江西省南昌市2022届高三第三次模拟测试数学（理）试题（含答案解析）

20220607项目第三次模拟测试卷

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.

3. 非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4. 考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（    ）

A. 若不是偶数，则，都不是奇数 B. 若，都不是奇数，则不是偶数

C. 若，都是偶数，则是奇数 D. 若不是偶数，则，不都是奇数

3. 若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：

①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数.其中正确的命题有（    ）

A. ①②④ B. ①②③ C. ①② D. ②③④

4. 某工厂研究某种产品的产量（单位：吨）与某种原材料的用量（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程，有下列说法：

①与正相关；②与的相关系数；③；

④产量为8吨时预测原材料的用量约为6.19吨.其中正确的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

6. 已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹是（    ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线

7. 已知实数，，满足，则下列关系式不可能成立的是（    ）

A. B. C. D.

8. 科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若，则数列中的项是七位数的有（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

9. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，.，分别为线段，上的动点，，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

10. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. 2 C. 3 D. 4

11. 设，，（为自然对数的底数），若不是函数的极值点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

12. 已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则向量与的夹角为__________.

14. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为__________.

15. 已知函数的最大值为-1，则实数的取值范围是__________.

16. 已知函数，现有以下说法：

①直线是图象的一条对称轴；②在单调递增；

③，.则上述说法正确的序号是__________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）已知数列为等比数列，且，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（12分）如图，正方形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，为等边三角形.

（1）求证：；

（2），是否存在，使得平面平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

19.（12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，与平行的直线交椭圆于，两点，直线，分别于轴正半轴交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：为定值.

20.（12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果互相独立.

（1）求甲夺得冠军的概率；

（2）比赛开始，工作人员买来一盒新球，共6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为，求随机变量的分布列与数学期望.

21.（12分）已知函数.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线和曲线交于，两点，设点，求.

23.（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，已知不等式恒成立.

（1）求的最大值；

（2）设，，求证：.

20220607项目第三次模拟测试卷

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.       14. -3      15.      16. ①②

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.【解析】（1）因为，所以，

两式相除可得，即，

因为，所以，

可得，所以，

所以.

（2），

则  ①

  ②

①-②可得：，

故.

18.【解析】（1）连接交于，因为四边形为菱形，所以，

又正方形所在的平面平面，所以，

又，所以平面，

因为平面，所以；

（2）存在.以为原点，，的方向为轴，轴，

过点作菱形所在的平面的垂线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

因为，设点，

则，所以点，

，，设平面的法向量为，

则有，可得，

，，

设平面的法向量为，

则有，可得，

由可得.

19.【解析】（1）由题意，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）因为直线的斜率为，则设直线的方程为，

，，联立，化简得，

或，

∴，，

直线的方程为：，

令，则，

同理可得，则

.

20.【解析】记事件“甲在第局比赛中获胜”，（），

事件“甲在第局比赛中未获胜”，（），

显然，，（），

（1）记事件“甲夺得冠军”，

则.

（2）设甲乙决出冠军共进行局比赛，易知或，

，

，

记事件“第局比赛后抽到新球”，事件“第局比赛后抽到旧球”，

由题意知，比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必然为5颗新球，1颗旧球，

此时，，

若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，

此时，，

若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，0颗旧球，则下次必取新球，

此时，

于是，

，

，

∴的分布列为

∴的数学期望.

21.【解析】（1）当时，，

所以，，

因为在单调递增，且，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，即在单调递增.

（2）由于，设，，

当时，，则在为减函数；

当时，，则在为增函数；

因为，当，，

所以存在，使得，

即，所以，

所以在为减函数，在为增函数，

当，，所以在区间必存在一个零点，

，

设，

则，

所以在为增函数，，

所以，根据零点存在判定定理可知，

即.

22.【解析】（1）直线：，

曲线：.

（2）将代入曲线的普通方程可得：，

则，，

故.

23.【解析】（1）由的图象可知，则.

（2）即证.

令，，解得，，

则，

即.