2022届高三数学二轮复习课件：素养提升微专题（四）　数列解答题中的奇、偶项问题

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数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中奇、偶项问题的常见题型有:(1)数列中连续两项的和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));(2)通项中含有(-1)n的类型;(3){a2n},{a2n-1}的类型;(4)已知明确的奇、偶项问题.
角度一　通项中含有(-1)n的数列求和[例1](2021·河北衡水中学高三月考)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,an=1-2Sn.(1)求数列{an}的通项公式;
角度二　奇、偶项通项不同的数列求和
(1)求a2,a3及通项公式an;(2)记bn=an+an+1,求数列{2n-1bn}的前2n项的和T2n.
所以a1=S1=1,a2=S2-S1=4-1=3,a3=S3-S2=3-4=-1.当n≥3,且n为奇数时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)2=-n2+3n-1,又a1=1符合上式,所以当n为奇数时,an=-n2+3n-1.当n为偶数时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)=n2-n+1.
(2)由(1)知,当n为奇数时,bn=an+an+1=4n,当n为偶数时,bn=an+an+1=2.
所以T2n=1×22+3×24+…+(2n-1)·22n+22+24+…+22n=2×22+4×24+…+2n·22n,所以4T2n=2×24+4×26+…+2n·22n+2,
1.(2021·山东济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2lg3an+(-1)n·n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)当n=1时,2S1=2a1=3a1-3,所以a1=3.因为2Sn=3an-3,所以当n≥2时,2Sn-1=3an-1-3,所以2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1,即 =3(n≥2).所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n.
2.(2021·浙江杭州二中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
因为Tn-2bn+3=0,所以当n=1时,b1-2b1+3=0,即b1=3;当n≥2时,Tn-1-2bn-1+3=0,所以Tn-Tn-1-2bn+2bn-1=-bn+2bn-1=0,即bn=2bn-1(n≥2).所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,所以bn=3×2n-1.
又P1=c1=4符合上式,所以当n为奇数时,Pn=2n+n2+2n-1.