黑龙江省大庆铁人中学2022届高三上学期第一次月考数学（理）试题 含答案

铁人中学2019级高三上学期阶段考试

数学试题（理）

试题说明：1、本试题满分150分，答题时间150分钟。         

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 设数是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

A. 1 B. 2 C.  D. 4

3. 曲线在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，若，则实数m的值为   

A. 9 B. 7 C. 17 D. 21

5. 如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是

A. 甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B. 甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C. 甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D. 甲、乙两班所有学生这5次数学测试的总平均分是103
 

6. 设函数，则下列结论错误的是

A. 的一个对称中心为
B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 在单调递减

7. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为   

A. 12 B. 24 C. 48 D. 60

8. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A. 2 B.  C.  D.

9. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了

A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里

10. 已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 

A.  B.  C.  D.

11. 已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，若m取最大值时，点P恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为   

A.  B.  C.  D.

12. 已知数列满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是

A. 60 B.62 C. 63 D. 65

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设，则z的虚部为           
14. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则             
15. 已知A、B、C为的三内角，且角A为锐角，若，则的最小值为          ．
16. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点若，则的值是          ．
     

  三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

17. 在中，角所对应的边分别为，且满足，．
    求的面积；
    若，求a的值．

18. 正项等比数列的前n项和为，，若，且点在函数的图象上．

求，通项公式；
记，求的前n项和.
 

19. 如图，在正方体中，E为的中点．
    Ⅰ求证：平面；

Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．

20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：的左焦点为，且点在上
    求椭圆的方程；
    设直线l同时与椭圆和抛物线：相切，求直线l的方程．

21. 已知函数其中a为参数．

求函数的单调区间；

若对任意都有成立，求实数a的取值集合；

证明：其中为自然对数的底数．

22. 已知曲线C：，直线l：为参数，点P的坐标为．
    写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
    若直线l与曲线C相交于A、B两点，求的值．

参考答案

1.【答案】D

【解答】
解：集合，，
 ．
故选D ．  

2.【答案】B

【解答】

解：由条件，所以，

设公差为d，则，解得，
又数列单调递增，所以，

所以，

故选B．

3.【答案】A

【解答】
解：，
，则切线斜率，
在点处的切线方程为：，即．
故选A．  

4.【答案】B

【解答】
解：根据题意得，因为，

所以，得．
故选：B．

5.【答案】D

【解答】
解：由题意可得甲班的平均分的平均水平是，
中位数是103，
方差是；
乙班的平均分的平均水平是，
中位数是101，
方差是，
则A，B，C正确；
因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，
故D错误．
故选D．  

6.【答案】D

【解析】解：函数，
令，求得，故A正确；
令，求得，是最值，故B正确；
令，求得，故C正确；
当，，故在单调递增，故D错误，
故选：D．
由题意利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
 

7.【答案】C

【解答】
解：根据题意，分3步进行分析：
将电影票分成4组，其中1组是2张连在一起，有4种分组方法，
将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有种情况，
将剩余的3张票全排列，分给其他三人，有种分法，
则共有种不同分法．
故选：C．  

8.【答案】C

【解答】
解：当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，，
当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，，
当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，，
当时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．  

9.【答案】B

【解析】

【解答】
解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，
解得，
第此人二天走里，
第二天走了96里，
故选B．  

10.【答案】B

【解答】

解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，

设球O的半径为R，此时，
故，则球O的表面积为，
故选：B．

11.  【答案】B

【解答】
解：如图，过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得，

，  ，

设PA的倾斜角为，则，

当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为，代入，
可得，即，

，，
求得切点坐标，

双曲线的实轴长为，
双曲线的离心率为．

故选B．

12.【答案】C

【解析】解：根据题意，数列，中满足，即+1，
变形可得，
又由，则数列是首项为4，公比为的等比数列，则，
，

则8+

当时，单调递增,<2021,>2021故满足不等式的最小整数为63．
故选：C．
 

13.【答案】

【解答】
解：
，
即z的虚部为．  

14.【答案】

【解答】

解：根据题意，时，，则，
又由函数为R上的奇函数，则．
故选B．

15.【答案】

【解答】

解：，角A为锐角，
，，
，

，
当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为．
故答案为．

16.【答案】

【解答】

解：设，

，
，，
，
，

，
，
，，
．

又=，=,

BD=CD,==
故答案为：

17.【答案】解：因为，
，，
又由，
得，，

解法1：对于，又，

或，
由余弦定理得，

解法2：，又，
由余弦定理得，．

【解析】本题主要考查了解三角形的问题．涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角形面积公式等，属于基础题．
利用二倍角公式利用求得cosA，进而求得sinA，进而根据求得bc的值，进而根据三角形面积公式求得答案．
解法，1，根据bc和的值求得b和c，进而根据余弦定理求得a的值．
解法2，根据bc和的值，利用求出答案．

18.解：由题意，设等比数列的公比为，则，
化简整理，得，解得舍去，或，
，，，点在函数的图象上，
，．
由得，，
．

19.【答案】解：Ⅰ由正方体的性质可知，中，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面E.
Ⅱ以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则0，，0，，0，，a，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．
Ⅰ根据正方体的性质可证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；
Ⅱ以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为，先求出平面的法向量，再利用，以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．
 

20.【答案】解：因为椭圆的左焦点为，所以，
点代入椭圆，得，即，
所以
所以椭圆的方程为．
直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为，
由，消去y并整理得，
因为直线l与椭圆相切，
所以
整理得
由，消去y并整理得
因为直线l与抛物线相切，所以
整理得
综合，解得或
所以直线l的方程为或．

【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，由此能求出椭圆的方程．
设直线l的方程为，由，得因为直线l与椭圆相切，所以由此能求出直线l的方程．
 

21.【答案】解：，，
，，
当时，恒成立，
在上单调递增；
当时，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
综上：时，在上递增，无减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
对恒成立，
，
当时，由知在定义域内单调递增，
当时，，不符合题意；
当时，由知．
令，则，
令，则，

，
又，
的唯一解为，
实数a的取值集合为．
证明：要证，
两边取对数，只要证，
，，，，
即要证，
令，则只要证，，
由知当时，
在上单调递增，
，即，
．
令，
，
在上单调递增，
，即，
．
综上可得，得证，即原不等式得证．

【解析】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、导数性质的合理运用，属于难题．
求出，，再讨论a的取值范围，从而求出其单调区间；
按和分类讨论，适当构造函数通过求导讨论最值即可得解
分析原不等式，要证，即证，令，则只要证，，利用的结论证明右边不等式，构造函数证明左边不等式即可．

22.【答案】解：由曲线C：的方程可得其参数方程为：为参数；
由直线l：为参数，消参t可得，
即直线l的普通方程为：；
法联立直线l与椭圆的方程：，整理可得：，解得，，代入直线l的方程可得，，
所以设，，
所以；
法将直线l的标准的参数方程代入椭圆中可得：，整理可得：，
，，可得，同号，
所以．

【解析】由椭圆的参数方程的求法及椭圆的方程可得C的参数方程，将t消去可得直线l的普通方程；
法将直线l的普通方程与椭圆的普通方程联立求出交点的坐标，进而求出的值．
法用直线l的标准的参数方程代入椭圆的普通方程可得t的二次方程，求出两根之和及两根之积，由两根之积大于0可得，的符合相同，进而可得的值．
本题考查椭圆及直线的普通方程与参数方程之间的互化，及求直线与椭圆的交点弦长的求法，属于中档题．