考点24锐角三角函数及解直角三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

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考点24锐角三角函数及解直角三角形 【命题趋势】在锐角三角函数及解直角三角形方面主要考查：1.直角三角形的边与角：①结合平面直角坐标系，网格或利用直角三角形的边角关系求某个角的三角函数值；②已知某个角的三角函数值求线段长。2.解直角三角形的实际应用，以解答题为主，设置背景有：仰角、俯角、方向角、坡比（坡度）及夹角，设置角度有：①求某物的高；②求两点之间的距离，命基础题和中档题。【常考知识】1.直角三角形的边与角：①结合平面直角坐标系，网格或利用直角三角形的边角关系求某个角的三角函数值；②已知某个角的三角函数值求线段长。2.解直角三角形的实际应用，以解答题为主，设置背景有：仰角、俯角、方向角、坡比（坡度）及夹角，设置角度有：①求某物的高；②求两点之间的距离。【夺分技巧】①求一个角的三角函数值，必须将这个锐角置于直角三角形中，利用锐角三角函数的意义求值。若不是直角三角形中，可以利用相等的角转化或作垂线构造直角三角形。②巧记300,450,600的函数值。③在网格中图形中，求一个角的三角函数值往往需要找到以这个角为内角的直角三角形，然后根据勾股定理，算出需要的直角三角形的边长，再根据三角函数的定义求解。④在解直角三角形的实际问题中，需要添加辅助线将其进行转化。真题演练一、单选题1．（2021·广西港南·九年级期中）若sinα＝，则锐角α＝（　　）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】根据30°角的正弦值等于解答．【详解】解：∵sinα＝，∵锐角α＝30°．故选：A．2．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋DE即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝15m，AB＝1.5m，∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，∵∠EAD＝30°，AD＝15m，∴ED＝AD•tan30°＝15×＝5，∴CE＝CD＋DE＝．故选：D．3．（2021·湖南永州·中考真题）下列计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．【详解】解：A、，此选项正确；B、，此选项错误；C、，此选项错误；D、，此选项错误；故选：A．4．（2021·辽宁沈河·二模）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点处，与相交于点，则的值是（    ）
 A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线平行，同位角相等，可知∠BOD=∠DCE，sin∠BOD=sin∠DCE．利用勾股定理求得DC的长，结论可得．【详解】解：如图，
 ∵CE∥AB，∴∠BOD=∠DCE，∴sin∠BOD=sin∠DCE，∵CE=4，DE=3，∴DC==5，∴sin∠BOD=sin∠DCE=．故选：D．5．（2021·山东东营·中考真题）如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案．【详解】解：由，得：，故选：D．6．（2021·广东深圳·中考真题）计算的值为（    ）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】故选C．7．（2021·广东深圳·中考真题）在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解；②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解；③中先证明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．【详解】解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD为正方形，E是BC的中点，∴BC=CD，∴，①正确；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正确；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③错误；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正确．故选B．8．（2021·广东·广州市第二中学二模）下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据特殊的锐角三角函数值、幂的乘方、二次根式的运算、以及同底数指数幂相除的运算法则进行计算即可；【详解】A、 ，故该选项错误；B、 ，故该选项错误；C、 无意义，根号下的数不能是负数，故该选项错误；D、 ，故该选项正确；故选：D．9．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．【详解】解：连接、，四边形是菱形，，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，与、与关于原点对称，、经过点，，，，作轴于，轴于，，，，，，，，故选：．10．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）如图所示，有一山坡在水平方向每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．【详解】解：铅直高度为，水平宽度为，山坡的坡度，故选． 二、填空题11．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图是某水库大坝横断面示意图．其中、分别表示水库上下底面的水平线，，的长是，则水库大坝的高度是______．（结果保留根号）【答案】【分析】过点C作于点E，得到，在中，利用正弦定义解题即可．【详解】解：过点C作于点E，在中，的长是m，故答案为：．12．（2021·江苏·高港实验学校二模）某人沿着坡度i＝1：的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为____米．【答案】50【分析】根据题意，作出图形，再根据坡度可以求得此为30°的直角三角形，根据性质即可求解．【详解】解：根据题意，如下图：由题意可知：，坡度i＝1：可知，∴∴故答案为5013．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC， CD．测得BC=9m，CD=6m，斜坡CD的坡度i=1:，在D处哵得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为______．（结果保留根号）【答案】6+3【分析】延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC、CG的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，∵∠ADE=30°，∴∠AFB=30°，∵CD=6m，斜坡CD的坡度i=1：，∴tan∠DCG=，∴∠DCG=30°，∴DG=3m，CG=3m，∴∠DFC=∠DCF=30°，∴DF=DC，∵DG⊥BF，∴FG=CG=3（m），∴FC=6m，∴FB=FC+BC=（6+9）m，∴AB=BF×tan∠AFB=（6+9）×=（6+3）m．故答案为：6+3．14．（2021·全国·九年级课时练习）计算：＝______________．【答案】【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，零次幂，负整指数幂进行计算即可．【详解】故答案为：15．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．【答案】5        【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点5②如图： .将绕点逆时针旋转60由旋转可得：是等边三角形， P为的费马点即四点共线时候，=故答案为：①5，②16．（2021·广东·东莞市东华初级中学模拟预测）如图，半径为的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点．当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为_______________．【答案】【分析】根据题意,当点从点出发顺时针运动到点,点的路径是以为半径，中点为圆心的一段圆弧，求出圆心角和半径即可求得弧长，即点所经过的路径长．【详解】点的路径是以为半径，中点为圆心的一段圆弧如图，连接，设于点，连接的中点和点, 的半径为,弦且过半径的中点，为直径,, 故答案为：．17．（2021·江西九江·二模）如图设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的应为____________．
 【答案】120°【分析】作DE⊥AB于E．在Rt△ADE中，可得，即可求得∠DAB=30°，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求得∠AOB=120°．【详解】作DE⊥AB于E．∴AD=50+30=80cm，DE=40cm，在Rt△ADE中，，∴∠DAB=30°，∵，∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．故答案为：120°． 三、解答题18．（2021·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，．【分析】先运用特殊角的三角函数求出x，然后化简分式，最后代入计算即可．【详解】解：，=====；当x=时，．19．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【详解】延长交于点，过点作，交于点，由题意得，，∴四边形为矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大楼的高度约为96米.20．（2021·内蒙古新城·二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A＝∠PDB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，DA＝DP，试求的长；（3）如图2,点M是弧AB的中点,连接DM，交AB于点N，若tanA＝，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接OD根据AB是圆的直径得到∠ADB=90°，∠A+∠OBD=90°再根据∠A=∠PDB，∠OBD=∠ODB即可证明；（2）根据DA=DP得到∠A=∠P，再根据∠A=∠PDB，∠DBA=∠P+∠PDB即可求得∠A进而得到∠DOB，再根据弧长公式求解即可得到答案；（3）连接OM，OD，过D作DF⊥AB于F，设BD=2x，则AD=3x利用三角函数和勾股定理可以得到，然后证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案.【详解】解：（1）如图所示，连接OD∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴∠A+∠OBD=90°∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∴∠A+∠ODB=90°又∵∠A=∠PDB∴∠PDB+∠ODB=90°∴∠PDO=90°∴PD⊥OD∴PD是圆的切线；（2）∵DA=DP∴∠A=∠P∵∠A=∠PDB∴∠A=∠PDB=∠P∵∠DBA=∠P+∠PDB∴∠DBA=2∠A∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°，∴∠A+∠OBD=90°∴3∠A=90°∴∠A=30°∴∠DOB=60°∴（3）如图所示，连接OM，OD，过D作DF⊥AB于F∵点M是弧AB的中点∴OM⊥AB∵∴设BD=2x，则AD=3x∵∴，∴∵DF⊥AB，OM⊥AB∴DF∥OM∴∴21．（2021·四川内江·中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】解：作于点，设米，在中，，则（米，∵，且AE=8∴ ∴ 在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，则米．答：的高度是米．