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江浙江·九年级期末）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝2x B． C．y＝5000x D．
4．（2021·全国·九年级专题练习）变量x，y的一些对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣8
﹣1
0
1
8
27
…
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（ ）
A．75 B．﹣75 C．125 D．﹣125
5．（2021·广东·执信中学模拟预测）半径为2的扇形，设其圆心角的度数为n，面积S随着n的变化而变化，则面积S关于圆心角度数n的函数解析式为__________
二练巩固
6．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）在函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北蔡甸·二模）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
…
0
1
2
…
…
4
1
…
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2021·湖北黄石·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝10时，t为3.25秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
10．（2021·广东·惠州一中一模）在函数中，自变量的取值范围是___________．
三练拔高
11．（2021·陕西·模拟预测）变量的一些对应值如下表：
···
···
···
···
根据表格中的数据规律，当时，的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·上海徐汇·九年级期末）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
13．（2021·江苏省天一中学三模）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x(单位：公里)：
乘车距离x
x≤6
6＜x≤12
12＜x≤22
22＜x≤32
x＞32
票价（元）
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是___元．
14．（2020·北京怀柔·模拟预测）如图，在半中，P是直径AB上一动点，且，过点P作交半于点C，P为垂足，连接BC，过点P作于点D．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
0.37
0.88
1.59
2.01
2.44
3.00
3.58
4.37
5.03
5.51
1.45
2.12
2.65
2.83
2.95
3.00
2.95
2.67
2.21
1.65
1.40
1.96
2.27
2.31
2.27
2.13
1.87
1.39
0.89
0.48
在AP，CP，PD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量， ________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当时，AP的长度约为________．
15．（2020·北京·一模）如图，半圆O的直径AB＝6cm，点M在线段AB上，且BM＝1cm，点P是上的动点，过点A作AN⊥直线PM，垂足为点N．
小东根据学习函数的经验，对线段AN，MN，PM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AN，MN，PM的长度的几组值，如表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AN/cm
0.00
3.53
4.58
5.00
4.58
4.00
0.00
MN/cm
5.00
3.53
2.00
0.00
2.00
3.00
5.00
PM/cm
1.00
1.23
1.57
2.24
3.18
3.74
5.00
在AN，MN，PM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AN＝MN时，PM的长度约为 cm．
热点3：函数的图象的分析与判断
一练基础
1．（2021·湖北·华中科技大学附属中学一模）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，图中哪个图像能大致表示水的最大深度和时间之间的函数关系（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川巴中·中考真题）小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
3．（2021·重庆市第七中学校九年级阶段练习）甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在两地之间），当甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻乙的速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回，两车与C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲车的速度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·台湾·模拟预测）已知缆车从起点行驶到终点需花费8分钟，如图表示行驶过程中缆车的海拔高度与行驶时间的关系根据如图判断，下列叙述何者正确？（ ）
A．终点的海拔高度比起点高300公尺，行驶时间的前4分钟都在上升
B．终点的海拔高度比起点高300公尺，行驶时间的末4分钟都在上升
C．终点的海拔高度比起点高350公尺，行驶时间的前4分钟都在上升
D．终点的海拔高度比起点高350公尺，行驶时间的末4分钟都在上升
5．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）在矩形ABCD中，如图1，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向运动至点A处停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝5时，点P应运动到（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
二练巩固
6．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，这是一张从某大桥正侧面拍摄的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为80米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．在桥拱正下方部分的桥面EF的实际长度约为50米．
B．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为18米．
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为11米．
D．桥面上BF段的实际长度约20米．
7．（2021·青海西宁·中考真题）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
9．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校一模）有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法
（1）施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；
（2）施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；
（3）施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米；
（4）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则每条路面铺设任务的长度为110米．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
三练拔高
11．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．
12．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）等腰梯形中，，，点沿运动，同时点沿运动，运动速度均为每秒1个单位，当两点相遇时，运动停止，则的面积与运动时间秒之间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·江苏南通·中考真题）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）
①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
15．（2021·江苏常州·中考真题）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021·山东历下·三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2＋t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为cm；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
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