2021-2022学年江西省抚州市临川第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年江西省抚州市临川第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则集合（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出集合A、B，即可求出.

【详解】集合或，，

所以.

故选：D

2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由已知等量关系，应用复数的除法可得，即可得共轭复数，进而确定虚部.

【详解】由题设，，则，

所以的虚部为.

故选：B

3．“”是“过点有两条直线与圆相切”的（       ）

A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由已知在外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.

【详解】由已知，在圆外，则，解得，

所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件，

故选：C

4．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式，将已知等式两边平方得，再由诱导公式即可求.

【详解】由题设，，

所以.

故选：B

5．已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（       ）

A． B．9 C． D．2

【答案】B

【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．

【详解】由函数的图象经过，则，即．

，当且仅当时取到等号．

故选：B．

6．观察下列各式：，，则的个位数字是（       ）

A．3 B．9 C．7 D．1

【答案】B

【分析】个位数出现顺序为，且周期为4，即可确定的个位数字.

【详解】由题设，个位数出现顺序为，且周期为4，

所以，即的个位数字与相同.

故选：B

7．已知函数，则其大致图象是下列图中的（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据函数的奇偶性排除AD，接着比较选项BD得到只需判断函数与直线在时交点横坐标的大小即可，最后结合函数图象进行判断即可.

【详解】因为定义域为，

又，

所以函数是偶函数，故排除AD，

结合选项BD，只需求解函数与直线在时交点的横坐标，

令，，解得即，

当时，，

所以函数与直线在时的第一个交点的横坐标为，

结合函数图象可知，选项C符合题意，

故选：C.

8．某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，……，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（       ）

A．，86 B．，87 C．，87 D．，86

【答案】C

【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.

【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以i>5，

由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为故选：C

9．垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法错误的是（       ）

A．变量、之间呈正相关关系 B．可以预测当时，的值为

C． D．由表格中数据知样本中心点为

【答案】C

【分析】利用回归直线方程可判断A选项；将代入回归直线方程可判断B选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因为回归直线方程，故变量、之间呈正相关关系，A对；

对于B选项，当时，，B对；

对于CD选项，，则，

故样本的中心点的坐标为，

另一方面，，解得，C错D对.

故选：C.

10．已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率．

【详解】由已知，，

当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为；

当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为．

故选：C．

11．如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（       ）

A．72 B．64 C．56 D．32

【答案】A

【分析】先根据三视图还原几何体，然后求解几何体的体积.

【详解】根据三视图可推理得知该几何体是一个长方体中挖去了一个正四棱锥剩下的几何体，

还原成直观图如图：

故该几何体的体积为.

故选：A.

12．已知函数，若，成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将不等式变形为，构造，利用导数研究其单调区间，讨论、，综合运用参变分离法、构造利用导数研究恒成立，求参数范围．

【详解】因为，得，整理得：，

设，则，在上，递增，

当时，，而原不等式等价于，

若时，，则，即在上恒成立，

由且，则，即递增，故，则，

所以；

当时，在时，，满足题设，

综上，的取值范围是.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：将题设不等式转化为，构造，利用导数研究单调性，并讨论参数a研究不等式恒成立问题.

二、填空题

13．已知是定义在上的奇函数，当时，，___________．

【答案】

【分析】因是定义在上的奇函数，所以，从而可求，再由奇函数的定义即可求出的值.

【详解】解：是定义在上的奇函数，又当时，，

，

，

当时，，

，

故答案为：.

14．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________.

【答案】或或

【分析】对两边平方化简，求出，再利用数量积的几何意义可求得结果

【详解】由，得，

因为向量和的夹角为150°，且，

所以，得，

，

所以或，

当时，在上的投影为，

当时，在上的投影为，

综上，在上的投影为或，

故答案为：或

15．在区间与中各随机取1个数，则两数之和小于的概率为_______．

【答案】

【分析】由题设列不等式组，画出对应的可行域，应用几何概型—面积型求两数之和小于的概率即可.

【详解】由题设，令，可得如下图示的对应可行域，

要求两数之和小于的概率，即求阴影部分面积占边长为1的正方形面积的比例即可.

而直线过，，则阴影部分面积，

所以两数之和小于的概率为.

故答案为：.

16．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

【答案】150

【详解】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，

．

故答案为150．

【解析】正弦定理的应用．

三、解答题

17．在平面直角坐标系：xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)点，直线l与曲线C交于A，B两点，若，求直线l的普通方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）化简曲线C的极坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得到，求得，，得到，分别求得的值，得出直线的参数方程，进而求得直线的普通方程．

【详解】(1)解：由曲线C的极坐标方程为，可得，

根据，可得，

所以曲线C的直角坐标方程.

(2)解：将直线的参数方程（t为参数，），

代入曲线的方程，整理得，

设A，B所对应的参数分别为，，则，，

所以，

因为，所以，，

故直线l的参数方程为（t为参数）或（t为参数），

所以直线l的普通方程为或．

18．2022年2月4日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校体育社团从全校学生中随机抽取了200名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：

(1)根据上表说明，能否有99.5％的把握认为，是否收看冬奥会与性别有关？

(2)现从参与问卷调查且收看了冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人参加冰雪运动志愿宣传活动．若从这7人中随机选取2人，求选取的2人中有1名男生1名女生的概率．

附：，其中．

【答案】(1)有，理由见解析；

(2).

【分析】(1)根据公式计算出即可判断；

(2)先求出选取的7人中，男生的人数和女生的人数，再将男女生编号，采用列举法求概率即可.

【详解】(1)∵，

∴有99.5％的把握认为“是否收看冬奥会”与性别有关.

(2)采用按性别分层抽样的方法，选取7人，

则男生有人，女生有7－4＝3人，

男生4人编号为a、b、c、d，女生3人编号为1、2、3，

则从这7人里面选取2人有如下21种可能组合：

，，，，12，13，23，

其中有1名男生1名女生的组合有12种，

故所求概率为：.

19．已知数列的前n项和为，且，对任意的数列满足

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用可求出，再根据求出，进而根据可求出；

（2）根据，利用裂项求和法可求出，再利用单调性可求出结果.

【详解】（1）因为，所以当时，，

所以，得，

所以，

所以.

（2）因为，

所以

，

因为为单调递增数列，所以当时，取得最小值，

又，所以的取值范围是.

20．如图，四边形为正方形，若平面，，，．

(1)在线段上是否存在点，使平面平面，请说明理由；

(2)求多面体的体积．

【答案】(1)存在，理由见解析；

(2).

【分析】（1）在线段上取一点，使得，可证明四边形是矩形，所以，由面面垂直的性质定理可得面，，再由线面垂直的判定定理可得面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；

（2）将多面体分割为四棱锥和三棱锥，由锥体的体积公式计算即可求解.

【详解】(1)存在这样的点为线段靠近点的三等分点，使平面平面，

证明如下：在线段上取一点，使得，因为，所以，

所以，又因为，所以四边形是平行四边形，

又因为，所以四边形是矩形，所以，

因为四边形为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，面，

所以面，因为平面，所以，

因为，所以面，

因为面，所以平面平面.

(2)在中，，，

可求得，，

在中，，

过点作于点，因为平面平面，

平面平面，，面，

所以面，所以即为四棱锥的高，

所以，

所以，

，

所以多面体的体积为．

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M在椭圆C上移动，的周长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，O为坐标原点，点P为直线上的动点，连接AP交椭圆于点Q（异于点A）.判断是否为定值，若是，求出该定值；若否，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是，4

【分析】（1）由离心率及的周长列出方程组，解出与，进而求出椭圆方程；

（2）设出，表达出直线，联立椭圆方程，表达出Q点坐标，计算出为4，得到答案.

【详解】(1)由题意得：离心率，由椭圆定义可得：的周长为，解得：，，则.

∴椭圆方程为.

(2)，，设，，

则，，，

则直线，即，

联立，得，

∵，

∴，，

∴，，

∴.

所以为定值4.

22．已知函数在处的切线方程是．

(1)求的单调区间；

(2)如果且．求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求函数的导数，根据切线方程列出相应的方程组，即可求得m,n的值，继而根据导数求得答案；

（2）将要证明的不等式进行变式，分情况考虑，① ；②，①可根据函数的单调性解决，②要根据所给条件将展开，然后根据其展开的式子特点构造新的函数，利用导数判断其单调性，加以解决.

【详解】(1)由得：，

而函数在处的切线方程是，

故，，

联立解得 ，

故， ，令，

则，当时，，当时，，

故 ，

即，所以在定义域内是单调减函数，

即的单调减区间为 ，无单调增区间；

(2)证明:由（1）可知，

因为且，

不妨设，那么与1的大小关系有两种：① ；②，

对于①，由（1）知：在定义域内是单调减函数，

所以，，

所以；

对于②，由得：，

故，

所以

=，

由知：，

设，则，

而，

所以，

即有是单调减函数，故，

即，

故，即.

【点睛】本题考查了导数几何意义的应用以及和导数有关的不等式的证明问题，综合性较强，解答这类题的关键是要将不等式进行合理的变式，然后构造新的函数，利用导数判断其单调性以及求其最值，因此，如何合理的变形是问题突破的重要环节，这就要观察不等式的特点，其中所含有的是何种样式的函数，据此灵活应变才可解决问题.