2022届高三数学二轮复习课件：素养提升微专题（五）　截面问题

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1.平面截几何体的三种基本方式:横截、纵截、斜截.2.正方体的截面形状:正方体的横截面为正方形,纵截面为正方形或矩形,斜截面的情况如下:
角度一　确定截面的形状[例1](2021·华南师大附中期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为AD的中点,E为棱D1D上的动点(不包括端点),过点B,E,F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是(　　)A.四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形
易错警示在判断截面形状时,如果对截面与几何体的各个面是否存在交线,交线是什么形状,交线的位置等情况分析不清,那么容易导致判断错误,因此要结合空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理等进行分析判断.
角度二　确定截面的个数[例2]已知四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面是平行四边形,则这样的平面α(　　)A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个
解析 设平面PAB与平面PCD相交于直线m,平面PAD与平面PBC相交于直线n,由m,n确定的平面为β,作α与β平行,且与四条侧棱相交,交点分别为A1,B1,C1,D1,则由面面平行的性质定理,可知A1B1∥m∥D1C1,A1D1∥n∥B1C1,从而得截面必为平行四边形.由于平面α可以上下移动,故这样的平面α有无数多个.故选D.
角度三　计算截面图形的面积或周长[例3-1]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则以该正方体的一条体对角线的中点O为球心, 为半径的球与正方体的表面的交线长为　　　　　. 
[例3-2](2021·浙江萧山期中)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为　　　　　. 
解析 如图,取CD的中点O,连接OA,OB.因为△ACD为等边三角形,O为CD的中点,所以OA⊥CD.同理OB⊥CD.又OA∩OB=O,所以CD⊥平面AOB.又AB⊂平面AOB,所以CD⊥AB.
设平面α分别交AC,AD,BD,BC于点E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.因为CD∥平面α,CD⊂平面ACD,平面ACD∩平面α=EF,所以CD∥EF.同理GH∥CD,EH∥AB,FG∥AB.所以EF∥GH,EH∥FG.所以四边形EFGH为平行四边形.因为AB⊥CD,所以EF⊥EH,所以▱EFGH为矩形.
名师点析解决截面面积的最值问题的方法首先根据几何体的结构特征以及截面所在平面满足的条件,确定截面的形状,然后合理设置变量,将截面面积用变量表示出来,最后利用均值不等式或函数的性质求出最值,即可求得截面面积的最值.
1.(2021·天津和平区期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,B1C1的中点,G是棱CC1的中点,则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)A.矩形 B.三角形C.正方形D.等腰梯形
解析 如图,取BC的中点H,连接AH,GH,D1G,AD1,由题意易知GH∥EF,AH∥A1F,GH= AD1,GH∥AD1,AH=D1G,所以A,H,G,D1四点共面,四边形AHGD1为等腰梯形.因为GH⊄平面A1EF,EF⊂平面A1EF,所以GH∥平面A1EF.同理AH∥平面A1EF.又GH∩AH=H,GH,AH⊂平面AHGD1,所以平面AHGD1∥平面A1EF.所以过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为等腰梯形.故选D.
2.(多选题)(2021·江苏南通三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设与对角线AC1垂直的平面α截该正方体所得截面多边形为M,则关于多边形M的说法正确的是(　　)A.M可能为正三角形B.M可能为正方形C.若M为六边形,则面积为定值D.若M为六边形,则周长为定值
解析 对于A,由△A1BD为正三角形,AC1⊥平面A1BD,可知M可能为正三角形,故A正确.对于B,平面α要么与正方体的三个面相交,要么与正方体的六个面相交,从而截面为三角形或六边形,故B错误.对于C,D,如图,当截面M为六边形EFGHIJ时,由于截面A1BD与截面EFGHIJ都与直线AC1垂直,因此它们平行,所以GH∥A1B,同理GF∥B1C,设
3.(2021·北京一模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段BC1上的点,过点A1的平面α与直线PD垂直,当点P在线段BC1上运动时,平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积的最小值是(　　)
解析 以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),D(0,1,0),D1(0,1,1).设点P(1,t,t),其中0≤t≤1.
4.(2021·河北宣化一中高三月考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为　　　　　. 
解析 如图,取C1D1中点P,B1C1中点Q,连接PQ,PD,BQ,BD,可知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ∥BD,∴P,Q,B,D在同一平面,∵PQ∥MN,∴PQ∥平面AMN,∵PD∥AN,∴PD∥平面AMN,∴平面PQBD∥平面AMN,即四边形PQBD为所得截面.四边形PQBD是一个等腰梯形,如图,