高中人教版新课标B2.2.2反证法教案

第三章 推理与证明

§4  反证法

一、教学目标：

1.知识与技能：

(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；

(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.

2.过程与方法:

通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.

3.情感态度与价值观

通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：

了解反证法的思考过程与特点..

三.教学难点：

正确理解、运用反证法.

四.教学方法：

多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.

教学过程：

一、   课前复习与思考：

（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：

      直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

    常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）

    间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

    反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知

【新课导引】

多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.

提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：

同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？

【学生自主合作探究】

学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：

1、什么是反证法？

2、反证法的证题步骤有哪几步？

3、什么样的命题适合用反证法来证明？

4、反证法的应用关键在于什么？

【学生展示、交流】

（1）反证法概念

反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：

a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；

b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

（3）应用反证法的情形：

①直接证明困难;

②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”  ---类命题；

④结论为 “唯一”类命题；

（4）关键在于归缪矛盾：

a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。

【教师归纳评价并强调】：

同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。

三、教师点拨

【教师引导学生完成】：

例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.

证明：    假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。

因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则

，即是奇数。

所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.

例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。

这样的内角和

                    。

这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。

例3、求证：是无理数。

证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且p，q互素，则。所以 ..①

故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。因此，假设不成立，即“是无理数”。

【教师从例题分析中小结反证法相关知识，提高学生的解题能力】：

反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

四、学生练习及检测,教师评价

1、

2、

【课堂回顾】

同学们，本节课前有关小球染色的问题应该可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明了吗？请同学们课后积极思考与实践.

五、课后思考:

    A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，　为什么？

    分析:假设C没有撒谎, 则C话为真

    那么A话为假且B话为假;

    由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾.

    那么假设C没有撒谎不成立;

    则C必定是在撒谎.

六、布置作业：

课本67页习题3-4： （3）、（4）

附：

【板书】

反证法

  一、概念：                         四、反证法适用于：

  二、步骤：                         五、应用举例：

  三、归谬矛盾：                     六、小结：