考点25图形的相似（解析版）练习题

这是一份考点25图形的相似（解析版）练习题，共26页。试卷主要包含了相似三角形的概念，相似三角形的基本定理，三角形相似的判定，相似三角形的性质等内容，欢迎下载使用。
考点25图形的相似
考点总结
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

真题演练

一、单选题
1．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】
解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
2．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】
解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
3．（2021·浙江温州·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【分析】
直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】
解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
4．（2021·浙江滨江·三模）如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
由两角对应相等可判定，由此得到，变形得到，由勾股定理得到，可得，推断出的最大值是直径的平方，再由，点、在上，推出是的直径，再根据勾股定理即可得解．
【详解】
解：连结,

，
，
，
,
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
最大值是是直径时，
的最大值是直径的平方，
，
，
点、在上，
是的直径，
，
是直径的平方，
的最大值可表示为：，
故选：．
5．（2021·浙江滨江·二模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】
①根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，根据相似三角形的性质得到①正确；
②过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；
③根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；
④以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO'即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形的性质即可求出结果．
【详解】
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵AP=CQ，
∴CP=BQ，
∵PC=2AP，
∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴，，
∴CQ=3PD，
∴BQ=6PD，
∴BO=6OP；
故①正确；
②过B作BE⊥AC于E，
则，
∵∠C=60°，
∴，
∴，
∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
③在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中，
∵AB＝AC，∠BAP＝∠C，AP＝CQ
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APD∽△BPA，
∴，
∴ ，
∴，
故③正确；
④以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM与圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，
在Rt△MAC中，AC=3，
∴，
∴，
即CO的最小值为，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
6．（2021·浙江椒江·一模）一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为，若，则矩形的长宽之比为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
图中直角三角形比较多，通过分析之间的关系转化为线段比，所求的长宽等于两个三角形的相似比，面积比等于相似比的平方，从而求得线段比．
【详解】
如图（1），设的面积为；
如图（2）由题意，知，则








又



矩形的长宽之比为2．

故选A．
7．（2021·浙江椒江·一模）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到，若点A和它的对应点的坐标分别为，则与的相似比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】
根据坐标与图形的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为
∴对应点乘以3，则△A′B′C′与△ABC的相似比为：3．
故选：D．
8．（2021·浙江庆元·一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，CD，DA上，四边形EFGH由两个正方形组成，且，则线段BE的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先证明△DGF∽△CFE，得出，再证明△CFE∽△BEA，得出，设CE=a，则CF=1-2a,BE=1-a，代入计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形ABCD，四边形EFGH由两个正方形组成
∴∠D=∠B=∠C=∠GFE=90°，GF=2EF
∵∠DFG+∠CFE=90°
∠CFE+∠CEF=90°
∴∠DFG=∠CEF
∴△DGF∽△CFE

设CE=a，则CF=1-2a,BE=1-a
∵∠CEF+∠AEB=90°
∠AEB+∠EAB=90°
∴∠EAB=∠CEF
又∠C=∠B
∴△CFE∽△BEA
∴
∴
∴
∵a