人教版新课标B选修2-22.2.2反证法教学设计

这是一份人教版新课标B选修2-22.2.2反证法教学设计，共14页。教案主要包含了问题导思，思路探究，自主解答，错因分析，防范措施等内容，欢迎下载使用。


2．2.2　反证法
教学教法分析


(教师用书独具)



●三维目标
1．知识与技能
结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．
2．过程与方法
使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．
3．情感、态度与价值观
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．
●重点难点
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．
难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．
在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．
教学方案设计


(教师用书独具)



●教学建议
建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下几点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．
●教学流程
创设问题情境，通过“道旁苦李”的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式及应用范畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，老师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式及证明的方法，完成例题2变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
课前自主导学

课标解读
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(难点)


知识
反证法
【问题导思】　
　著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，
　早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
　王戎的论述运用了什么推理思想？
【提示】　实质运用了反证法的思想．
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
课堂互动探究

类型1
用反证法证明否(肯)定式命题

例题1　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
【思路探究】　此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．
【自主解答】　假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b均为奇数．
又a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，
即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．

规律方法
1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．
2．常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在

变式训练
已知非零实数a、b、c成等差数列a≠c，求证：，，不可能成等差数列．
【证明】　假设，，成等差数列，
则＝＋＝，
又a、b、c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴b＝，
∴＝，
∴(a－c)2＝0，即a＝c.
这与a≠c矛盾．
故假设错误，原命题正确.
类型2
用反证法证明“唯一性”命题
例题2　若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【思路探究】　先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．
【自主解答】　由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，
则n≠m.
若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；
若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．

规律方法
　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
变式训练
已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．
【证明】　如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，

在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，
故假设不成立，原结论成立.
类型3
用反证法证明“至多、至少”问题
例题3　已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证：，中至少有一个小于2.
【思路探究】　明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．
【自主解答】　假设，都不小于2，即≥2，≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)．
即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.

规律方法
　常见结论词与反设词列表如下：
原结

论词
等于
(＝)
大于
(＞)
小于
(＜)
对所
有x

成立
对任
意x

不成

立
至少
一个
至多
一个

反设

词
不等
于

(≠)
不大
于

(≤)
不小
于

(≥)
存在
某个

x不

成立
存在
某个

x成

立
一个
都没

有
至少
两个


互动探究
在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求证：，中至少有一个不小于2.
【证明】　假设，都小于2.
则1＋x<2y,1＋y<2x，，
那么2＋x＋y<2x＋2y，
∴x＋y>2与已知x＋y＝2矛盾．
所以假设不成立，原命题成立.
易错易误辨析
利用反证法证题时，假设错误而致误
典例　已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【错解】　假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
【错因分析】　上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0.
【防范措施】　用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
【正解】　假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)
由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．

课堂小结


1．反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．
2．反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．
3．反证法的基本步骤是：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；
(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．
当堂双基达标
1．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”的假设内容应是(　　)
A.＝　　　　　　B.＜
C.≤ D．≥
【解析】　“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“≤”．
【答案】　C
2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为(　　)
A．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
B．任何一个三角形的外角都没有两个钝角
C．没有一个三角形的外角有两个钝角
D．存在一个三角形，其外角有两个钝角
【解析】　原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．
【答案】　A
3．用反证法证明命题：若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1时，应作的假设是________．
【解析】　∵“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”，故应填a≠1或b≠1.
【答案】　a≠1或b≠1
4．证明方程2x＝3有且仅有一个实根．
【证明】　∵2x＝3，∴x＝，
∴方程2x＝3至少有一个实根．
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则
由①－②得2(x1－x2)＝0，
∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾．
故假设不正确，从而方程2x＝3有且仅有一个实根.
课后知能检测
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．
A．①②　　B．①②④　　C．①②③　　D．②③
【解析】　由反证法的定义可知应选C.
【答案】　C
2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设(　　)
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
【解析】　三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．
【答案】　B
3．实数a，b，c不全为0等价于(　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】　实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.
【答案】　D
4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(　　)
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
【解析】　(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．
【答案】　D
5．下列命题不适合用反证法证明的是(　　)
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1
【解析】　A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．
【答案】　C
二、填空题
6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________．
【解析】　“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．
【答案】　“三角形中最少有两个内角是直角”
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．
【解析】　“a、b全为0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”
【答案】　“a、b不全为0”
8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，
不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
【答案】　③①②
三、解答题
9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个有实数根．
【解】　假设存在实数m，使得这两个方程都没有实数根，
则解得无解．
与假设存在实数m矛盾．故无论m取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．
10．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.
【证明】　假设a＜0，由abc＞0得bc＜0，
由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0，
于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知矛盾．
又若a＝0，则abc＝0，与abc＞0矛盾，
故a＞0，
同理可证b＞0，c＞0.
11．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由．
【解】　假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，
(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
所以a＋b＋c>0.
这与假设a＋b＋c≤0矛盾．
因此，a，b，c中至少有一个大于0.
教师备课资源


(教师用书独具)



备选例题
　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【思路探究】　第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式，应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设任三项bp、bq、br成等比数列，再用反证法证明．
【自主解答】　(1)设公差为d，由已知得

∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∴()2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

规律方法
1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
备选变式
　设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R.
(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?
(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?
以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
【解】　(1)若a＋b≥0，
则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．
证明：因为a＋b≥0，
所以a≥－b，b≥－a.
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0成立．
证明：(反证法)
假设a＋b＜0，
则a＜－b，b＜－a，
而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)＜f(－b)，
f(b)＜f(－a)．
以上两式相加，
得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设错误，
因此a＋b≥0.