初中数学第九章 三角形综合与测试课时训练

冀教版七年级数学下册第九章 三角形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（　　）

A．90°n° B．90°n° C．45°+n° D．180°﹣n°

2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．1，6，6 B．2，3，5 C．3，4，8 D．5，6，11

3、将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=45°，那么∠BAF的大小为（　　）

A．15° B．10° C．20° D．25°

4、如图，将△ABC沿着DE减去一个角后得到四边形BCED，若∠BDE和∠DEC的平分线交于点F，∠DFE＝α，则∠A的度数是（       ）

A．180°﹣α B．180°﹣2α C．360°﹣α D．360°﹣2α

5、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝32°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（       ）

A．63° B．58° C．54° D．56°

6、如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°

7、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3，6，9 B．5，6，8 C．1，2，4 D．5，6，15

8、如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（       ）．

A．45° B．60° C．35° D．40°

9、数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（       ）．

A． B．C． D．

10、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（     ）

A．两点确定一条直线

B．两点之间，线段最短

C．三角形具有稳定性

D．三角形的任意两边之和大于第三边

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在中，，，，那么是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ）

2、如图，一副三角板按如图放置，则∠DOC的度数为______．

3、如图，∠ABD＝80°，∠C＝38°，则∠D＝___度．

4、如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积______．

5、如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝60°，∠ABD＝110°，则∠C等于___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在CA、BA 的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E．

（1））求证：DB∥EC；

（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°．求∠D的度数．

2、完成下面推理填空：如图，已知：于D，于G，．求证：AD平分．

解：∵于D，（已知），

∴（____①_____），

∴（同位角相等，两直线平行），

∴_____②___（两直线平行，同位角相等）

∠1＝∠2（____③_____），

又∵（已知），

∴∠2＝∠3（_____④______），

∴AD平分（角平分线的定义）．

3、如图所示，四边形ABCD中，ADC的角平分线DE与BCD的角平分线CA相交于E点，已知：ACB＝32°，CDE＝58°．

（1）求DEC的度数；

（2）试说明直线

4、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．

（1）求证：AB//CD；

（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；

（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．

5、已知，如图1，直线，E为直线上方一点，连接，与交于P点．

(1)若，则_________

(2)如图1所示，作的平分线交于点F，点M为上一点，的平分线交于点H，过点H作交的延长线于点G，，且，求的度数．

(3)如图2，在（2）的条件下，，将绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，同时绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，当旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当其中一条边与的边DF′互相垂直时，直接写出t的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据BD、CE分别是△ABC的角平分线和三角形的外角，得到，再利用三角形的内角和，得到，代入数据即可求解．

【详解】

解：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，

∴，，

∴

，

∵，

∴．

故答案选：A．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理和外角的性质．涉及角平分线的性质．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

2、A

【解析】

【分析】

根据构成三角形的条件逐项分析判断即可．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理分别计算两条较短边的和与最长边比较，再逐一分析即可.

【详解】

解：A. 1+6>6，能组成三角形，故该选项正确，符合题意；

B. 2+3=5,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；      

C. 3+4<8,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；      

D. 5+6=11,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了判断构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件．

3、A

【解析】

【分析】

利用DE∥AF，得∠CDE=∠CFA=45°，结合∠CFA=∠B+∠BAF计算即可．

【详解】

∵DE∥AF，

∴∠CDE=∠CFA=45°，

∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠B=30°，

∴∠BAF=15°，

故选A．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据∠DFE=α得到∠FDE+∠FED，再根据角平分线的性质求出∠BDE+∠CED=360°-2α，利用外角的性质得到∠ADE+∠AED=2α，最后根据三角形内角和求出结果．

【详解】

解：∵∠DFE=α，

∴∠FDE+∠FED=180°-α，

由角平分线的定义可知：∠BDF=∠FDE，∠CEF=∠FED，

∴∠BDE+∠CED=2∠FDE+2∠FED=360°-2α，

∴∠ADE+∠AED=180°-∠BDE +180°-∠CED=2α，

∴∠A=180°-（∠ADE+∠AED）=180°-2α，

故选B．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线得到相等的角，根据内角和进行计算．

5、C

【解析】

【分析】

先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．

【详解】

解：∵∠A=33°，∠B=30°，

∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，

∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，

∴△ABC≌△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE=63°，

∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-63°-63°=54°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．

6、B

【解析】

【分析】

由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．

【详解】

解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，

∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°，

∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，

∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．

7、B

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可得．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，得

A、3+6＝9，不能组成三角形，选项说法错误，不符合题意；

B、6+5＝11＞8，能组成三角形，选项说法正确，符合题意；

C、1+2＝3＜4，不能够组成三角形，选项说法错误，不符合题意；

D、5+6＝11＜15，不能够组成三角形，选项说法错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系．

8、A

【解析】

【分析】

由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，代入度数计算即可．

【详解】

解：由折叠得∠B=∠BCD，

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，

∴65°+2∠B+25°=180°，

∴∠B=45°，

故选：A．

【点睛】

此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

满足两个条件：①经过点B；②垂直AC，由此即可判断．

【详解】

解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，

故选：A．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形具有稳定性进行求解即可．

【详解】

解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．

二、填空题

1、钝角

【解析】

【分析】

根据三角形按角的分类可得结论．

【详解】

解：在中，，，，

，

是钝角三角形，

故答案为：钝角．

【点睛】

本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键．

2、

【解析】

【分析】

根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，从而得到∠OCD=15°，再由再由直角三角形两锐角互余，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，

∴∠OCD=∠ACD-∠ACB=15°，

∴∠DOC=90°-∠OCD=75°．

故答案为：75°

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，根据题意得到∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°是解题的关键．

3、

4、

【解析】

【分析】

根据三角形中线性质，平分三角形面积，先利用AD为△ABC中线可得S△ABD=S△ACD，根据E为AD中点，，根据BF为△BEC中线，即可．

【详解】

解：∵AD为△ABC中线

∴S△ABD=S△ACD，

又∵E为AD中点，

故，

∴，

∵BF为△BEC中线，

∴cm2．

故答案为：1cm2．

【点拨】

本题考查了三角形中线的性质，牢固掌握并会运用是解题关键．

5、50°

【解析】

【分析】

首先根据平角的概念求出的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数．

【详解】

解：∵∠ABD＝110°，

∴，

∴

故答案为：50°．

【点睛】

此题考查了平角的概念，三角形三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平角的概念，三角形三角形内角和定理．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）50°

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质可得∠D＝∠CAH，根据角平分线的定义可得∠BAH＝∠CAH，再根据已知条件和等量关系可得∠BAH＝∠E，再根据平行线的判定即可求解；

（2）可设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，则∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180°−4x，可得∠AHC＝175°−4x，可得175°−4x＝3x，解方程求得x，进一步求得∠D的度数．

【详解】

（1）证明：∵DBAH，

∴∠D＝∠CAH，

∵AH平分∠BAC，

∴∠BAH＝∠CAH，

∵∠D＝∠E，

∴∠BAH＝∠E，

∴AHEC，

∴DBEC；

（2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，

∠DAB＝180°−4x，

∠DAB比∠AHC大5°

∠AHC＝175°−4x，

DBAH，

即：175°−4x＝3x，

解得x＝25°，

则∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°．

【点睛】

考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．

2、垂直的定义；∠E=∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换

【解析】

【分析】

根据平行线的判定与性质进行解答即可．

【详解】

解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC（已知），

∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），

∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行），

∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）

∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∵∠E=∠1（已知），

∴∠2=∠3（等量代换），

∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．

故答案为：垂直的定义；∠E=∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换．

【点睛】

本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等，同位角相等．

3、（1）90°；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理即可求解；

（2）首先求得∠ADC的度数和∠DCB的度数，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得．

【详解】

解：（1）∵AC是BCD的平分线

∴

∵

∴∠DEC=180°-∠ACD-∠CDE=180°-32°-58°=90°；

（2）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD

∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°

∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°

∴

【点睛】

本题主要考查了角平分线，平行线的判定以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．

4、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°

【解析】

【分析】

（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；

（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；

（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．

【详解】

证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC

∴∠AEG=∠C    

∴AB//CD

（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°

∴∠DGC+∠AHF=180°

∴EC//BF  

∴∠B=∠AEG

由（1）得∠AEG=∠C    

∴∠B=∠C

（3）由（2）得EC//BF

∴∠BFC+∠C=180°

∵∠BFC=4∠C    

∴∠C=36°    

∴∠DGC=36°

∵∠C+∠DGC+∠D=180°    

∴∠D=108°

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

5、 (1)40；

(2)=70°；

(3)t的值为10．

【解析】

【分析】

（1）根据平行线性质求出∠EPB=∠CDE=70°，根据∠ABE是△BEP的外角可求∠E=∠ABE-∠EPB=110°-70°=40°即可；

（2）根据，得出∠GFB=∠FBE，∠HDF=∠PFD，根据FH平分，得出∠GFH=∠HFP，可得∠GFB=2∠HFB=2∠HFD+2∠DFP，根据DF平分，得出∠FDH=∠FDE=∠PFD，可得∠EPB=∠PDH=2∠PDF=2∠PFD，根据∠EBF为△EBP的外角，可证∠E=2∠DFH，根据，解方程得出∠DFH=20°，根据，得出∠G+∠GFH=90°，得出∠G+∠PFD=90°-∠HFD=90°-20°=70°即可；

（3）当时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，可得∠GFH=∠HFP=45°，∠G=45°，当其中一条边与的边DF′互相垂直，分三种情况当G′H′⊥DF′时，FH′交CD与S，FH′∥F′D，∠CDF′=25°+5t，∠FSC=45°+3°t，列方程25°+5t =45°+3°t，当GF⊥F′D时，GF交CD于R，交DF′于Q，∠HDF′=25°+5t，∠CRG=∠GFA=3t-90°，∠QRD+∠QDR=90°，列方程3t-90°+180°-(25+5t)=90°，当H′F⊥DF′，H′F交CD于U，交DF′于V，∠HDF′=25°+5°t，∠CUF=∠AFH′=3°t-90°-45°，∠VUD+∠UDV=90°，列方程180°-（25°+5°t）+3°t-90°-45°=90°即可．

(1)

解：∵，，

∴∠EPB=∠CDE=70°，

∵∠ABE是△BEP的外角，，

∴∠E=∠ABE-∠EPB=110°-70°=40°，

故答案为：40；

(2)

解：∵，

∴∠GFB=∠FBE，∠HDF=∠PFD

∵FH平分，

∴∠GFH=∠HFP，

∴∠GFB=2∠HFB=2∠HFD+2∠DFP

∵DF平分，

∴∠FDH=∠FDE=∠PFD，

∴∠EPB=∠PDH=2∠PDF=2∠PFD

∵∠EBF为△EBP的外角，

∴∠EBF=∠E+∠EPB=∠E+2∠PFD，

∴2∠HFD+2∠DFP=∠E+2∠PFD，

∴∠E=2∠DFH，

∵，

∴4∠DFH=3∠DFH+20°，

∴∠DFH=20°，

∵，

∴∠FHG=90°，

∴∠G+∠GFH=90°，

∴∠G+∠PFH=∠G+∠HFD+∠PFD=90°，

∴∠G+∠PFD=90°-∠HFD=90°-20°-70°，

∴=70°；

(3)

当时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，

∴∠GFH=∠HFP=45°，

∴∠G=45°，

当其中一条边与的边DF′互相垂直，分三种情况，

当G′H′⊥DF′时，FH′交CD与S，FH′∥F′D，∠FSC=∠CDF′，∠CDF′=25°+5t，∠FSC=45°+3°t，

∴25°+5t =45°+3°t，

解得t=10,

当GF⊥F′D时，GF交CD于R，交DF′于Q，∠HDF′=25°+5t，∠CRG=∠GFA=3t-90°，

∠QRD+∠QDR=90°即3t-90°+180°-(25+5t)=90°，

解得t=-12.5＜0舍去，

当H′F⊥DF′，H′F交CD于U，交DF′于V，∠HDF′=25°+5°t，∠CUF=∠AFH′=3°t-90°-45°，

∵∠VUD+∠UDV=90°，      

∴180°-（25°+5°t）+3°t-90°-45°=90°，

解得t=-35＜0舍去，

综合t的值为10．

【点睛】

本题考查平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质，直线垂直，图形旋转性质，掌握平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质， 直线垂直，图形旋转性质，根据余角性质列方程是解题关键．