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3.4 反比例函数及其应用-中考数学一轮复习 知识点+练习
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这是一份3.4 反比例函数及其应用-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含34反比例函数及其应用-解析版docx、34反比例函数及其应用-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共152页， 欢迎下载使用。
第三章 函数
3.4反比例函数及其应用
一、课标解读
1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2.能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况。
3.能用反比例函数解决简单实际问题。
二、知识点回顾
知识点1.反比例函数的概念及解析式的三种形式
1．概念：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0．
2．反比例函数解析式的三种形式(k为常数，k≠0)：y＝；y＝kx－1；xy＝k.
知识点2. 反比例函数的图象与性质
k的取值范围
k＞0
k＜0
图象
所在象限
分布在第一、三象限
分布在第二、四象限
图象特征
图象无限接近坐标轴，但永不相交．
k的取值范围
k＞0
k＜0
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小．
在每个象限内，y随x的增大而增大．
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴为直线y＝±x，对称中心是原点.
知识点3．反比例函数中k的几何意义及解析式的确定
1．反比例函数中k的几何意义
如图，设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|
2．反比例函数解析式的确定
设出反比例函数的解析式为y＝(k≠0)；找出满足反比例函数图象的已知点P(a，b)；将P(a，b)代入解析式得k＝ab；反比例函数解析式y＝.
知识点4．反比例函数的实际应用
实际问题中常见的反比例函数关系
行程问题：速度＝；
工程问题：工作效率＝；
压强问题：压强＝；电学问题：电阻＝.
三、热点训练
热点1：反比例函数的图象与性质
一练基础
1．（2021·江苏·九年级专题练习）张老师在黑板上画出了如图所示的函数图象，四位同学分别写出了表达式，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江金华·中考真题）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
3．（2021·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）如果反比例函数的图象经过点，则下列各点可能在此图象上的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2021·全国·九年级期末）反比例函数 y=−的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
7．（2021·湖南·武冈市第二中学九年级阶段练习）反比例函数的图象在二、四象限，则一次函数的图象所在象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、三、四 C．一、二、四 D．二、三、四
8．（2021·全国·九年级专题练习）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为______．
二练巩固
9．（2021·全国·九年级期末）定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（ ）
A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足
10．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点都在反比例函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·河北·石家庄市第二十八中学一模）如图，双曲线的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________．
13．（2021·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数与二次函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数的取值范围为_______．
14．（2021·湖北襄阳·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）画函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
m
…
描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________；
②____________．
15．（2021·全国·九年级专题练习）（1）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
（2）当时，的值；
（3）当时，的取值范围；
（4）当且时，的取值范围．
16．（2021·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
三练拔高
17．（2021·四川武侯·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数的图象上，则m的值为_____________．
18．（2021·山东潍坊·中考真题）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
19．（2021·河南焦作·一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究
下面是小航探究的过程．请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是___________．
（2）下表是与的几组对应值
…
0
2
3
4
5
6
…
…
0
4
2
…
则的值为_________．
（3）如图所示在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质：________；
（5）若函数的图象上有三个点，且，则之间的大小关系为________．
20．（2020·河南西峡·一模）如图1，反比例函数（）图象与直线相交于点，点是反比例函数图象上的动点，过点作轴于，交直线于．设点的横坐标为，的面积为．已知当时取得最小值0．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）求关于的函数关系式：并在图2中画出关于的函数图象．
（3）直接写出不等式的解集．
21．（2020·河南·郑州一中国际航空港实验学校三模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
12
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣6，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
热点2：反比例函数的k值及意义
一练基础
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5t B． C． D．5
3．（2022·福建三明·一模）如图，点A，B为反比例函数（x>0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=．若△OCD的面积为2，则k的值为__．
4．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若平行四边形ABCD面积为4，则反比例函数y＝的关系式为 __________________．
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B、C两点，若的面积为2，则k的值为______．
6．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．
二练巩固
7．（2022·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，等腰中，，，点在轴上，轴，反比例函数（，）的图象经过点，交于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·福建·邵武市教师进修学校模拟预测）如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上．若函数y = (x)的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为_______________
10．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，则的面积为_____．
11．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____．
12．（2021·福建·厦门市松柏中学二模）如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面四个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③至少存在一个点P使S△PCD＝10；④至少存在一个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是_________．
三练拔高
13．（2021·江苏金坛·一模）如图，，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且．若四边形的面积为12，反比例函数的图像经过点E，则k的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
15．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_____
16．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学九年级阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有_________．（仅填序号即可）
17．（2021·福建·厦门市第九中学二模）如图，菱形ABCD中，，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若，则菱形ABCD面积的最小值是___________．
热点3：反比例函数的实际应用
一练基础
1．（2021·全国·九年级专题练习）已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）关于行驶速度v（km/h）的函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2011·河北乐亭·中考模拟）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变．与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）．
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
3．（2021·全国·九年级专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
4．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1.6m3时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于128kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
5．（2021·广西灌阳·九年级期中）五一假期，小夏驾驶小汽车匀速地从杭州行驶到宁波，当小汽车行驶的速度为每小时100千米时，行驶时间1.5小时．设小汽车行驶的速度为v千米/时，行驶的时间为t小时，全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若小汽车行驶的速度为50千米/时，则从杭州到宁波需要几小时？
（3）若小夏下午4点从杭州出发，他能在下午5：10到达宁波吗？请说明理由．
二练巩固
6．（2022·福建三明·一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长?
7．（2018·内蒙古康巴什·中考模拟）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
8．（2021·湖南·台州市书生中学一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量（微克）与时间（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时与成反比例函数关系．
（1） ；
（2）当时，与之间的函数关系式为 ；当时，与之间的函数关系式为 ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
9．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
10．（2021·河南祥符·二模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止：当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了16 min内9个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况：
接通电源后的时间（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
…
水箱中水的温度（单位：）
20
35
65
80
64
40
32
20
…
m的值为__________．
（2）①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式__________；当时，写出一符合表中数据的函数解析式__________．
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源__________min．
三练拔高
11．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为
（1）当时，解答：
①求与的函数关系式（不写的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
12．（2021·山西太原·一模）某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其他费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．
任务1：该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
小明的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×0.05＝10（元）；如果3天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×2×0.05+200×0.05＝30（元）；如果4天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×3×0.05+200×2×0.05+200×0.05＝60（元），他发现已有的数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是他解决这个问题的过程，请解答相关问题．
（1）计算得到x与y的部分对应值如下表，请补全表格；
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Y/元
…
455.0
430.0
420.0
415.7
417.5
420.0
423.0
…
（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点；
（3）结合图象：养殖场 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
任务2：提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．
13．（2020·山东汶上·二模）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价(元/千克)
400
300
250
240
200
150
125
120
销售量(千克)
30
40
48
50
60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
14．（2020·河南·九年级专题练习）小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）．
小强根据他学习函数的经验做了如下的探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：
建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米．则y关于x的函数表达式为________；列表（相关数据保留一位小数）：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y
17
10
8.3
8.2
8.7
9.3
10.8
11.6
描点、画函数图象：
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
观察分析、得出结论：
根据以上信息可得，当x＝________时，y有最小值．
由此，小强确定篱笆长至少为________米．
15．（2021·江苏连云港·二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为
，且当时，；当时，．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）与之间的函数表达式为 ；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
热点4：一次函数与几何图形
一练基础
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的顶点和分别在反比例函数与的图象（部分）上，且轴，顶点在轴上，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为________．
4．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．
5．（2021·广东·铁一中学二模）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、，为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数（）的图象于点，．
（1）求点和点的坐标；
（2）求的值和点的坐标．
二练巩固
6．（2022·广东黄埔·九年级期末）正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图：四边形ABCD为菱形，且对角线BD∥x轴，A、C两点在y轴上，E点在BC上，且BE＝2CE，双曲线y＝（x＞0）经过E、B两点，且，则k的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
8．（2021·重庆实验外国语学校三模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交边于点，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，反比例函数（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
三练拔高
11．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级阶段练习）如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则______．
13．（2021·山东乳山·模拟预测）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为____________．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图①，已知点A（-2，0），B（0，-4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数的图象经过C、D两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图②，延长DC，交x轴与点F，连接OC，在反比例函数的图象是否存在点P，使得S△PCE=S△OCF？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
热点4：一次函数与反比例函数的综合问题
一练基础
1．如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0
2．（2021·广西合浦·九年级期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）（1）已知反比例函数的图象和正比例函数图象都经过点，求两个函数的表达式；
（2）若（）的解是，求的值．
4．（2021·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
5．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与x轴交于点，若OC＝AC，且＝10
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax＋b＞的解集．
二练巩固
6．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．当时，
C．一次函数的解析式为 D．若，则
7．（2021·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（3）若点在线段上，且，求点的坐标．
8．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
9．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，双曲线y=（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（2，4）、B两点，点D是x轴上一点，C在双曲线上且是AD的中点．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）连结BC，求△ABC的面积．
10．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．
三练拔高
11．（2021·山东·日照港中学二模）如图，双曲线（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（，3）、B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一点，连接AD，点C是线段AD的中点，则n的值为________________．
12．（2021·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
13．（2021·四川巴中·中考真题）如图，双曲线y与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y有唯一交点，求n的值．
14．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
15．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）如图1，已知直线分别与双曲线、（）交于、两点，且．
（1）求的值；
（2）如图2，若点是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线（）于点、，连接．请你探索在点运动过程中，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若点是直线上的一点，请你进一步探索在点运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
第三章 函数
3.4反比例函数及其应用
一、课标解读
1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2.能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况。
3.能用反比例函数解决简单实际问题。
二、知识点回顾
知识点1.反比例函数的概念及解析式的三种形式
1．概念：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0．
2．反比例函数解析式的三种形式(k为常数，k≠0)：y＝；y＝kx－1；xy＝k.
知识点2. 反比例函数的图象与性质
k的取值范围
k＞0
k＜0
图象
所在象限
分布在第一、三象限
分布在第二、四象限
图象特征
图象无限接近坐标轴，但永不相交．
k的取值范围
k＞0
k＜0
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小．
在每个象限内，y随x的增大而增大．
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴为直线y＝±x，对称中心是原点.
知识点3．反比例函数中k的几何意义及解析式的确定
1．反比例函数中k的几何意义
如图，设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|
2．反比例函数解析式的确定
设出反比例函数的解析式为y＝(k≠0)；找出满足反比例函数图象的已知点P(a，b)；将P(a，b)代入解析式得k＝ab；反比例函数解析式y＝.
知识点4．反比例函数的实际应用
实际问题中常见的反比例函数关系
行程问题：速度＝；
工程问题：工作效率＝；
压强问题：压强＝；电学问题：电阻＝.
三、热点训练
热点1：反比例函数的图象与性质
一练基础
1．（2021·江苏·九年级专题练习）张老师在黑板上画出了如图所示的函数图象，四位同学分别写出了表达式，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江金华·中考真题）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
3．（2021·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）如果反比例函数的图象经过点，则下列各点可能在此图象上的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2021·全国·九年级期末）反比例函数 y=−的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
7．（2021·湖南·武冈市第二中学九年级阶段练习）反比例函数的图象在二、四象限，则一次函数的图象所在象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、三、四 C．一、二、四 D．二、三、四
8．（2021·全国·九年级专题练习）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为______．
二练巩固
9．（2021·全国·九年级期末）定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（ ）
A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足
10．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点都在反比例函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·河北·石家庄市第二十八中学一模）如图，双曲线的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________．
13．（2021·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数与二次函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数的取值范围为_______．
14．（2021·湖北襄阳·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）画函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
m
…
描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________；
②____________．
15．（2021·全国·九年级专题练习）（1）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
（2）当时，的值；
（3）当时，的取值范围；
（4）当且时，的取值范围．
16．（2021·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
三练拔高
17．（2021·四川武侯·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数的图象上，则m的值为_____________．
18．（2021·山东潍坊·中考真题）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
19．（2021·河南焦作·一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究
下面是小航探究的过程．请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是___________．
（2）下表是与的几组对应值
…
0
2
3
4
5
6
…
…
0
4
2
…
则的值为_________．
（3）如图所示在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质：________；
（5）若函数的图象上有三个点，且，则之间的大小关系为________．
20．（2020·河南西峡·一模）如图1，反比例函数（）图象与直线相交于点，点是反比例函数图象上的动点，过点作轴于，交直线于．设点的横坐标为，的面积为．已知当时取得最小值0．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）求关于的函数关系式：并在图2中画出关于的函数图象．
（3）直接写出不等式的解集．
21．（2020·河南·郑州一中国际航空港实验学校三模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
12
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣6，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
热点2：反比例函数的k值及意义
一练基础
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5t B． C． D．5
3．（2022·福建三明·一模）如图，点A，B为反比例函数（x>0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=．若△OCD的面积为2，则k的值为__．
4．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若平行四边形ABCD面积为4，则反比例函数y＝的关系式为 __________________．
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B、C两点，若的面积为2，则k的值为______．
6．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．
二练巩固
7．（2022·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，等腰中，，，点在轴上，轴，反比例函数（，）的图象经过点，交于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·福建·邵武市教师进修学校模拟预测）如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上．若函数y = (x)的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为_______________
10．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，则的面积为_____．
11．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____．
12．（2021·福建·厦门市松柏中学二模）如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面四个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③至少存在一个点P使S△PCD＝10；④至少存在一个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是_________．
三练拔高
13．（2021·江苏金坛·一模）如图，，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且．若四边形的面积为12，反比例函数的图像经过点E，则k的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
15．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_____
16．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学九年级阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有_________．（仅填序号即可）
17．（2021·福建·厦门市第九中学二模）如图，菱形ABCD中，，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若，则菱形ABCD面积的最小值是___________．
热点3：反比例函数的实际应用
一练基础
1．（2021·全国·九年级专题练习）已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）关于行驶速度v（km/h）的函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2011·河北乐亭·中考模拟）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变．与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）．
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
3．（2021·全国·九年级专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
4．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1.6m3时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于128kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
5．（2021·广西灌阳·九年级期中）五一假期，小夏驾驶小汽车匀速地从杭州行驶到宁波，当小汽车行驶的速度为每小时100千米时，行驶时间1.5小时．设小汽车行驶的速度为v千米/时，行驶的时间为t小时，全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若小汽车行驶的速度为50千米/时，则从杭州到宁波需要几小时？
（3）若小夏下午4点从杭州出发，他能在下午5：10到达宁波吗？请说明理由．
二练巩固
6．（2022·福建三明·一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长?
7．（2018·内蒙古康巴什·中考模拟）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
8．（2021·湖南·台州市书生中学一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量（微克）与时间（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时与成反比例函数关系．
（1） ；
（2）当时，与之间的函数关系式为 ；当时，与之间的函数关系式为 ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
9．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
10．（2021·河南祥符·二模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止：当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了16 min内9个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况：
接通电源后的时间（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
…
水箱中水的温度（单位：）
20
35
65
80
64
40
32
20
…
m的值为__________．
（2）①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式__________；当时，写出一符合表中数据的函数解析式__________．
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源__________min．
三练拔高
11．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为
（1）当时，解答：
①求与的函数关系式（不写的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
12．（2021·山西太原·一模）某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其他费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．
任务1：该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
小明的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×0.05＝10（元）；如果3天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×2×0.05+200×0.05＝30（元）；如果4天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×3×0.05+200×2×0.05+200×0.05＝60（元），他发现已有的数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是他解决这个问题的过程，请解答相关问题．
（1）计算得到x与y的部分对应值如下表，请补全表格；
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Y/元
…
455.0
430.0
420.0
415.7
417.5
420.0
423.0
…
（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点；
（3）结合图象：养殖场 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
任务2：提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．
13．（2020·山东汶上·二模）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价(元/千克)
400
300
250
240
200
150
125
120
销售量(千克)
30
40
48
50
60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
14．（2020·河南·九年级专题练习）小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）．
小强根据他学习函数的经验做了如下的探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：
建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米．则y关于x的函数表达式为________；列表（相关数据保留一位小数）：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y
17
10
8.3
8.2
8.7
9.3
10.8
11.6
描点、画函数图象：
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
观察分析、得出结论：
根据以上信息可得，当x＝________时，y有最小值．
由此，小强确定篱笆长至少为________米．
15．（2021·江苏连云港·二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为
，且当时，；当时，．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）与之间的函数表达式为 ；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
热点4：一次函数与几何图形
一练基础
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的顶点和分别在反比例函数与的图象（部分）上，且轴，顶点在轴上，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为________．
4．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．
5．（2021·广东·铁一中学二模）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、，为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数（）的图象于点，．
（1）求点和点的坐标；
（2）求的值和点的坐标．
二练巩固
6．（2022·广东黄埔·九年级期末）正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图：四边形ABCD为菱形，且对角线BD∥x轴，A、C两点在y轴上，E点在BC上，且BE＝2CE，双曲线y＝（x＞0）经过E、B两点，且，则k的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
8．（2021·重庆实验外国语学校三模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交边于点，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，反比例函数（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
三练拔高
11．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级阶段练习）如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则______．
13．（2021·山东乳山·模拟预测）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为____________．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图①，已知点A（-2，0），B（0，-4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数的图象经过C、D两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图②，延长DC，交x轴与点F，连接OC，在反比例函数的图象是否存在点P，使得S△PCE=S△OCF？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
热点4：一次函数与反比例函数的综合问题
一练基础
1．如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0
2．（2021·广西合浦·九年级期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）（1）已知反比例函数的图象和正比例函数图象都经过点，求两个函数的表达式；
（2）若（）的解是，求的值．
4．（2021·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
5．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与x轴交于点，若OC＝AC，且＝10
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax＋b＞的解集．
二练巩固
6．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．当时，
C．一次函数的解析式为 D．若，则
7．（2021·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（3）若点在线段上，且，求点的坐标．
8．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
9．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，双曲线y=（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（2，4）、B两点，点D是x轴上一点，C在双曲线上且是AD的中点．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）连结BC，求△ABC的面积．
10．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．
三练拔高
11．（2021·山东·日照港中学二模）如图，双曲线（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（，3）、B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一点，连接AD，点C是线段AD的中点，则n的值为________________．
12．（2021·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
13．（2021·四川巴中·中考真题）如图，双曲线y与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y有唯一交点，求n的值．
14．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
15．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）如图1，已知直线分别与双曲线、（）交于、两点，且．
（1）求的值；
（2）如图2，若点是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线（）于点、，连接．请你探索在点运动过程中，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若点是直线上的一点，请你进一步探索在点运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
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