2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第4讲函数性质的综合问题习题课集训含解析文
展开[A级 基础练]
1.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 021)=( )
A.-2 B.2
C.-98 D.98
解析:选B.由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,f(2 021)=f(505×4+1)=f(1).因为f(1)=2×12=2,所以f(2 021)=2.故选B.
2.若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1)<0,则( )
A.f(3)
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-1,\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,3)))
C.[-1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3),1))
解析:选B.因为f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,所以2b+1-b=0,所以b=-1,
因为f(x)在[2b,0]上为增函数,即函数f(x)在[-2,0]上为增函数,故函数f(x)在(0,2]上为减函数,则由f(x-1)≤f(2x),可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,解得-1≤x≤eq \f(1,3).又因为定义域为[-2,2],所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-2≤x-1≤2,,-2≤2x≤2,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-1≤x≤3,,-1≤x≤1.))
综上,所求不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,3))).故选B.
4.已知函数f(x)是偶函数,定义域为R,单调递增区间为[0,+∞),且f(1)=0,则(x-1)f(x-1)≤0的解集为( )
A.[-2,0] B.[-1,1]
C.(-∞,0]∪[1,2] D.(-∞,-1]∪[0,1]
解析:选C.由题意可知,函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(-1)=0,
令x-1=t,则tf(t)≤0,当t≥0时,f(t)≤0,解得0≤t≤1;当t<0时,f(t)≥0,解得t≤-1,所以0≤x-1≤1或x-1≤-1,所以1≤x≤2或x≤0.故选C.
5.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )
A.f(1)
解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1).
又f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(1)=f(3).所以f(-1)=3.
答案:3
7.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(2x-1)
8.已知函数f(x)=eq \f(x2+x+1,x2+1),若f(a)=eq \f(2,3),则f(-a)=________.
解析:根据题意,f(x)=eq \f(x2+x+1,x2+1)=1+eq \f(x,x2+1),而h(x)=eq \f(x,x2+1)是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-eq \f(2,3)=eq \f(4,3).
答案:eq \f(4,3)
9.已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)+f(-x)=0,f(x-1)=f(x+1),若当x∈[0,1)时,f(x)=ax+b(a>0且a≠1),且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))=eq \f(1,2).
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的值域.
解:(1)因为f(x)+f(-x)=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数.
因为f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为2的周期函数,
所以f(0)=0,即b=-1.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=1-eq \r(a)=eq \f(1,2),
解得a=eq \f(1,4).
(2)当x∈[0,1)时,f(x)=ax+b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)-1∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(3,4),0)),
由f(x)为奇函数知,
当x∈(-1,0)时,f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4))),
又因为f(x)是周期为2的周期函数,
所以当x∈R时,f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4),\f(3,4))).
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),当a>1时,求函数g(x)的最小值.
解:(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示.
若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,
所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
所以f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+2x(x≤0),,x2-2x(x>0).))
(2)由(1)知g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,
当a>1时,a+1>2,g(x)=x2-2x-2ax+2在[1,2]上单调递减,
则g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a.
[B级 综合练]
11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-1)=0,若对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有eq \f(x1f(x1)-x2f(x2),x1-x2)<0成立,则不等式f(x)<0的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)
解析:选C.令F(x)=xf(x),
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),所以F(x)是偶函数,
因为f(-1)=0,所以F(-1)=0,则F(1)=0,因为对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2时,都 有eq \f(x1f(x1)-x2f(x2),x1-x2)<0成立,所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),故选C.
12.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1,f(5)=a2-2a-4,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
解析:选A.由f(x+1)=-f(x-1),可得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4,则f(5)=f(1)=a2-2a-4,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)>1,所以f(1)<-1,所以a2-2a-4<-1,解得-113.(2020·南充市第一次适应性考试)若偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-eq \f(1,f(x)),且当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则f(101.5)=________.
解析:f(x+3)=-eq \f(1,f(x))⇒f(x+6)=-eq \f(1,f(x+3))=f(x),所以函数f(x)的周期为6,又函数f(x)为偶函数,所以f(101.5)=f(5.5+6×16)=f(5.5)=f(-5.5)=-eq \f(1,f(-5.5+3))=-eq \f(1,f(-2.5))=-eq \f(1,2×(-2.5))=eq \f(1,5).
答案:eq \f(1,5)
14.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数.
(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;
(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
解:(1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立.
若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,
因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,
所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),
所以f(x1)+f(x2)>0.
所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.
若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,
同理可证f(x1)+f(x2)<0.
所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.
综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.
(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-1≤1-a2≤1,,-1≤a-1≤1,,1-a2>a-1,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤a2≤2,,0≤a≤2,,a2+a-2<0,))解得0≤a<1.
故所求实数a的取值范围是[0,1).
[C级 提升练]
15.对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
解析:选D.设g(x)=asin x+bx,则f(x)=g(x)+c,且函数g(x)为奇函数.注意到c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数.故选D.
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[1,+∞)上为增函数.若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))时,f(ax)<f(x-1)恒成立,则实数a的取值范围为________.
解析:根据题意可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
又f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,1)上是减函数.
由f(ax)<f(x-1)可得|ax-1|<|x-1-1|,即|ax-1|<|x-2|,
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),所以|x-2|=2-x,
所以上述不等式可以化为x-2<ax-1<2-x,
即不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((a-1)x>-1,,(a+1)x<3))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))时恒成立,
从而有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((a-1)×\f(1,2)>-1,,(a-1)×1>-1,,(a+1)×\f(1,2)<3,,(a+1)×1<3,))
解得0<a<2,故答案为(0,2).
答案:(0,2)
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2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程集训含解析文: 这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程集训含解析文,共5页。
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲二次函数与幂函数集训含解析文: 这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲二次函数与幂函数集训含解析文,共6页。