2023-2024学年广东省东莞市三校高一上学期联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市三校高一上学期联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=2,3,5,6，B=1,3,4,6,7，则A∩B=( )
A. 1,2,3,4,5,6B. 3,6C. 2,5,6D. 2,3,5,6,7
2.函数y= 2x-3x-2的定义域是( )
A. 32,+∞B. 32,2∪2,+∞
C. 32,2∪2,+∞D. -∞,2∪2,+∞
3.命题“∃x0∈(0,+∞)，x02+1≤2x0”的否定为
( )
A. ∀x∈(0,+∞)，x2+1>2xB. ∃x∈(0,+∞)，x2+1>2x
C. ∀x∈(0,+∞)，x2+1≤2xD. ∀x∈(-∞,0],x2+1>2x
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )
A. y=12xB. y=-x2+3C. y=-x3D. y=1x
5.若幂函数f(x)=2m2-3m-1xm在(0,+∞)上单调递减，则m=( )
A. 2B. 12C. -12D. -2
6.已知x,y为正数，且x+y=2，则2x+1y的最小值为
A. 2B. 32+ 2C. 2D. 2- 2
7.若a=1223，b=1523,c=1213，则a,b,c的大小关系是
( )
A. a8.若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
( )
A. -4,0B. -∞,0
C. -∞,-4D. (-∞,-4]∪[0,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.与y=|x|表示同一个函数的是
( )
A. y= x2B. y=( x)2C. y=t,t≥0-t,t<0D. y=x2|x|
10.对于实数a、b、c，下列命题正确的是
( )
A. 若a>b，ac2>bc2B. 若aab>b2
C. 若c>a>b>0，则ac-a>bc-bD. 若a>b，1a>1b，则a>0，b<0
11.不等式ax2+bx+c≥0的解集是x-1≤x≤2，则下列结论正确的是
( )
A. a+b=0B. a+b+c>0C. c>0D. b<0
12.对任意两个实数a,b，定义mina,b=a,a≤bb,a>b，若fx=2-x2，gx=x2，下列关于函数Fx=minfx,gx的说法正确的是
( )
A. 函数Fx是偶函数B. 方程Fx=0有三个解
C. 函数Fx在区间[-1,1]上单调递增D. 函数Fx最大值为1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数fx=3x-1,x≥12-x+3,x<1，则f0=________．
14.已知fx+1=x2-x，则fx的解析式是_____
15.已知命题“∀x∈R,ax2-ax+1>0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2ax+a+2，其中a∈R．
(1)当a=1时，f(-1)= ;
(2)若f(x)的值域是R，则a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，求
(1)A∩B，A∪B；
(2)∁R(A∪B),(∁RA)∩B．
18.(本小题12分)
计算下列各式(式中字母均是正数):
(1) (2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56);(2)(m14n-38)8;
(3)(3a2- a3)÷4a2．
19.(本小题12分)
设集合U=R，A=x0≤x≤3，B=xm-1≤x≤2m．
(1)m=3，求A∩(CUB)；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=b+12x+1-1是奇函数
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为C(x)万元．在年产量不足8万件时，C(x)=13x2+2x(万元)；在年产量不小于8万件时，C(x)=7x+100x-37(万元).每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数fx=2x2+mx+n的图象过点(0,-1)，且满足f(-1)=f(2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数f(x)在a,a+2上的最小值为h(a)，求h(a)的值域；
(3)若x0满足fx0=x0，则称x0为函数y=f(x)的不动点．函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2，且x1>0,x2>0，求x1x2+x2x1的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解．
解：∵集合A=2,3,5,6，B=1,3,4,6,7，
根据集合交集的概念及运算，可得A∩B=3,6．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．
由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．
解：要使原式有意义只需：
2x-3≥0x-2≠0，解得x≥32且x≠2，
故函数的定义域为32,2∪2,+∞．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可直接得到结果．
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x0∈(0,+∞)，x02+1≤2x0”的否定为，
∀x∈(0,+∞)，x2+1>2x，
故选：A.
4.【答案】C
【解析】【分析】根据基本函数的性质，结合函数奇偶性和单调性的定义逐项判断即可．
解：对于A，函数y=12x为指数函数，不具有奇偶性，故A错误；
对于B，函数y=-x2+3是二次函数，定义域为R，
且f(-x)=-(-x)2+3=-x2+3=f(x)，则函数为偶函数，
故B错误；
对于C，函数y=-x3为幂函数型函数，定义域为R，
且f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x)，
故函数为奇函数，
结合幂函数的性质易知，函数y=-x3为R上的减函数；
故C正确；
对于D，函数y=1x为反比例函数，定义域为{x|x≠0}，
易知满足f(-x)=-f(x)，为奇函数，但在定义域上不具有单调性，
故D错误，
故选：C.
5.【答案】C
【解析】【分析】由幂函数的定义和性质求解即可．
解：由幂函数的定义可知，2m2-3m-1=1，即2m2-3m-2=0，解得m=2或m=-12．
当m=2时，f(x)=x2，在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
当m=-12时，f(x)=x-12，在(0,+∞)上单调递减，符合题意，故m=-12．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：x+y=2变形为；x2+y2=1，
所以(x2+y2)(2x+1y)=32+x2y+yx≥32+2 12=32+ 2，
当且仅当x2y=yx时等号成立．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，属于基础题．
由指数函数与幂函数的单调性即可得答案．
【解答】
解：因为y=x23(x>0)是增函数，
所以a=(12)23>(15)23=b．
因为y=12x是R上的减函数，
所以a=1223<1213=c，
所以b故选D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：
(1)先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；
(2)根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；
(3)结合(1)(2)求解出参数的最终范围．
将fx写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a的取值范围．
解：因为f(x)=x2+a|x-2|，所以f(x)=x2+ax-2a,x≥2x2-ax+2a,x<2,
当f1x=x2+ax-2a在2,+∞上单调递增时，-a2≤2，所以a≥-4，
当f2x=x2-ax+2a在0,2上单调递增时，a2≤0，所以a≤0，
且f12=f22=4，所以a∈-4,0，
故选：A．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
分别判断各选项函数的定义域和对应法则是否和y=|x|一致即可．
【解答】
解：对于A，y= x2的定义域为R，与y=|x|定义域相同，对应法则相同，所以与y=|x|是同一函数；
对于B，y=( x)2=x中x≥0，所以与y=|x|定义域不同，不是同一个函数；
对于C，定义域为R，对应法则相同，所以与y=|x|是同一函数；
对于D，y=x2|x|定义域内没有0，所以与y=|x|定义域不同，不是同一个函数．
故选AC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据不等式的性质以及利用作差法，即可判断选项．
解：A.当c=0时，ac2=bc2，故 A错误；
B.若aab，且ab>b2，即a2>ab>b2，故 B正确；
C.ac-a-bc-b=ac-ab-bc+abc-ac-b=a-bcc-ac-b，
因为c>a>b>0，所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，
所以ac-a-bc-b>0，即ac-a>bc-b，故 C正确；
D.若a>b，1a>1b，则1a-1b=b-aab>0，且b-a<0，则ab<0，可知a>0，b<0，故 D正确．
故选：BCD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解．
解：因为不等式ax2+bx+c≥0的解集是x-1≤x≤2，
可得a<0，且-ba=-1+2=1>0ca=-2<0，所以b>0b=-ac>0，所以a+b=0,c>0,b>0，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数y=ax2+bx+c的两个零点为-1,2，且图像开口向下，
所以当x=1时，y=a+b+c>0，所以 B正确．
故选：ABC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】根据函数定义，求出函数F(x)的解析式，画出函数图象，根据图象逐项判断即可．
解：令2-x2>x2得，
-1故Fx=x2,x∈(-1,1)2-x2,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
则其图象如下：
根据图象可知，
函数图象关于y轴对称，所以函数Fx是偶函数，故A正确；
函数图象与x轴又三个交点，所以方程Fx=0有三个解，故B正确；
函数在[-1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，故C错误；
函数的最大值是F1=F-1=1，故D正确，
故选：ABD.
13.【答案】4
【解析】【分析】根据分段函数求函数值．
解：因为0<1，所以f0=20+3=4，
故答案为：4
14.【答案】fx=x2-3x+2
【解析】【分析】利用换元法计算可得．
解：因为fx+1=x2-x，令t=x+1，则x=t-1，
所以ft=t-12-t-1=t2-3t+2，
所以fx=x2-3x+2．
故答案为：fx=x2-3x+2
15.【答案】0,4
【解析】【分析】
(1)不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是
当a=0时，b=0,c>0或当a≠0时，a>0Δ<0；
(2)不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是
当a=0时，b=0,c<0或当a≠0时，a<0Δ<0．
对不等式的二次项系数a进行分类讨论，分别求出不等式恒成立时实数a的取值范围，最后求并集即可．
解：由题意得不等式ax2-ax+1>0对x∈R恒成立．
①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意．
②当a≠0时，若不等式ax2-ax+1>0对x∈R恒成立，则a>0Δ=a2-4a<0,
解得0综上可得：0≤a<4，所以实数a的取值范围是0,4．
故答案为：0,4．
16.【答案】-2；(-∞,-2]∪[2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、值域，考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)应用奇函数的定义，计算可得所求的值；
(2)根据函数的奇偶性以及值域，结合判别式以及对称轴得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：(1)a=1时，x>0时，f(x)=x2-2x+3，
而函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故f(-1)=-f(1)=-2；
(2)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0，
当x>0时，f(x)=x2-2ax+a+2，
故对称轴是x=a，
若f(x)的值域是R，
则a>0Δ=4a2-4(a+2)≥0或a≤0a+2≤0，
解得：a≥2或a≤-2，
则a的取值范围为：-2；(-∞,-2]∪[2,+∞)．
17.【答案】解：(1)
因为A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，
所以A∩B={x|3≤x<4}，A∪B={x|x≥2}．
(2)
由(1)可得，
∁R(A∪B)={x|x<2}，
(∁RA)∩B={x|x<2或x≥4}∩{x|x≥3}={x|x≥4}．

【解析】【分析】解出集合B，按照集合的运算法则进行运算即可．
18.【答案】解：(1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)=[2×(-6)÷(-3)]a23+12-16b12+13-56=4ab0=4a;
(2)(m14n-38)8=(m14)8(n-38)8=m2n-3=m2n3;
(3)(3a2- a3)÷4a2=(a23-a32)÷a12=a23÷a12-a32÷a12=a23-12-a32-12=a16-a=6a-a．
【解析】本题考查指数幂的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意知当 m=3 时， B=x2≤x≤6 ，
故 ∁UB={x|x<2 或 x>6} ，
而 A=x0≤x≤3
∴A∩(∁UB)={x|0≤x<2}；
(2)∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B⫋A，
∴当B=⌀时，m-1>2m，解得m<-1，成立；
当B≠⌀时，m-1≤2mm-1≥02m≤3，又 m-1⩾0 和2m⩽3中等号不能同时取得，
解得 1≤m≤32 ，
综上，m的取值范围是m<-1或1≤m≤32．
【解析】本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)m=3时，求出集合A，B，∁UB={x|x<2或x>6}，由此能求出A∩(∁UB)；
(2)由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，得B⫋A，，分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论，从而求出m的取值范围．
20.【答案】解：(1)
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
即b+12-x+1-1=-b+12x+1+1，解得b=1，
所以f(x)=1+12x+1-1=1-2x1+2x.经检验成立
(2)
因为f(x)=1-2x1+2x=21+2x-1,
所以f(x)在R上单调递减，
证明如下：设x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=21+2x1-21+2x2
=2(2x2-2x1)(1+2x1)(1+2x2)，
∵x1x2,∴2x22x1,1+2x1>0,1+2x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，则f(x)在R上单调递减．
(3)
不等式f(t-2t2)+f(-k)>0⇔f(t-2t2)>f(k)，
又f(x)在R上单调递减，
所以k>t-2t2=-2(t-14)2+18，
故k>18.

【解析】【分析】(1)利用奇函数的定义，建立方程，解出即可；
(2)根据指数函数的性质判断出单调性，用函数单调性的定义证明即可；
(3)利用函数是奇函数变形不等式，利用单调性转化不等式，解出即可．
21.【答案】解：(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．
由题意得：
当0当x≥8时，P(x)=6x-(7x+100x-37)-2=35-(x+100x)，
所以P(x)=-13x2+4x-2,0(2)当0此时，当x=6时，P(x)取得最大值P(6)=10(万元) ，
当x≥8时P(x)=35-(x+100x)≤35-2 x⋅100x=15
(当且仅当x=100x，即x=10时取等号)，
即x=10时，P(x)取得最大值15万元，
因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
【解析】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用二次函数与基本不等式求最值的能力，属于中档题．
(1)根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分0(2)当022.【答案】解：(1)
因为函数fx=2x2+mx+n的图象过点(0,-1)，所以n=-1，
又因为f(-1)=f(2)，所以二次函数对称轴方程为x=-1+22=-m2×2，解得m=-2，
所以函数f(x)的解析式为：fx=2x2-2x-1．
(2)
由(1)可知fx=2x2-2x-1=2x-122-32，x∈[a,a+2]，
分以下三种情形来讨论函数f(x)在a,a+2上的最小值为h(a)：
情形一：当a+2≤12，即a≤-32时，函数f(x)在a,a+2上单调递减，
所以此时有ha=fxmin=fa+2=2a+322-32≥-32；
情形二：当a<12所以此时有fxmin=f12=-32=ha；
情形三：当a≥12时，函数f(x)在a,a+2上单调递增，
所以此时有ha=fxmin=fa=2a-122-32≥-32．
综上所述：h(a)=2a+322-32,a≤-32-32,-32(3)
因为函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2，且x1>0,x2>0，
所以令g(x)=x，即方程2x2-3+tx+t-1=0有两个不相等的正实根x1,x2，
所以Δ=3+t2-8t-1>0x1+x2=3+t2>0x1x2=t-12>0，即t∈Rt>-3t>1，所以t>1．
x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=x1+x22-2x1x2x1x2=x1+x22x1x2-2=t+324t-12-2=t-12+8t-1+2，
因为t>1，所以由基本不等式可得x1x2+x2x1=t-12+8t-1+2≥2 t-12⋅8t-1+2=6，
当且仅当t-12=8t-1，即t=5时，等号成立，所以x1x2+x2x1的最小值为6．

【解析】【分析】第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程2x2-3+tx+t-1=0有两个不相等的正实根x1,x2，列出等价条件求出t的范围，进而结合韦达定理即可．
(1)根据函数f(x)图象过点(0,-1)可得n，再根据f(-1)=f(2)，利用二次函数对称性可得m；
(2)分类讨论对称轴与a,a+2的关系求函数最小值；
(3)转化为方程方程2x2-3+tx+t-1=0有两个不相等的正实根的问题即可解决．