2021学年第3章 因式分解综合与测试单元测试练习题

湘教版初中数学七年级下册第三章《因式分解》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：100分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列因式分解正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是

A.
B.
C.
D.

4. 多项式的公因式是

A.  B.  C.  D.

5. 对于，，从左到右的变形，表述正确的是

A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算
C. 是因式分解，是乘法运算 D. 是乘法运算，是因式分解

6. 多项式：；；；分解因式后，结果中含有相同因式的是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，求代数式的值为

A.  B.  C.  D.

9. 多项式分解因式，结果正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 若为任意整数，的值总可以被整除，则等于   

A.  B.  C. 或 D. 的倍数

12. 已知，，，则的值为

A.  B.  C.  D. 无法确定

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若多项式可以被分解为，则______，______，______．
14. 若，则的值为______．
15. 分解因式：______．
16. 关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，则的值是_________．

三、计算题（本大题共8小题，共52.0分）

17. 把下列多项式因式分解：
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 分解因式：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 对于一个各位数字都不为零的三位正整数，若满足个位上数字是十位上数字的倍，则称为“绽放数”将一个“绽放数”任意一个数位上的数字去掉后可以得到三个新两位数，把这三个两位数之和记为如“绽放数”，去掉百位上的数字后得到，去掉十位上的数字后得到，去掉个位上的数字后得到，则．
    求：，；
    若能被整除，求出满足条件的所有“绽放数”．
    
    
    
    
    
    
     
20. 阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图可以得到请解答下列问题：
    写出图中所表示的数学等式______；
    利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
    小明同学打算用张边长为和张边长为的小正方形，张相邻两边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，那么他总共需要多少张纸片？

21. 分解因式：；                        
    ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 若的三边长分别为、、，且，判断的形状．
    
    
    
    
    
    
     
23. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
    例如，由图可得等式．
    如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
    利用中所得到的结论，解决下面的问题：
    已知，，求的值．
    如图，琪琪用张型纸片，张型纸片，张型纸片拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为多少？直接写出答案

24. 阅读材料：
    我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
    尝试应用：
    把看成一个整体，合并的结果是______ ．
    A.       
    已知，求的值；
    拓广探索：
    已知，，，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，故错误；
，，故错误；
，，故正确；
，，故错误；
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义即可求解．
本题考查了因式分解的意义，属于基础题，关键是掌握因式分解的定义．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，因式分解错误，故本选项不符合题意；
B、，因式分解错误，故本选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是正确的因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，即可作出判断．
本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，是中考中的常见题型．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查因式分解的概念，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题．
根据因式分解的定义即可判断．
【解答】
解：该变形为去括号，故A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
C.符合因式分解定义，故C是因式分解；
该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：多项式的公因式是：．
故选：．
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．
【解答】
解：，从左到右的变形是因式分解；
，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以是因式分解，是乘法运算．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：；
；
；
；
结果中含有相同因式的是和；
故选：．
首先把各个多项式分解因式，即可得出答案．
本题考查了因式分解的方法以及公因式；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：．
根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
此题考查了平方差公式以及运用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：

，
将，代入得，．
故代数式的值为．
故选：．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其它方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
．
故选：．
先将原方程化成非负数和为的形式，再根据非负数的性质求得、，进而代入代数式求得结果．
本题主要考查了非负数和为的性质，因式分解，关键是进行因式分解，把原方程化为非负数和等于的形式．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．利用平方差公式进行因式分解，然后整理成含有常数因式的形式．
【解答】
解：，
，
，
的值总可以被整除，
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得的值．
将已知的两个方程相减，求得的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．  

13.【答案】   
 

【解析】解：多项式可以被分解为，
，
，，，
故答案为：，，．
根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，注意：．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的应用和代数式求值，整体代入法；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
利用因式分解把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【解答】
解：，





．  

15.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方进行二次分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是多项式的因式分解，多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的计算法则解答此题．
【解答】

解：设，

，

，
，解得或
当时，解得
当时，解得

．
故答案为．

17.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
．
 

【解析】原式变形后，提取公因式即可；
原式提取公因式，再利用乘法公式展开合并即可；
原式提取公因式即可．
此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式．
 

【解析】见答案
 

19.【答案】解：，
，
答：的值为，的值为；
设“绽放数”的十位数字为，个位数字为，百位数字为，
则，
由题意可得：，，且，均为正整数，
又能被整除，
，且能被整除，
当时，方程无正整数解，故此情况不成立；
当时，解得，此时“绽放数”为；
当时，解得，此时“绽放数”为；
当时，解得，此时“绽放数”为；
当时，解得，此时“绽放数”为；
综上，满足条件的“绽放数”为或或或．
 

【解析】根据新定义内容列式计算；
设“绽放数”的十位数字为，个位数字为，百位数字为，然后根据新定义内容列出的式子，并结合和的取值范围以及能被整除的特点确定和的值，从而求值．
本题属于新定义内容，考查二元一次方程的解，理解新定义内容，列出二元一次方程并确定其符合题意的正整数解是解题关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：根据阅读材料，
观察图中所表示的数学等式：

故答案为：



答：的值为．



答：总共需要张纸片．
根据阅读材料即可写出数学等式；
根据中所得到的结论，代入求值即可；
根据多项式乘以多项式，再根据的思想，即可得出结论．
本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用数形结合思想．
 

21.【答案】解：

；
解：
．
 

【解析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可；
利用完全平方公式进行分解即可．
 

22.【答案】解：已知等式移项得：，
分解因式得：，即，
的三边长分别为、、，
，，，即，
，即，
则为等腰三角形．
 

【解析】方程移项后分解因式，根据两数相乘积为，两因式至少有一个为得出三边的关系，即可作出判断．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

23.【答案】解：；
，，
；
根据题意得：，
则较长的一边为．
 

【解析】根据图，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
根据中结果，求出所求式子的值即可；
根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
此题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

24.【答案】
 

【解析】解：把看成一个整体，合并的结果是，
故选：；
，
原式；
，，，
原式．
把看做一个整体，合并即可得到结果；
原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．