2022届江西省南昌市高三第二次模拟测试数学（理）试题含答案

2022届江西省南昌市高三第二次模拟测试数学（理）试卷

理科数学

一、选择题

1.已知集合，，则（   ）

A.      

B.          

C.           

D.

答案：

D

解析：

，，∴.

2.已知为虚数单位，若，则（   ）

A.        

B.        

C.        

D.

答案：

B

解析：

，∴.

3.已知圆锥内部有一个半径为的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为（   ）

A.        

B.        

C.        

D.

答案：

C

解析：

可画出截面图如图，

∵三角形为等边三角形，

可得.设圆锥底面的半径为，则.母线长.

∴.

4.在中，角所对的边分别为,若，，，则（    ）

A.        

B.        

C.        

D.

答案：

B

解析：

由正弦定理可得，∵，∴.

∴.

5.已知，，，则的大小关系为（   ）

A.        

B.        

C.        

D.

答案：

A

解析：

，故，又∵，∴，故.

6.已知实数满足约束条件，则的最小值为（   ）

A.        

B.        

C.        

D.

答案：

D

解析：

画出可行域得，又∵，可表示为平面区域到原点的距离的平方.

此时，最小值为原点到直线的距离的平方.

故.

7.已知函数，则方程的解的个数是

（   ）

A.        

B.        

C.        

D.

答案：

C

解析：

可化简为.

∴时，即，，或.

或，.∴.∴的解的个数为个.

8.如图，正方体中，点在正方形内（包含边界），若三棱锥的左视图如图所示，则此三棱锥的俯视图不可能是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

A选项，当到平面中心上时满足.

B选项，当在中点时满足

C选项，当在中点时满足.

故选D

9.已知，，则是的（   ）

A.充分不必要条件                                  B.必要不充分条件

C.充分必要条件                                    D.既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

充分性，当时..故充分性不成立.

又，

画图令，.

∴，图像要在图像下方.

∴  ，

∵.即必要性成立.

∴是的必要不充分条件.

10.右图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形.图中四边形的对角线相交于点，若，则（   ）

A.             

B.                 

C.             

D.

答案：

B

解析：

如图所示，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，∴，，，所在直线的斜率，所以直线方程为：

，令，所以，∴，

∴，，∴，∴.故选B.

11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为（   ）

A.                

B.           

C.               

D.

答案：

A

解析：

设点，，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接（如图）

由题意得：，由双曲线的定义可得：

，

由抛物线的定义得：，所以.

在中有：，即.

所以，即.

解得：或（舍去），故选A.

12.已知函数，若函数的图象上存在两个点，，满足，则的取值范围为（   ）

A.           

B.            

C.             

D.

答案：

C

解析：

的图像如图所示，若，则，与题意不符，所以点与点在同侧.因为函数为偶函数，不妨设，则.转化为求曲线过原点的切线，设切点为，切线方程为代入原点坐标得，切点为，切线斜率为若则.仅当时取等号，所以.

二、填空题

13.已知向量，，若，则        .

答案：

解析：

.

14.的展开式共有项，则常数项为        .

答案：

解析：

展开式有项，则，故展开式为

.∴，∴.

∴常数项为.

15.从装有个红球和个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为        .

答案：

解析：

记事件为从盒子中取到两个相同颜色的球，事件为从盒子中取到两个红球.则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为.

所以.

16.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，驾驶员反应距离（单位：）关于车速（单位：）的函数模型为：刹车距离（单位：）关于车速（单位：）的函数模型为，反应距离与刹车距离之和称为停车距离.在某个十字路口标示小汽车最大限速（约），路口宽度为，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮        （保留两位有效数字）.

答案：

解析：

由题意，当停车距离等于离停车线距离时，设通过路口所需时间为，

则，即，所以，

所以黄灯至少亮.

三、解答题

17.已知是公差为的等差数列，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

答案：

见解析

解析：

因为，所以，

两式相减可得，因为，所以，则，所以，

因为，所以；

（2）因为，，

所以，

则.

18.国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值.高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高.某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：

某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三名学生的体重指数，得到数据如下表：

请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学习采取措施的效果.

附：参考数据与公式

若，则①；

②；③

答案：

见解析

解析：

因为学期高三学生体重指数服从正态分布

则学期初期肥胖率：

，  

月中旬教体局抽查时，学生肥胖率为， 

又因为，

，

，

，

所以初期体重指数学生平均得分为.   

月中旬教体局抽查时，体重指数学生平均得分为：， 

所以从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度来看学校采取措施的效果是较好的. 

19.如图，四边形，都是边长为的正方形，，四边形是矩形，平面平面，平面平面.

（1）求直线与平面所成的角的正弦值；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.

答案：

见解析

解析：

方法一：（1）因为，，

所以平面，所以面平面，

过作平面的垂线，垂足为，

则点在平面与平面的交线的延长线上， 

因为，，

所以即为二面角的平面角，

同理即为二面角的平面角，

则，故，

， 

所以，，

所以直线与平面所成的的正弦值为； 

（2）因为平面平面，所以平面，

又因为平面，所以，所以，，，四点共面， 

又因为，，所以，

所以当点满足时，，  

因为平面，所以平面，

所以在线段上存在一点，当时，平面.  

方法二：因为，，

所以平面，

过作平面的垂线，垂足为，

则点在的延长线上， 

因为，，

所以即为二面角的平面角，

则，故，

，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

因为，，，所以. 

（1）因为，，所以，

平面的一个法向量为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为； 

（2）假设在线段上是存在一点，设，

因为，，，所以，， 

设平面的法向量为，则，

则，令，则， 

因为，，所以，

所以，则，则，

所以在线段上存在一点，当时，平面.

20.已知椭圆的左、右顶点分别为，，点是直线上的动点，以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点.当点在椭圆上时.圆的半径为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，与椭圆的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，判断是否为定值？

若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

答案：

见解析

解析：

（1）由题意知，因为，所以， 

所以，所以，即椭圆方程为；

（2）方法一：设，，，

因为为圆的直径，所以，则， 

设直线：，则，

整理得到，

所以，则，，

同理可得：，，

所以，

因为，所以. 

方法二：：，：，可得，，，因为，所以， 

由，整理可得：，

所以，则，， 

同理可得：，，

所以，

因为，所以. 

21.已知函数（是自然对数的底数）.

（1）当时，试判断在上极值点的个数；

（2）当时，求证：对任意，.

答案：

见解析

解析：

（1）当时，，

则， 

设，则在为增函数.

当时，，.所以存在，使得. 

当时，，则，即在为减函数；

当时，，则，即在为增函数；

所以函数在只有一个极值点，即唯一极小值点； 

（2）由，

设，则在为增函数.

当时，，因为，.

所以存在，使得. 

由于（1）可知，

又因为，所以，

即证：对任意，，

即证：对任意，. 

设，则在单调递减，

因为，所以，即，

故对任意，. 

四、选做题（二选一）

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线极坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求.

答案：

见解析

解析：

（1）因为曲线的参数方程为（为参数）

所以，所以曲线的普通方程为， 

所以曲线的极坐标方程为. 

因为直线的极坐标方程为，

所以，

即直线的直角坐标方程为. 

（2）方法一：设曲线的圆心为，因为点在圆上，且，

所以，则点到直线的距离为， 

所以，则或， 

当时，直线过原点，不符合题意；

所以. 

方法二：设，，所以，， 

又因为点，在直线上，所以，，

则， 

则或，则或，

当时，直线过原点，不符合题意；

所以.

23.已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）求的最小值.

答案：

见解析

解析：

（1）因为，所以，则， 

①，解得，

②，解得，

所以不等式的解集为； 

（2） 

. 

当且仅当时，取得最小值.