2021-2022学年河南省实验中学上学期高一年级第一次月考数学试题含解析

河南省实验中学2021-2022学年上学期高一年级第一次月考数学试题

1．已知集合，或，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】B

【分析】

求出后再根据并集的概念运算可得结果.

【详解】

，

所以.

故选：B

2．下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案.

【详解】

对①：是集合，也是集合，所以不能用这个符号，故①错误.

对②：是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.

对③：是集合，也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.

对④：是元素，是不含任何元素的空集，所以，故④错误.

对⑤：是元素，是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.

故选：C.

【点睛】

本题是一道基础题目，主要考查集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系.

3．设集合，若，则（    ）

A．或或2 B．或 C．或2 D．或2

【答案】C

【分析】

分和讨论，即得解.

【详解】

当时，，符合题意；

当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.

故或.

故选：C

【点睛】

本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4．的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】

将所求不等式变形为，利用高次不等式的解法解此不等式即可得解.

【详解】

由可得，

如下图所示：

由图可知，原不等式的解集为或.

故选：D.

5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】

，当时，A不正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；利用基本不等式可推出D正确.

【详解】

对于A，当时，不成立，故A不正确；

对于B，若，则，又，所以，故B不正确；

对于C，因为，，

所以当时，，此时，故C不正确；

对于D，因为，所以，，所以，故D正确.

故选：D

6．已知，且，，则、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】

利用作差法可得出、的大小关系.

【详解】

已知，且，，则，

所以，，

因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用作差法比较代数式的大小，考查推理能力，属于基础题.

7．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或  D．或

【答案】A

【分析】

由不等式的解集为,可得的根为，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.

【详解】

的解集为,则

的根为，即，，

解得，

则不等式可化为，即为，

解得或，

故选：A.

8．已知，，且，则的最小值是（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】

利用基本不等式“1的代换”即可求出最小值.

【详解】

因为，，且，所以，

所以，

当且仅当，时，等号成立．

故选：C

9．已知集合，，若，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

解不等式化简集合，再根据列式可求出结果.

【详解】

由得，所以，

由得或，所以或，

因为，所以，得.

所以a的取值范围是.

故选：A

10．命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据命题是假命题求出的取值范围，再利用必要不充分条件即可求解.

【详解】

命题“，”为假命题，

则，解得，

对于A，能推出，反之不成立，故A正确；

对于B，不能推出，反之成立，故B不正确；

对于C，不能推出，反之成立，故C不正确；

对于D，能推出，反之成立，故D不正确.

所以命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是.

故选：A

11．已知关于的不等式的解集为，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】

由题设知，讨论、、求不等式的解集，结合已知列方程组求m、n，注意验证是否符合题设，进而可求.

【详解】

由题设，的解集为，

∴，

当，则，此时，即，有，

当，无解，

当，则，此时，无解，

综上，.

故选：B

12．若，且，则的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.

【详解】

因，且，则，即有，同理，

由得：，

于是得，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为.

故选：D

13．某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人

【答案】5

【分析】

本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.

【详解】

由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图，

又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，

故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名，

则没有参加任何一科竞赛的学生有名，

故答案为：5.

【点睛】

关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题.

14．已知﹣1<2s+t<2，3<s﹣t<4，则5s+t的取值范围__________.

【答案】（1，8）

【分析】

设5s+t=m（2s+t）+n（s﹣t），根据条件求出m和n的值，再求出5s+t的范围.

【详解】

设5s+t=m（2s+t）+n（s﹣t），

则5s+t=（2m+n）s+（m﹣n）t，

则，解得，

则5s+t=2（2s+t）+（s﹣t），

∵﹣1<2s+t<2，∴﹣2<2（2s+t）<4，

又∵3<s﹣t<4，

∴1<2（2s+t）+（s﹣t）<8，

即1<5s+t<8，

∴5s+t的取值范围是（1，8）.

故答案为：（1，8）.

15．集合仅有两个子集，则实数m的取值范围为_________．

【答案】

【分析】

转化为方程有且只有一个实根，再讨论方程的类型，当时，显然符合题意；当时，由可求出结果.

【详解】

因为集合仅有两个子集，

所以集合中有且只有一个元素，即方程有且只有一个实根，

当时，方程变为，符合题意；

当时，，解得，

综上所述：实数m的取值范围为.

故答案为：

16．当集合中的元素个数最少时，实数的取值范围是_____

【答案】

【分析】

对进行分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数所满足的条件即可

【详解】

①当时，集合

当时，令，

②当时，，故集合

③当时，，故集合，此时集合的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，，根据对勾函数性质，当且仅当时，取到最大值，要满足集合元素个数最少，需满足，化简得，即

故答案为

【点睛】

本题考查集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题

17．已知集合，，

（1）当时，求；

（2）若，求实数m的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果；

（2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果.

【详解】

（1）由得，得，所以，

当时，由，得，所以，

所以或，

所以.

（2）因为，所以，所以，即，

由得，得，，

所以，

因为，所以，，

解得.

18．已知集合且.

（1）若“命题”是真命题，求m的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先化简集合，再根据P为真，由，且求解..

（2）根据是的充分不必要条件，由B是A的真子集，且求解.

【详解】

解得，则，

（1）

，

；由p为真，则，

或

或，

.

（2）因为是的充分不必要条件，

所以B是A的真子集，且

所以，

解得

19．已知关于不等式的解集为.

（1），求实数的取值范围.

（2）当不为空集，且时，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据，令，由求解.

（2）根据不为空集，且，当时，由求解，验证即可.

【详解】

（1）因为可知，令，

则，即，

解得：；

（2）∵不为空集，且

1.当时，则，即，

解得：；

2.当时，也符合题意：

综上：.

【点睛】

方法点睛：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

20．已知集合，．

（1）当时，求；

（2）求使的实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【分析】

（1）当时，化简集合，根据交集的概念运算可得结果；

（2）按照是否等于和与的大小关系分类讨论，根据列式可解得结果.

【详解】

（1）当时，,

,

所以.

（2） 当时，，，不符合题意；

当时，，

当，且，即且时，，

此时，即，

由可得，解得，

当，即时，，不符合题意；

当，即时，，

因为，所以由得，解得，

综上所述：实数a的取值范围是或.

21．已知，函数满足.

（1）求的最小值；

（2）解关于x的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）转化条件为，进而可得，结合基本不等式即可得解；

（2）转化条件为，按照、、分类，由一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】

（1）由已知得，即，

，

∴当且仅当即，等号成立，

∴最小值为；

（2）由题意，

∵，∴，∴，∴，

方程的两根为，

当时，即，不等式的解集为；

当时，即，不等式的解集为；

当时，即，不等式的解集为.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1） “一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每件80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率．A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）．

（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；

（2）当复工率k＝0.6时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？

【答案】（1）,，；（2）政府补贴万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大利润为万元

【分析】

（1）由题意可得，再将代入即可得解；

（2）将函数解析式化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求出结果.

【详解】

（1）由题意可得

，，.

（2）

，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，

所以，

所以政府补贴万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大利润为万元.