广东省东莞市2022届高三上学期期末考试数学试题含解析

2021－2022学年度第一学期教学质量检查

高三数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】因为集合，，

，

故选：A

2. 的展开式中项的系数是（    ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项式定理求得中项的系数，进而可求得的展开式中含项的系数.

【详解】当且，的展开式通项为，

所以，的展开式中含的系数为，

的展开式中，含项的系数是.

故选：B.

3. 已知函数，，则下列结论正确的是（    ）

A. 是偶函数 B. 是奇函数

C. 是奇函数 D. 是奇函数

【答案】C

【解析】

【分析】先以偶函数定义去判断选项A的正误，再以奇函数的定义去判断选项B、C、D的正误.

【详解】选项A:

，

是奇函数，判断错误；

选项B:

,

是偶函数，判断错误；

选项C:

，

是奇函数，判断正确；

选项D:

，

是偶函数，判断错误.

故选：C

4. 若，，则（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，和，即可得到，进而求出结果.

【详解】因为，所以，

所以，

所以，即，所以，

故选：B.

5. 甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】以独立事件同时发生的概率公式去解决即可.

【详解】甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同，

即甲赢的概率为，甲输的概率为.

则甲获胜且比赛恰进行了4局的比赛情况是：甲在前三局中赢了两局，第四局赢了.

其概率是

故选：D

6. “中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是，球冠的高度是，则球冠的面积）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（    ）（参考数值）

A. 52米 B. 104米 C. 130米 D. 156米

【答案】C

【解析】

【分析】由，结合求解.

【详解】由题意得：，则，

则，

所以，

所以，

故选：C

7. 已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得的表达式，再由的中点到轴的距离是6可得，的横坐标之和，进而可得的值，求出抛物线的方程，设直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理可求出三角形的面积．

【详解】设，，，，

由抛物线的定义可得，

又因为的中点到轴的距离是6，所以，

所以，

所以抛物线的方程为：，

设直线的方程，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得，

，

所以，

解得，所以的方程为：，

.

故选：B

8. 已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，则，令，利用导数可得函数为增函数，即得.

【详解】设，则，

令，则，

设，则

所以在上为增函数，

故，即，

∴在上为增函数，

∴，即.

故选：D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

9. 已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.

【详解】对于A：

若 ，则，故，

所以A正确；

对于B：

若，则，

所以B正确；

对于C：

设 ，

则 ，故 ，

所以C正确；

对于D：

如下图所示，若 ，，则，，故 ，

所以D错误.

故选：ABC

10. 已知函数，若且对任意都有，则下列结论正确的是（    ）

A

B.

C. 的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称

D. 的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称

【答案】BD

【解析】

【分析】先根据条件求得b值，根据可知为函数最大值，据此列出关于a的方程，求出a值，得到函数f(x)的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可判断A、B的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B、D的正误.

【详解】 ，

，

又对任意都有，

则为 的最大值，

，

整理得： ，则 ，

所以 ，

因此A选项错误，B正确；

的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为：

，该函数图象不关于原点对称，故C错误；

的图象向右平移个单位后，得到函数 的图象，

该图象关于y轴对称，故D正确，

故选：BD

11. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续天每天日平均温度不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位）且满足以下条件：

甲地：个数据的中位数是，众数是；

乙地：个数据的中位数是，平均数是；

丙地：个数据有个是，平均数是，方差是；

根据以上数据，下列统计结论正确的是（    ）

A. 甲地进入了夏季 B. 乙地进入了夏季

C. 不能确定丙地进入了夏季 D. 恰有2地确定进入了夏季

【答案】AC

【解析】

【分析】根据所给数据，对甲地，乙地，丙地逐个分析判断，即可得解.

【详解】甲地：5个数据由小到大排，则22，22，24，，，其中，满足进入夏季的标志；

乙地：将5个数据由小到大排，则，，27，，，其中，

则，而，

故，其中必有一个小于22，故不满足一定进入夏季的标志；

丙地：设5个数据为，，，，30，且，

由方差公式可知：，

则，

不妨设，，，

则，，均大于22，但不确定是否大于22，故不能确定丙地进入夏天.

故选：AC．

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 关于的方程的所有根之和为 D. 关于的方程的所有根之积小于

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用函数的表达式依次判断.

【详解】，，A正确；

当时，，关于，

当时，，

        （，表示不超过的整数）

所以B错，

的根为，，

的根为，，

的根为，，

所有根的和为：，C正确；

由，累加可得

所以所有根之积小于，D正确.

故选:ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．

13. 已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.

【答案】

【解析】

【分析】分别求出双曲线的焦点和渐近线，再代入点到直线的距离公式即可.

【详解】双曲线：的焦点为

双曲线：的渐近线为

由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线为

则则点到渐近线的距离为

故答案为：4

14. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.

【详解】设圆锥的母线长为，

因为圆锥的底面半径，

所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，

所以圆锥的高，

所以该圆锥的体积.

故答案为：.

15. 桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为，，，将卡纸绕顶点顺时针旋转，得到、的旋转点分别为、，则_________.

【答案】##

【解析】

【分析】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，得出点的坐标，旋转后得出点的坐标，从而得出向量的坐标，从而得出数量积.

【详解】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系. 如图,则

则

将绕顶点顺时针旋转,得到，如图.

则,即可以看成是角的终边. 点在轴上

则,

所以

所以

所以

故答案为：

16. 龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边，所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.，，为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则_____；数列的前项和________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据题意并观察图形即可得到的值；对已知的数据进行分析，可得，进而可得，再采用裂项相消，即可求出结结果.

【详解】由题意可，观察可知，

；

由……易知，

所以，

所以.

故答案为：，.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．

17. 的内角、、的对边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，可求得的值，即可得解.

【小问1详解】

解：因为，由正弦定理得，

即，

由，得，因为，所以.

【小问2详解】

解：由，，得，解得，

由，即，即.

由，得，

故，所以的周长为.

18. 设等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，由求解；

（2）方法一：由题意得到，的各项为，再确定数列的项求解；方法二：由在数列中，前面（包括）共有项，令，确定数列的项求解.

【小问1详解】

解：设等差数列的公差为，

由题得，即，

整理得，

解得.

所以.

【小问2详解】

方法一：由题意可知，的各项为

即，

因为，

且，

所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，

所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，

所以，

方法二：在数列中，前面（包括）共有项，

令，则，

所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，

所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，

所以，

19. 如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.

（1）证明：；

（2）若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【小问1详解】

如图，连接SO和OE，

因为是正四棱锥，所以平面ABCD，

又因为平面ABCD，所以

因为ABCD是正方形，所以，

又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥，

所以

又因为，OE、平面SOE，

所以平面SOE，

因为平面SOE，所以.

【小问2详解】

易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为四棱锥的所有棱长为，所以，，

所以，，，，

设，得，则

，，

设平面SDE的法向量为，则

，解得，取，得，

设直线OF与平面SDE所成角为，则

，

当时，取得最小值，此时取得最大值.

20. 已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、.比赛规则如下：第一场为双打（对阵）、第二场为单打（对阵）、第三场为单打（对阵）、第四场为单打（对阵）、第五场为单打（对阵）.已知双打比赛中获胜的概率是，单打比赛中、、分别对阵、、时，、、获胜的概率如下表：

（1）求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；

（2）客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手为三单、选手为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由.

【答案】（1）   

（2）能通过临时调整选手为三单、选手为二单使得客队团体赛获胜的概率增大，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”的事件包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件求解；

（2）剩余四场比赛未调整Y、Z出场顺序的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜，求得其概率；剩余四场比赛调整Y、Z出场顺序的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜，求得其概率，比较即可.

【小问1详解】

解：设“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”事件为事件A，

则事件A包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件，

“主队3场全胜”的概率为，

“客队3场全胜”的概率为，

所以，

所以主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率为.

【小问2详解】

能，理由如下：

设“剩余四场比赛未调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件M，第二场单打（X对阵A）、第三场单打（Z对阵C）、第四场单打（Y对阵A）、第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜；

则，

设“剩余四场比赛调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件N，第二场单打（X对阵A）、第三场单打（Y对阵C）、第四场单打（Z对阵A）、第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜；

则，

因为，

所以客队调整选手Y为三单、选手Z为二单获胜的概率更大.

21. 已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由，右焦点，以及关系，联立可求解出，从而得椭圆的方程；

（2）设点的坐标为，表示出直线的方程，从而得点的坐标，进而表示出和，计算得，再由，代入化简计算，即可得，所以可证明.

【小问1详解】

由题知，得，

又因为右焦点为，则，

解得，所以，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

设点的坐标为，则，

所以直线的方程是，

当时，，所以点的坐标为，

所以，，

所以.

因为点在椭圆上，所以，即，

所以

，

又因为和是锐角，

所以.

【点睛】一般椭圆中的动点问题，需要设出动点坐标，然后根据题意列式计算，再由动点满足椭圆的方程代入化简，即可求出定值.

22 已知且，函数.

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由时，得到，求导，进而得到，写出切线方程；

（2）将函数有两个零点，转化为函数与的图象在上有两个交点求解.

小问1详解】

解：当时，，则，

故，

时，，故切点为，

所以在处的切线方程为，

即.

【小问2详解】

函数有两个零点，

方程在上有两个根，

方程在上有两个根，

函数与的图象在上有两个交点，

设，则，

时，；时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

由，，当时，，当时，，作图如下：

由图得，即，

设，则，

时，，时，；

所以上单调递减，在上单调递增，

因为时，且，

所以当时，；当时，，

又因为，

所以的解集为

综上所述.