数学八年级下册第十九章 平面直角坐标系综合与测试一课一练

八年级数学下册第十九章平面直角坐标系章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在平面直角坐标系中，若点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（       ）

A． B． C． D．

2、如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若点A的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

3、点关于轴对称的点是（　　）

A． B． C． D．

4、若点在第一象限，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．无解

5、点A(4，−8)关于轴的对称点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

6、点关于轴的对称点是（       ）

A． B． C． D．

7、如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直边构造等腰，再以为直角边构造等腰，再以为直角边构造等腰，…，按此规律进行下去，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

8、下列命题中，是真命题的有（       ）

①以1、、为边的三角形是直角三角形，则1、、是一组勾股数；

②若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13；

③二次根式是最简二次根式；

④在实数0，﹣0.3333……，，0.020020002，，0.23456…，中，无理数有3个；

⑤东经113°，北纬35.3°能确定物体的位置．

A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．④⑤

9、在平面直角坐标系中，点（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）

10、点在第（     ）象限．A．一 B．二 C．三 D．四

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是______．

2、已知点A（2，0），B（-2，0），点P（0，t）是y轴上一动点，

（1）当△ABP成为等边三角形时，点 P的坐标为________．

（2）若∠APB＜45°，则 t的取值范围为_______．

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），B（-1，2）．以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，再沿y轴向下平移两个单位，得到△A′O′B′，其中点A′与点A对应，点B′与点B对应．则点B′的坐标为__________ ．

4、点到轴的距离是________．

5、已知点（a+1，2a+5）在y 轴上，则该点坐标为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．（每个方格的边长均为1个单位长度）

(1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；

(2)画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；

(3)写出经过怎样的旋转可直接得到．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）

2、已知点，解答下列各题．

(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；

(2)点Q的坐标为=，直线轴；求出点P的坐标；

(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．

3、在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2），BC⊥x轴于点C．

(1)在平面直角坐标系xOy中描出点A，B，C，并写出点C的坐标　　；

(2)若线段CD是由线段AB平移得到的，点A的对应点是C，则点B的对应点D的坐标为　　；

(3)求出以A，B，O为顶点的三角形的面积；

(4)若点E在过点B且平行于x轴的直线上，且△BCE的面积等于△ABO的面积，请直接写出点E的坐标．

4、已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，和关于y轴对称，且，

(1)如图1，求的度数；

(2)如图2，点P为线段延长线上一点，交x轴于点D，设，点P的横坐标为d，求d与t之间的数量关系；

(3)如图3，在（2）的条件下，点E为x轴上一点，连接交y轴于点F，且，，在的延长线上取一点Q，使，求点Q的横坐标．

5、如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；

(2)求的面积；

(3)点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据若两点关于 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．

【详解】

解：∵点与点B关于x轴对称，

∴点B的坐标是．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可．

【详解】

解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，

∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

3、C

【解析】

【分析】

由题意可分析可知，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【详解】

解：根据轴对称的性质，得点关于轴对称的点是．

故选：C．

【点睛】

本题考查了对称点的坐标规律，解题的关键是掌握相应的规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

4、B

【解析】

【分析】

由第一象限内的点的横纵坐标都为正数，可列不等式组，再解不等式组即可得到答案.

【详解】

解： 点在第一象限，

由①得：

由②得：

故选B

【点睛】

本题考查的是根据点所在的象限求解字母的取值范围，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．

【详解】

解：点A(4，−8)关于y轴的对称点的坐标是：（-4，-8）．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

6、A

【解析】

【分析】

直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．

【详解】

解：点P（−4，9）关于x轴对称点P′的坐标是：（−4，−9）．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出横纵坐标的关系是解题关键．

7、A

【解析】

【分析】

根据等腰直角三角形的性质得到OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OA1033＝，再利用A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点A1033在x轴负半轴，即可确定点A1033的坐标．

【详解】

解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，

∴OA1＝，OA2＝，OA3＝，……，OA1033＝，

∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴，

1033＝8×129+1，

∴点A1033在x轴负半轴，

∵OA1033＝，

∴点A1033的坐标为：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．

8、D

【解析】

【分析】

根据勾股数的定义、勾股定理、最简二次根式定义、无理数定义、有序数对定义分别判断．

【详解】

解：①以1、、为边的三角形是直角三角形，但1、、不是勾股数，故该项不是真命题；

②若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13或，故该项不是真命题；

③二次根式不是最简二次根式，故该项不是真命题；

④在实数0，﹣0.3333……，，0.020020002，，0.23456…，中，无理数有3个，故该项是真命题；

⑤东经113°，北纬35.3°能确定物体的位置，故该项是真命题；

故选：D．

【点睛】

此题考查了真命题的定义：正确的命题是真命题，正确掌握勾股数的定义、勾股定理、最简二次根式定义、无理数定义、有序数对定义是解题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标．

【详解】

解：∵点（2，﹣5）关于x轴对称，

∴对称的点的坐标是（2，5）．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了关于x轴对称点的性质，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．

10、D

【解析】

【分析】

第一象限内点的坐标符号为，第二象限内点的坐标符号为，第三象限内点的坐标符号为，第四象限内点的坐标符号为，根据符号特点可直接判断.

【详解】

解：点在第四象限．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是坐标系内各象限内点的坐标特点，掌握“四个象限内点的坐标符号”是解本题的关键.

二、填空题

1、（2021，0）

【解析】

【分析】

将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．

【详解】

∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得

∴A1点坐标为（2，0）

又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得

∴A2点坐标为（0，-2）

又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得

∴A3点坐标为（-3，1）

又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得

∴A4点坐标为（1，5）

由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、、、n，每次增加1．

∵2021÷4=505…1

故A2021为以点B为圆心，半径为2021的A2020点顺时针旋转90°所得

故A2021点坐标为（2021，0）．

故答案为：（2021，0）．

【点睛】

本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出旋转的规律是解题的关键．

2、     （0，）或（0，-）；     t＞2+或t＜-2-．

【解析】

【分析】

（1）根据△ABP成为等边三角形，点A（2，0），B（-2，0），得出AP=AB=2-（-2）=2+2=4，在Rt△OAP中，点P（0，t），根据勾股定理，即，解方程即可；

（2）分两种情况，点P在x轴上方，∠APB=45°，根据点P在y轴上，OA=OB=2，可得OP为AB的垂直平分线，得出AP=BP，根据等腰三角形三线合一性质得出∠APO=∠BPO=22.5°，在y轴的正半轴上截取OC=OA=2，∠AOC=90°，可证△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°，根据勾股定理AC=，根据三角形外角∠AOC是△PCA的外角性质得出∠CPA=∠CAP，求出点P（0,2+），根据远离AB角度变小知当∠APB＜45°时，t＞2+，当点P在x轴下方，利用轴对称性质，求出点P（0，-2-），∠APB=45°，当∠APB＜45°，t＜-2-即可．

【详解】

解：（1）∵△ABP成为等边三角形，点A（2，0），B（-2，0），

∴AP=AB=2-（-2）=2+2=4，

在Rt△OAP中，点P（0，t），

根据勾股定理，即，

解得，

∴点P（0，）或（0，-），

故答案为（0，）或（0，-）；

（2）分两种情况，点P在x轴上方，∠APB=45°，

∵点P在y轴上，OA=OB=2，

∴OP为AB的垂直平分线，

∴AP=BP，

∴∠APO=∠BPO=22.5°，

在y轴的正半轴上截取OC=OA=2，∠AOC=90°，

∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°，

根据勾股定理AC=，

∵∠AOC是△PCA的外角，

∴∠ACO=∠CPA+∠CAP=45°，

∵∠APO=22.5°，

∴∠CAP=45°-∠CPA=45°-∠APO=45°-22.5°=22.5°，

∴∠CPA=∠CAP，

∴CP=AC=，

∴OP=OC+CP=2+

∴点P（0,2+）

当∠APB＜45°时，t＞2+，

当点P在x轴下方，

利用轴对称性质，

点P（0，-2-），∠APB=45°，

当∠APB＜45°，t＜-2-，

综合得∠APB＜45°，则 t的取值范围为t＞2+或t＜-2-．

故答案为t＞2+或t＜-2-．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质，勾股定理，图形与坐标，等腰直角三角形，线段垂直平分线，等腰三角形三线合一性质，轴对称性质，掌握以上知识是解题关键．

3、

【解析】

【分析】

根据题意画出相应的图形即可解答．

【详解】

解：根据题意画出图形，如图所示：

由图知，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，点B对应的坐标为（2，1），再沿y轴向下平移两个单位，对应的点B′坐标为（2，－1），

故答案为：（2，－1）．

【点睛】

本题考查坐标与图形变换-旋转、坐标与图形变换-平移，正确画出变换后的图形是解答的关键．

4、2

【解析】

【分析】

由点到坐标轴的距离定义可知点到轴的距离是2．

【详解】

解：∵点A的纵坐标为-2

∴点到轴的距离是

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了点到坐标轴的距离，点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即，点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即．

5、（0,3）

【解析】

【分析】

由点在y轴上求出a的值，代入求出2a+5即可得到点坐标．

【详解】

解：由题意得a+1=0，

得a=-1，

∴2a+5=3，

∴该点坐标为（0,3），

故答案为：（0,3）．

【点睛】

此题考查了y轴上点坐标的特点，熟记坐标轴上点的坐标特点进行计算是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析，；

(2)见解析，

(3)绕点O顺时针时针旋转

【解析】

【分析】

（1）根据题意得：关于原点的对称点为 ，再顺次连接，即可求解；

（2）根据题意得：绕点O逆时针旋转后的对称点为 ，再顺次连接；

（3）根据题意得：绕点O顺时针时针旋转后可直接得到，即可求解．

(1)

解：根据题意得：关于原点的对应点为 ，画出图形如下图所示：

(2)

解：根据题意得：绕点O逆时针旋转后的对应点为 ，画出图形如下图所示：

(3)

解：根据题意得：绕点O顺时针时针旋转后可直接得到．

【点睛】

本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称，绕原点旋转后图形，得到图形关于原点对称，绕原点旋转后对应点的坐标是解题的关键．

2、 (1)；

(2)；

(3)

【解析】

【分析】

（1）利用x轴上P点的纵坐标为0求解即可得；

（2）利用平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；

（3）在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数的性质列方程求解可得，将其代入代数式求解即可．

(1)

解：∵点P在x轴上，

∴P点的纵坐标为0，

∴，

解得：，

∴，

∴．

(2)

解：∵直线轴，

∴，

解得：，

∴，

∴．

(3)

解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，

∴．

解得：．

∴

，

∴的值为2020．

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．

3、 (1)作图见解析，C点坐标为

(2)

(3)4.5

(4)E点坐标为或

【解析】

【分析】

（1）在平面直角坐标系中表示出A，B，C即可．

（2）由题意知，，将点C向下移动3格，向左移动3格到点D，得出坐标．

（3）利用分割法求面积，的面积等于矩形减去3个小三角形的面积，计算求值即可．

（4）设E点坐标为，由题意列方程求解即可．

(1)

解：如图，点A，B，C即为所求，C点坐标为（1，0）

故答案为：（1，0）．

(2)

解：∵点A向下移动3格，向左移动3格到点B，

∴点C向下移动3格，向左移动3格到点D

∴D点坐标为

故答案为：．

(3)

解：∵

∴以A，B，O为顶点的三角形的面积为4.5．

(4)

解：设E点坐标为

由题意可得

解得：或

∴E点坐标为或．

【点睛】

本题考查了直角坐标系中的点坐标，平行的性质，分割法求面积，解一元一次方程等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．

4、 (1)22.5°；

(2)d=2t；

(3)5

【解析】

【分析】

（1）由轴对称，得到∠ABC=2，利用，得到∠A=3，根据∠A+=90°，求出的度数；

（2）由轴对称关系求出AD=6t，根据，推出∠ADP=∠BAO，证得AP=DP，过点P作PH⊥AD于H，求出OH=AH-AO=2t，可得d与t之间的数量关系；

（3）连接DQ，过P作PM⊥y轴于M，求出∠EAP=∠DPQ=，证明△EAP≌△QPD，推出∠PDQ=∠APE=，得到∠ODQ=90°，证明∠MPF=∠MFP=45°，结合，求出BF=，由，求出t=1，得到OA=1，OD=5，由此求出点Q的横坐标．

(1)

解：∵和关于y轴对称，

∴∠ABO=∠CBO，

∴∠ABC=2，

∵，

∴∠A=3，

∵∠A+=90°，

∴=22.5°；

(2)

解：∵和关于y轴对称，

∴∠BAO=∠BCO，

∵，

∴OD=5t，AD=6t，

∵，

∴∠ADP=∠BCO，

∴∠ADP=∠BAO，

∴AP=DP，

过点P作PH⊥AD于H，则AH=DH=3t，

∴OH=AH-AO=2t，

∴d=2t；

(3)

解：∵=22.5°，∠ABC=2=45°，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=∠ADP=，∠APD=45°，

∵，

∴∠APE=，∠AEP=45°，

∴∠EAP=∠DPQ=，

∵AP=DP，AE=PQ，

∴△EAP≌△QPD，

∴∠PDQ=∠APE=，

∴∠ODQ=90°，

连接DQ，过P作PM⊥y轴于M，

∵∠AEP=45°，

∴∠MPF=∠MFP=45°，

∴MF=MP，

∵，MP=2t，

∴，

∵∠APE=，∠PBF=∠ABO=，

∴∠PBF=∠APE，

∴BF=，

∵，

∴，

得t=1，

∴OA=1，OD=5，

∴点Q的横坐标为5．

【点睛】

此题考查了三角形内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，求点坐标，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．

5、 (1)见详解；（−2，1）；

(2)8.5；

(3)P（5，3）或（−1，−3）.

【解析】

【分析】

（1）画出△A1B1C1，据图直接写出C1坐标；

（2）先求出△ABC外接矩形CDEF面积，用之减去三个直角三角形的面积，得△ABC的面积；

（3）先根据P，Q关于x轴对称，得到Q的坐标，再构建方程求解即可．

(1)

解：如图1

△A1B1C1就是求作的与△ABC关于x轴对称的三角形，点C1的坐标（−2，1）；

(2)

解：如图2

由图知矩形CDEF的面积：5×5=25

△ADC的面积：×4×5=10

△ABE的面积：×1×3=

△CBF的面积：×5×2=5

所以△ABC的面积为：25-10--5=8.5．

(3)

解：∵点P(a,a−2)与点Q关于x轴对称，

∴Q(a,2−a)，

∵PQ=6，

∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，

∴P（5，3）或（−1，−3）．

【点睛】

本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．