江西省南昌市2021-2022学年高三下学期3月第一次模拟考试数学（理）含答案
展开20220607项目第一次模拟测试卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．已知(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点一定在
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的．角平分线上
3．根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是
0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.636 | 7.879 | 10.828 |
A．有的把握认为变量与独立
B．有的把握认为变量与不独立
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
4．圆柱形玻璃杯中盛有高度为的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半烃相同)后，水佮好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为
A． B． C． D．
5．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知数列的前项和为，则
A．12 B． C． D．
7．已知若，则
A．2 B． C．1 D．0
8．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
11 | 12 | … | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | … |
2048 | 4096 | … | 524288 | 1048576 | 2097152 | 4194304 | 8388608 | 16777216 | 33554432 | … |
如，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算．那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了．若，则落在区间
A．(15,16) B．(22,23) C．(42,44) D．(44,46)
9．的内角所对边分别为，若的面积为，则
A． B． C． D．
10．已知在边长为6的菱形中，，点分别是线段上的点，
且．将四边形沿䣋折，当
折起后得到的几何体的体积最大时，
下列说法：①；②平面；
③平面平面；
④平面平面，其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知函数，若不等式的解集为，且，且，则函数的极大值为
A． B． C．0 D．
12．已知是圆上的一个动点，则的最大值为
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于两点，若的面积为9，则的标准方程为．
14．是互相垂直的单位向量，，则在上的投影为．
15．从的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是．
16．已知数列是数列的前项和，则．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：
17．(12分)已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动．
(1)当点运动的路程为时，求线段的长度;
(2)记，求的最大值．
18．(12分)如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，．
(1)求的长;
(2)求二面角的余弦值．
19．(12分)为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：
| 容易题 | 中等题 | 难题 |
答对概率 | 0.6 | 0.5 | 0.3 |
答对得分 | 3 | 4 | 5 |
(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由;
(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望．
20．(12分)已知函数．
(1)当时，求的单调区间：
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，求证：．
21．(12分)已知面积为的等边(是坐标原点)的三个顶点都在抛物线上，过点作拋物线的两条切线分别交轴于两点．
(1)求的值;
(2)求的外接圆的方程．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线在直角坐标系第一象限交于点，点的极坐标为，求的面积．
23．(10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)当时，求不等式的解集;
(2)，使得，求的取值范围．
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