2021-2022学年江西省临川第一中学高一年级上学期第一次月考数学试题含解析

江西省临川第一中学2021-2022学年高一年级上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．N中最小的数是1

B．若，则

C．若，，则最小值是2

D．的实数解组成的集合中含有2个元素

【答案】C

【分析】

根据集合中元素的特点判断ABC，解一元二次方程结合集合元素的互异性判断D.

【详解】

N是非负整数集，最小的非负整数是0，故A错误；

当时，，且，故B错误；

若，则a的最小值是1，又，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，

取最小值2，故C正确；

的实数解为，故实数解组成的集合中含有1个元素，D是错误的.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了集合中元素的互异性，以及元素与集合的关系，属于基础题.

2．若，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

应用特殊值法：判断A、D的正误，根据不等式的性质判断B、C的正误.

【详解】

A：时，不成立，错误；

B：由，两边同时减去，有，正确；

C：当时，由则，错误；

D：时，不成立，错误；

故选：B

3．已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】

根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定

【详解】

因为命题：，，

所以命题的否定：，，

故选：C.

4．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A．4 B．8 C．7 D．16

【答案】B

【分析】

先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数.

【详解】

因为的解为或，所以；

又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素，

所以的个数即为集合的子集个数：，

故选：B.

【点睛】

本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般.

5．已知集合,则中所含元素的个数为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

列举法得出集合，共含个元素．

故答案选

6．下列不等式中解集是R的是（   ）

A．； B．； C．； D．.

【答案】D

【分析】

分别解不等式，即可得出结果.

【详解】

A选项，由得，所以解集为，排除A；

B选项，由得，所以解集为，排除B；

C选项，由得，解得，即解集为，排除C；

D选项，由得，则，显然恒成立，所以解集为R，即D正确；

故选：D.

7．如图在同一个坐标系中函数和（）的图象可能的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意，分与两种情况讨论，结合一次函数、二次函数的图像和系数关系，分析选项可得答案.

【详解】

解：由题意得：

当时，函数开口向上，顶点在原点，而的图像过一、三、四象限；

当时，函数开口向下，顶点在原点，而的图像过二、三、四象限；

故选：D

8．如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是

A．如果，那么

B．如果，那么

C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立

D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立

【答案】C

【分析】

观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由四个三角形的面积和大正方形的面积的大小关系，得到，结合基本不等式可得出结论.

【详解】

通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，

设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，

如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，

当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.

故选：C.

二、多选题

9．（多选题）已知集合，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】

先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.

【详解】

由题得集合，

由于空集是任何集合的子集，故A正确：

因为，所以CD正确，B错误.

故选ACD.

【点睛】

本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】BD

【分析】

根据充分性和必要性的定义结合不等式的性质，对各个选项逐一分析即可得出答案.

【详解】

解：对于A，当时，由不能推出，故A错误；

对于B，若是无理数，则a是无理数，若a是无理数，则是无理数，所以“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B正确；

对于C，若，当时，，所以“”不是“”的充分条件，故C错误；

对于D，，当时，，当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：BD.

11．设，，且不等式恒成立，则实数可取（    ）

A．0 B．4 C．-4 D．5

【答案】ABCD

【分析】

将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，用基本不等式求得的最大值即可.

【详解】

因为，不等式恒成立，

所以，不等式恒成立，

令，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为-4，

所以，

所以实数可取，，,5

故选：ABCD

12．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ）

A．集合为闭集合

B．正整数集是闭集合

C．集合为闭集合

D．若集合为闭集合，则为闭集合

【答案】ABD

【分析】

根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．

【详解】

选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；

选项C：当时，设，

则，所以集合M是闭集合，C选项正确；

选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知全集U=R，集合A={|>1}，B={y|-1<y<2}，则=______________

【答案】

【分析】

根据交集与补集的概念，即可得出结果.

【详解】

因为全集，，

所以或，

又，

所以.

故答案为：.

14．若集合，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】

根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.

【详解】

由题意，集合，

若时，集合，满足题意；

若时，要使得集合，

则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.

15．已知：，：（为实数）.若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】

根据的一个充分不必要条件是求得的取值范围.

【详解】

设，

由于的一个充分不必要条件是，

所以，所以.

故答案为：

16．下列结论中，请写出正确的结论序号是_______.

①不等式解集为实数集

②若，，，则的最小值为1

③已知，，，则值为1或

④函数的定义域为，则实数的取值范围为

【答案】②④

【分析】

①④结合判别式进行判断，②利用基本不等式判断，③利用特殊值进行判断.

【详解】

①，，所以不等式的解集不是，①错误.

②，，，，，，

，当且仅当时等号成立，②正确.

③，当时，，满足，所以③错误.

④，当时，，定义域为；

当时，.

综上所述，的取值范围是，所以④正确.

故答案为：②④

四、解答题

17．已知集合，．

（1）若，求；

（2）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）条件选择见解析，.

【分析】

（1）当时，得到集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解；

（2）若选①：由，得到，列出不等式组，即可求解；

若选②：由，得到，列出不等式组，即可求解；

若选③：由，得到，，列出不等式组，即可求解.

【详解】

（1）当时，集合，

因为，所以或．

（2）若选①：因为，可得，所以，解得．

若选②：因为，可得，则，解得．

若选③：因为，可得，则，解得．

18．已知集合，.

（1）若A为非空集合，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）若，则有，从而可得答案；

（2）若，则，分和两种情况讨论，即可得出答案.

【详解】

解：（1）若，则有，解得：，

可得实数的取值范围为；

（2）或，

因为，所以，

①，则，解得：；

②，即时，因为，

所以或，解得，

综上可得实数的取值范围为.

19．（1）若，则函数的最大值；

（2）已知，，且，则的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用基本不等式求得最大值.

（2）将转化为只含的形式，结合二次函数的性质求得最大值.

【详解】

（1）若，，化简函数

，

当且仅当时，得到最大值为-5.

（2）因为，，且，所以，，

，

当时，取最小值，

所以取最大值，

故的最大值是.

20．已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.

（1）求集合A和集合B；

（2）若是的 充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）或.

【分析】

（1）解一元二次不等式求得集合和.

（2）是充分条件则，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】

（1）集合：

所以.

集合：.因为

所以.

（2）因为，

则或.

解得：或.

21．设二次函数.

（1）若，且二次函数的最大值为正数，求的取值范围；

（2）若的解集是，求的解集.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由题意可得，再根据二次函数的最大值为正数，可得，且，解得即可；

（2）根据题意可得，，此时，分，，讨论即可得到结论.

【详解】

（1）由题意，当，时，，

又二次函数的最大值为正数，可得，且，

解得，故的取值范围是.

（2）由题意可知，和2为方程两解，则，，

解得，，此时不等式为，即，

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

22．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本

（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】（1），；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

【分析】

（1）依题意得到的函数解析式；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；

【详解】

解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；

所以收益，

（2）由（1）可知，

其中，当且仅当，即时取等号，

所以，

所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方