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中考数学一轮全程复习课时练第42课时《阅读理解型问题》(教师版)
展开这是一份中考数学一轮全程复习课时练第42课时《阅读理解型问题》(教师版)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 (D)
A．1，2，3 B．1，1，eq \r(2) C．1，1，eq \r(3) D．1，2，eq \r(3)
【解析】 A．∵1＋2＝3，不能构成三角形，故选项错误；
B．∵12＋12＝(eq \r(2))2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C．底边上的高是eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D．解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选D.
2．“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根”．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m
∵m，n(m
A．0 B．1 C．－1 D．i
二、填空题
4．对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是__4≤a＜5__．
【解析】 ∵2※x＝2x－2－x＋3＝x＋1，∴a＜x＋1＜7，即a－1＜x＜6，
若解集中有两个整数解，则这两个整数解为5，4，
即有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1<4,a－1≥3))，解得4≤a＜5.
5．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__②③__．(写出所有正确说法的序号)
①方程x2－x－2＝0是倍根方程；
②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；
③若点(p，q)在反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；
④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为eq \f(5,4).
【解析】 研究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a(x－t)(x－2t)＝ax2－3atx＋2t2a.所以有b2－eq \f(9,2)ac＝0；我们记K＝b2－eq \f(9,2)ac，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于①，K＝b2－eq \f(9,2)ac＝10，因此①错误；
对于②，mx2＋(n－2m)x－2n＝0，
K＝(n－2m)2－eq \f(9,2)m(－2n)＝0⇒4m2＋5mn＋n2＝0，因此②正确；
对于③，显然pq＝2，而K＝32－eq \f(9,2)pq＝0，因此③正确；
对于④，由M(1＋t，s)，N(4－t，s)知－eq \f(b,2a)＝eq \f(1＋t＋4－t,2)＝eq \f(5,2)⇒b＝－5a，由倍根方程的结论知b2－eq \f(9,2)ac＝0，从而有c＝eq \f(50,9)a，所以方程变为ax2－5ax＋eq \f(50,9)a＝0⇒9x2－45x＋50＝0⇒x1＝eq \f(10,3)，x2＝eq \f(5,3)，因此④错误．
综上可知，正确的选项有②③.
6．规定sin(－x)＝－sinx，cs(－x)＝csx，sin(x＋y)＝sinx·csy＋csx·siny，据此判断下列等式成立的是__②③④__(写出所有正确的序号)．
①cs(－60°)＝－eq \f(1,2)；
②sin75°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)；
③sin2x＝2sinx·csx；
④sin(x－y)＝sinx·csy－csx·siny.
【解析】 ①cs(－60°)＝cs60°＝eq \f(1,2)，故①错误；
②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cs45°＋cs30°·sin45°
＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)＋eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，故②正确；
③sin2x＝sinx·csx＋csx·sinx＝2sinx·csx，故③正确；
④sin(x－y)＝sinx·cs(－y)＋csx·sin(－y)＝sinx·csy－csx·siny，故④正确．
三、解答题
7．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
解：(1)答案不唯一，如y＝x2＋x－1，y＝x2－2x＋2，
只要a，b，c满足a＋b＋c＝1即可；
(2)∵定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1＝－(x－b)2＋b2＋c＋1，
∴该抛物线的顶点坐标为(b，b2＋c＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，即c＝1－2b.
∵顶点纵坐标为b2＋c＋1＝b2－2b＋2＝(b－1)2＋1.
∴当b＝1时，b2＋c＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.
8．如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；
(2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
解：(1)由题意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)；
(2)①特征数为[4，－1]的函数为y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5，
∵函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3.
∴特征数为[2，－3]．
②特征数为[2，3]的函数为y＝x2＋2x＋3，
即y＝(x＋1)2＋2，
特征数为[3，4]的函数为y＝x2＋3x＋4，
即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)，
∴所求平移为：先向左平移eq \f(1,2)个单位，再向下平移eq \f(1,4)个单位．(符合题意的其他平移，也正确)．
9．(12分)[2015·遂宁]阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,3)－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,5)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,3)－\f(1,4)－\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4))).
令eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＝t，则
原式＝(1－t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,5)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－t－\f(1,5)))t＝t＋eq \f(1,5)－t2－eq \f(1,5)t－eq \f(4,5)t＋t2＝eq \f(1,5).
(1)计算：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,3)－…－\f(1,2 014)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,2 015)))－
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,3)－…－\f(1,2 014)－\f(1,2 015)))×
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,2 014)))；
(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
解：(1)设eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2 014)＝t，
则原式＝(1－t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2 015)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－t－\f(1,2 015)))×t
＝t＋eq \f(1,2 015)－t2－eq \f(t,2 015)－t＋t2＋eq \f(t,2 015)＝eq \f(1,2 015)；
(2)设x2＋5x＋1＝t，原方程可化为t(t＋6)＝7，
t2＋6t－7＝0，(t＋7)(t－1)＝0，得t1＝－7，t2＝1，
当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，无解；
当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝－5.
所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5.
10．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”；
(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
(2)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq \f(\r(3),2)，求证：△ABC是“好玩三角形”；
(3)如图②，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s.
①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求eq \f(a,s)的值．
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
解：(1)图略．
(2)取AC的中点D，连结BD，如答图①.
∵∠C＝90°，tanA＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
设BC＝eq \r(3)x，则AC＝2x，∴CD＝eq \f(1,2)AC＝x，
∵BD＝eq \r(BC2＋CD2)＝eq \r(3x2＋x2)＝2x，
∴AC＝BD，∴△ABC是“好玩三角形”；
(3)①若β＝45°，则四边形ABCD是正方形，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”．
当点P在BC上时，连结AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，如答图②.
∵PC＝CQ，∠ACB＝∠ACD，
∴AC是QP的垂直平分线，∴AP＝AQ.
∵∠CAB＝∠ACP＝45°，∠AEF＝∠CEP＝90°，∴△AEF∽△CEP.
易证△PBF，△PCE是等腰直角三角形，
∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(AF,PC)＝eq \f(AB＋BP,PC)＝eq \f(s,2a－s).∵PE＝CE，∴eq \f(AE,PE)＝eq \f(s,2a－s).
(i)当底边PQ与它的中线AE相等，即AE＝PQ时，
eq \f(AE,PE)＝eq \f(s,2a－s)＝eq \f(2,1)，∴eq \f(a,s)＝eq \f(3,4).
(ii)如答图③，取AP的中点M，连结QM，当腰AP与它的中线QM相等，即AQ＝QM时，是“好玩三角形”，
作QN⊥AP于N，∴MN＝AN＝eq \f(1,2)AM＝eq \f(1,4)AP＝eq \f(1,4)QM.∴QN＝eq \r(15)MN.
∴tan∠APQ＝eq \f(QN,PN)＝eq \f(\r(15)MN,3MN)＝eq \f(\r(15),3).
∴tan∠APE＝eq \f(AE,PE)＝eq \f(s,2a－s)＝eq \f(\r(15),3).∴eq \f(a,s)＝eq \f(\r(15),10)＋eq \f(1,2).
②eq \f(\r(15),3)＜tanβ＜2.
11．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(eq \r(2)，eq \r(2))，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝eq \f(n,x)(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，y1)，B(x2，y2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋eq \f(157,48)，试求出t的取值范围．
解：(1)∵点P(2，m)是梦之点，∴m＝2，P(2，2)，
将点P(2，2)代入y＝eq \f(n,x)中得n＝4，∴y＝eq \f(4,x)；
(2)假设函数y＝3kx＋s－1的图象上存在梦之点，
设该梦之点为(a，a)，代入得a＝3ka＋s－1，
∴(1－3k)a＝s－1，
①当3k－1＝0，1－s＝0，即k＝eq \f(1,3)，s＝1时，y＝x，
此时直线上所有的点都是梦之点；
②当3k－1＝0，1－s≠0，即k＝eq \f(1,3)，s≠1时，a无解，即不存在；
③当3k－1≠0，即k≠eq \f(1,3)时，a＝eq \f(s－1,1－3k)，存在梦之点，点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(s－1,1－3k)，\f(s－1,1－3k)))；
(3)由题意知ax2＋bx＋1＝x，即ax2＋(b－1)x＋1＝0，
∵x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋1＝0的两个根，
∴x1＋x2＝eq \f(1－b,a)，x1·x2＝eq \f(1,a)，
∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝4，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－b,a)))eq \s\up12(2)－4×eq \f(1,a)＝4，∴(1－b)2＝4a2＋4a，
①b－1＞0时，b－1＝eq \r(4a2＋4a)，
∵－2＜x1＜2，∴当x＝－2时，y＜0，即4a－2(b－1)＋1＜0，
∴b－1＞eq \f(4a＋1,2)，∴eq \r(4a2＋4a)＞eq \f(4a＋1,2)，∴a＞eq \f(1,8).
∵b－1＞eq \f(4a＋1,2)，∴b＞eq \f(7,4)，∵t＝b2－2b＋eq \f(157,48)＝(b－1)2＋eq \f(109,48)，
∴当b＝eq \f(7,4)时，t＝eq \f(17,6)，∴t＞eq \f(17,6).
②当b－1＜0时，b－1＝－eq \r(4a2＋4a)，
∵－2＜x1＜2，∴当x＝2时，y＜0，即4a＋2(b－1)＋1＜0，
∴b－1＜－eq \f(4a＋1,2)，∴－eq \r(4a2＋4a)＜－eq \f(4a＋1,2)，∴a＞eq \f(1,8).
∵b－1＜－eq \f(4a＋1,2)，∴b＜eq \f(1,4).
∵t＝b2－2b＋eq \f(157,48)＝(b－1)2＋eq \f(109,48)，∴当b＝eq \f(1,4)时，t＝eq \f(17,6)，∴t＞eq \f(17,6).
综上所述，t的取值范围是t＞eq \f(17,6).
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